立体几何压轴题

1、立体几何压轴题一选择题（共6 小题）1（ 2018?浙江三模）在平面内，已知 ABBC ，过直线 AB ， BC 分别作平面，使锐二面角AB为，锐二面角BC为，则平面与33平面所成的锐二面角的余弦值为()1B 31D 3A 4C 4422（2018?温州二模）已知线段AB 垂直于定圆所在的平面，B ，C 是圆上的两点， H 是点 B 在 AC 上的射影，当 C 运动，点 H 运动的轨迹 ()A 是圆B 是椭圆C 是抛物线D 不是平面图形3（2018?浙江模拟）如图，设矩形ABCD 所在平面与梯形ACEF 所在平面相交于 AC ，若 AB1 ， BC3 ， AFFEEC1 ，则下列二面角的平面角

2、大小为定值的是 ()AFABCBBEFDCABFCDBAFD第1页（共 13页）4（2017?浙江模拟）已知正四面体 ABCD 和平面 ， BC，当平面 ABC 与平面 所成的二面角为 60 ，则平面 BCD 与平面所成的锐二面角的余弦值为 ()A261B2 23C2 6 1或2 236666D2 61 或 223665（2017?浙江模拟）如图，已知 ABC 是顶角为 C 120的等腰三角形，且 AC2 ，点 D 是 AB 的中点将 ACD 沿 CD 折起，使得 ACBC ，则此时直线 BC 与平 面AC所成角的正弦值为()A 6B 3C 2D 133336（ 2017?浙江模拟）利用一个球

3、体毛坯切削后得到一个四棱锥P ABCD ，其中底面四边形 ABCD 是边长为2 的正方形， PA 4 ，且 PA平面 ABCD ，则球体毛坯体积的最小值应为 ()A64B 32C86D326二填空题（共 2 小题）7（2018?台州一模）如图，在直角梯形 ABCD 中，AB / /CD ， ABC 90 ，1，ABACCD DA2 ，动点 M 在边 DC 上（不同于 D 点）， P 为边 AB 上任意一点，沿 AM 将ADM 翻折成AD M ，当平面 AD M 垂直于平面 ABC 时，线段 PD 长度的最小值为第2页（共 13页）8（2016?太原三模）在正方体ABCDA BC D 中， E

4、是棱 CC 的中点， F 是侧11111面 BCC1B1 内的动点， 且 A1F / / 平面 D1 AE ，则 A1 F 与平面 BCC1B1 所成角的正切值的取值范围是第3页（共 13页）立体几何压轴题参考答案与试题解析一选择题（共6 小题）1在平面 内，已知 ABBC ，过直线 AB ， BC 分别作平面， ，使锐二面角AB为，锐二面角BC为，则平面与平面所成的锐二33面角的余弦值为 ()1B 31D 3A 4C 442【分析】推导出平面与平面所成的锐二面角的余弦值为：coscoscos31 34【解答】 解：在平面内， ABBC ，过直线 AB ， BC 分别作平面，使锐二面角AB为，

5、锐二面角BC为，33平面与平面所成的锐二面角的余弦值为：coscoscos1 334故选： A【点评】本题考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题2已知线段 AB 垂直于定圆所在的平面，B ，C 是圆上的两点， H 是点 B 在 AC上的射影，当 C 运动，点 H 运动的轨迹 ()第4页（共 13页）A 是圆B 是椭圆C 是抛物线【分析】 设定圆圆心为 O ，半径为 r ，连接 OH ，设直径运用线面垂直的判定定理和性质定理，可得BHDH【解答】 解：设定圆圆心为 O ，半径为 r ，连接 OH ，设直径 BD ，连接 A

6、D ， CD ，由AB平面BCD，可得ABCD，由直径所对圆周角为直角，可得CDBC ，即有 CD平面 ABC ，D 不是平面图形BD ，连接 AD ，CD ，即可得到所求轨迹可得 CDBH ，BH AC，即有 BH平面 ACD ，则 BHDH ，在直角三角形 BDH 中，可得 OH OB ODr ，即有 H 的轨迹为以 O 为圆心， r 为半径的圆故选： A第5页（共 13页）【点评】本题考查线面垂直的判定定理和性质定理的运用，考查动点的轨迹问题，考查推理能力和空间想象能力，属于中档题3如图，设矩形 ABCD 所在平面与梯形 ACEF 所在平面相交于 AC ，若 AB1，BC3 ， AFFE

7、EC1 ，则下列二面角的平面角大小为定值的是()AF AB CBB EF DCA BF CDB AF D【分析】在等腰梯形ACEF 中，过 F 作 FGAC于G，作EHAC 于H ，连接BG ， DH ，可得BFG 为二面角 BEF A的平面角，DEH 为二面角DEFC 的平面角，由 AC平面 BGF ， AC 平面 DHE ，可得二面角BEFD 的平面角为 BFGDEH ，进一步求得BFGDEH 90 得答案【解答】 解：如图，第6页（共 13页）在等腰梯形 ACEF 中，过 F 作 FGAC 于G ，作 EHAC于H ，连接BG，DH ，在梯形 ACEF 中，由 AFCEEF ，可得 AG

8、1 ，2由三角形 ABC 为直角三角形，且 AB1， BC3 ，可得BAC 60 ，则 BG12(1)22 11 13 2222AGB90 ，即 BGAC ，则 AC平面 GFB ，BFG 为二面角 B EFA 的平面角，同理可得DEH 为二面角 DEFC 的平面角，AC 平面 BGF， AC平面 DHE ，则二面角BEFD 的平面角为B F GD EHBGF 与 DHE 均为等腰三角形，BFG180BGF ， DEH180DHE ，22FG /EH ，GB/ /HD ，BGFDHE180，BFGDEH360(BGFDHE )3601809022二面角 BEFD 为定值故选：B【点评】本题考查

9、面面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，训练了二面角的平面的求法，考查运算求解能力，是中档题4已知正四面体ABCD 和平面， BC，当平面 ABC 与平面所成的二面角为 60 ，则平面 BCD 与平面所成的锐二面角的余弦值为()A2 61B223C261或2236666第7页（共 13页）D2 61 或 22366【分析】首先求出正四面体侧面与底面所成角，然后分平面BCD 与平面 ABC 在异侧与平面 BCD 与平面 ABC 在同侧两类求解得答案【解答】 解：如图，设正四面体 ABCD 的棱长为 2，过 A 作 AO底面 BCD ，连接 DO 并延长，交 BC 于 E

10、 ，连接 AE ，可知AEO 为二面角 ABCD 的平面角，在 Rt AOE 中，可得 OE1 DE3，AE3 ，33cosAEO1 ，则 sinAEO2 2 33设平面 BCD 与平面所成的锐二面角为，AED，当平面 BCD 与平面 ABC 在异侧时，如图，则 coscos(60 )coscos60sinsin 60112 232 61 ；32326当平面 BCD 与平面 ABC 在同侧时，如图，则 coscos180(60)cos(60 )coscos60sinsin 60 ( 112 23 )261 32326平面 BCD 与平面所成的锐二面角的余弦值为261 6故选： A第8页（共 1

11、3页）【点评】本题考查二面角的平面角的求法，考查空间想象能力和思维能力，是中档题5如图， 已知ABC 是顶角为 C120 的等腰三角形， 且 AC2 ，点 D 是 AB 的中点将ACD 沿 CD 折起，使得 ACBC ，则此时直线BC 与平面 ACD 所成角的正弦值为 ()A 6B 3C 2D 13333【分析】过 B 作 BHAD 于 H ，易得 BH 面 ADC ，可得BCH 就是直线 BC 与平面 ACD 所成角 折叠后，BH22，在RBHC中，sin BCHBH63BC3即可【解答】 解：如图CDAD ，CDDB ，CD面ADB过B作BHAD 于H ，易得 BH面ADC，BCH 就是直

12、线 BC 与平面 ACD 所成角ACBC2， ACB120，ADDB3，CD1折叠后，ACBC ，AB2 2 在 ADB 中，设 AB 边上的高为 h ， hAD 2( 1 AB)212由 ABhADBHBH22 ，3第9页（共 13页）BH6在 R BHC 中， sin BCH3BC故选： A【点评】 本题考查了空间折叠问题，属于中档题6利用一个球体毛坯切削后得到一个四棱锥PABCD ，其中底面四边形ABCD是边长为2 的正方形， PA4 ，且 PA平面 ABCD ，则球体毛坯体积的最小值应为 ()A64B32C86D326【分析】 以 AB 、 AD 、 AP 为棱构造一个长方体，则这个长

13、方体的外接球就是球体毛坯体积的最小时对应的球，由此能求出球体毛坯体积的最小值 【解答】 解：利用一个球体毛坯切削后得到一个四棱锥P ABCD ，其中底面四边形 ABCD 是边长为 2的正方形， PA4 ，且 PA 平面 ABCD ，以 AB 、 AD 、 AP 为棱构造一个长方体， 则这个长方体的外接球就是球体毛坯体积的最小时对应的球，此时球半径 RPC2 2166 ，22球体毛坯体积的最小值：V4 R34( 6)38 633故选：C第 10 页（共 13 页）【点评】 本题考查球的体积的最小值的求法，考查空间中线线、 线面、 面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、 运算求解能力、 空

14、间想象能力， 考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想， 是中档题 二填空题（共 2 小题）7如图，在直角梯形 ABCD 中， AB/CD ，ABC 90 ， AB 1，AC CD DA 2 ，动点 M 在边 DC 上（不同于 D 点）， P 为边 AB 上任意一点，沿 AM 将 ADM 翻折成AD M ，当平面 AD M 垂直于平面 ABC 时，线段 PD 长度的最小值为152【分析】 设 D 在平面 ABCD 上的射影为 H ，根据 H 到直线 AB 的最小值及距离公式计算【解答】 解：设 D 在平面 ABCD 上的射影为 H ，显然当 AMD 最小值时， H 到直线 AB 的距离

15、最小，故折痕为 AC 时， H 为 AC 的中点，此时 D HDH3，此时， H 到直线 AB 的最小距离为 h1BC3 ，22第 11 页（共 13 页）PD 的最小距离为D H 2h215 2故答案为：15 2【点评】 本题考查了空间线面位置关系即空间距离的计算，属于中档题8在正方体 ABCDA B C D 中， E 是棱 CC 的中点， F 是侧面 BCC B 内的动1111111点， 且 A1F / / 平面 D1 AE ，则 A1F 与平面 BCC1 B1 所成角的正切值的取值范围是 2,2 2 【分析】设平面 AD1E 与直线 BC 交于点 G ，连接 AG 、EG ，则 G 为

16、BC 的中点，分别取 B1B 、 B1C1 的中点 M 、 N ，连接 AM 、 MN 、 AN ，可得到 A1 F 是平面 A1MN 内的直线， 观察点 F 在线段 MN 上运动， 即可得到 A1F 与平面 BCC1B1 所成角取最大值、 最小值的位置， 从而得到 A1 F 与平面 BCC1B1 所成角的正切取值范围【解答】解： 设平面 AD1 E 与直线 BC 交于点 G ，连接 AG 、 EG ，则 G 为 BC 的中点分别取 B1B 、 B1C1 的中点 M 、 N ，连接 AM 、 MN 、 AN ，则A1M / /D1E ， A1M平面 D1AE ， D1E平面 D1AE ，A1M / / 平面 D1AE 同理可得 MN / / 平面 D1AE ，A1M 、 MN 是平面 A1MN 内的相交直线平面 A1MN / / 平面 D1AE ，第 12 页（共 13 页）由此结合 A1 F / / 平面 D1 AE ，可得直线 A1F平面 A1MN ，即点 F 是线段 MN 上上的动点 设直线 A1 F 与平面 BCC1 B1 所成角为运