第33课-平面向量的综合应用

1、第 33 课平面向量的综合应用基础知识：1. 向量与平面几何(1)坐标法把几何图形放在适当的坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的坐标，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决.(2)适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量共线构造关于设定未知量的方程来进行求解.2. 平面向量与三角函数解决平面向量与三角函数的交汇问题关键是准确利用向量的坐标运算化简已知条件，将其转化为三角函数的问题解决 .3. 向量与不等式利用向量的载体作用，可以将向量与线性规划、不等式结合起来，解题时通过定义或坐标运算进行转化，使问题的条件结论明朗化 .一、典型例题1. 在ABC 中， O 为中线 AM

2、 上一个动点，若AM2 ，则 OA (OBOC ) 的最小值是（） .5B.23D.1A.C.22答案： B解析：设 OAx ，则 OM2x ，于是OA (OBOC )=2OA OM2x(2x)cos 2x(2x ) x (2x)2x 即 x1 时22 ，当且仅当 x 24等号成立，所以最小值为2 ，故选 B.2.设O在ABC 的内部且满足 OA 2OB3OC0 ，则ABC 的面积与AOC 的面积之比为（）.A. 1B. 2C.33D.2答案： C解析：如图，建立平面直角坐标系，设 A(0,0), B( a, b), C(c,0), O( x, y) ，则OA(x,y) ， OB(ax,by)

3、 ，OC(cx, y) ；因为 OA2OB3OC0 ，所以2acx0 ，解得 b3ySABCb3 ，故选 C.36，从而y2b6y0S AOC3已知 AB 是圆 C : (x2y21 的直径， 点 P 为直线 xy10上任意一点， 则PA PB的最小值是 （）1).A. 21B.2C.0D.1答案： D解析：由题可知，圆心C1,0 ，设A1cos,sin，因为 AB 为直径，所以 B 1cos ,sin，设 P x, y ，则 PA1cosx,siny , PB1 cosx,siny，所以PA PB1x2cos2y2sin212y211x2212 x21 ，故 PA PB 的最小值为1，xx

4、1选 D.二、课堂练习1. 如图，在等腰直角三角形ABC 中， ACBC1，点 M , N 分别是 AB,BC 的中点，点 P 是ABC （包括边界）内任一点，则ANMP 的取值范围为（）.A. 1,1B.3 , 3C.1 , 1D. 1,14422答案： B解析：以M为坐标原点，MB,MC 分别为 x, y 轴建立平面直角坐标系，则( ,),2,0 ,22，AN,P x y424所以MP( ,),AN3 2 ,2 ，AN MP3 22y；令3 22y，即 y3x 2 2z ，目标x y44x4zx444函数在 A2 ,0, B2 ,0分别取得最小值和最大值，其值分别为3,3 ，故选 B.22

5、442已知A,B,C 为圆 O 上三点， CO 的延长线与线段AB 的延长线交于圆O 外 D 点若 OCmOAnOB, 则mn 在以下哪个范围内（） .A. (1,)B. (1,0)C. (, 1)D. (1,)答案： B解析：由于 A,B,D 三点共线，所以存在实数满足 ODOA1OB, 又 OD tOC,t1,所以 tOCOA1OB, 即 OCOA1OB ，对比 OCmOA nOB 可知： m, n1，ttttm11,0，所以 mn 的取值范围是1,0 nt3已知 a,b,e 是平面向量，e 是单位向量 . 若非零向量 a 与 e 的夹角为 ，向量 b 满足 b2 -4eb + 3 = 0

6、 ，则3| a - b | 的最小值是（） .A.31B.31C. 2D. 23答案： A解 析 ： 设 ax, y,e1,0 , b m,n， 则 由 a, e 得 aea e cos ， 即 x1x2y2 ， 整 理 得332y3 x ；由 b 2- 4eb + 3 = 0 得 m2n24m3 0 ，整理得m2 2n21，因此 |a - b | 的最小值为圆心2,0到直线 y23= 3 减去半径 1，为，故选 A.3x 的距离(3) 212三、课后作业1. 已知 P 是边长为2 的正ABC 的边 BC 上的动点，则AP (AB AC) （） .A. 最大值为 8B. 是定值 6C. 最小值

7、为 6D. 是定值 3答案： B解析：取 BC 中点 D ，建立如图所示的平面直角坐标系，易 知 A(0,3), B(1,0), C (1,0),P(m,0)， 其 中1 m 1 ； 则 AP (m,3) ， AB ( 1, 3),AC(1,3) ，AB AC(0,23) ，所以 AP (ABAC)6 ，故选 B.2. 已知腰长为2 的等腰直角ABC 中， M 为斜边 AB 的中点，点P 为该平面内一动点，若PC2 ，则PA PB4PCPM 的最小值为 _ 答案： 4832 2解析：如图建立平面直角坐标系，则 A2， 2,B 2, 2,M0, 2由 P 为该平面内一动点，且 | PC | 2

8、，所以 P 的轨迹是以 C 为圆心， 2 为半径的圆，所以 P 2cos ，2sin ,PAPB 4PCPM2cos2，- 2sin222cos ，- 2sin2 42cos，- 2sin2cos，- 2sin216sin 2322sin32 ，当 sin1 时，得到最小值为48 32 2，故答案为 48 32 2 .3在 ABC 中， BC 边上的中线 AD 的长为 2，点 P 是ABC 所在平面上的任意一点，则 PA PBPA PC的最小值为（） .A. 1B. 2C.2D. 1答案： C解 析 ： 建 立 如 图 所 示 的 平 面 直 角 坐 标 系 ， 使 得 点 D 在 原 点 处

9、 ， 点A 在y 轴 上 ， 则A0,2 设点 P 的坐标为x, y ，则 PAx,2y , POx,y ，故PA PBPA PC PA PB PC2PA PO2 x 2y 22y2 x2y 122 ，2当且仅当 x0, y1 时等号成立所以 PA PBPA PC 的最小值为2选 C4. 在ABC 中,角 A是 B,C 的等差中项,BAC的平分线交 BC于点 D ,若 AB4 , 且AD1 ACABR 则 AD 的长为 _4答案：3 3解析：因为角 A 是 B,C 的等差中项,A11,3, 又因 B,D,C 三点共线， 所以有4, 如图所示， 过点34D 分别作 AC, AB 的平行线交AB,

10、 AC 于点 M , N,则 AN13ABC 中， AA 的平分线交 BC于D，四边形 AMDN 是菱形，AC, AMAB,443AB4, AN AM3,AD 33.故答案为 33 5. 如图，在平面斜坐标系xOy 中，xOy 135，斜坐标定义：如果 OP xe1ye2 （其中 e1 ， e2 分别是 x 轴，y 轴的单位向量） ，则 x, y 叫做 P 的斜坐标 .（ 1）已知 P 得斜坐标为1,2，则 OP_ （ 2）在此坐标系内，已知A 0,2 ,B 2,0，动点 P 满足 APBP ，则 P 的轨迹方程是 _ 答案：（ 1） 1 （ 2） yx解析：（ 1） OP22， OP1e12e2e12e22e212e1（ 2）设 P x, y ，由 APBP 得 x, y 2x2, y，x2y222x 2y2 ，整理得 y x 6. 已知在直角梯形ABCD 中， ABAD2CD2 ，ADC90 ，若点 M 在线段 AC 上，则 MB MD 的取值范围为 _ 答案：25,225解析：建立如图所示的平面直角坐标系，则A