广东省揭阳市高三4月第二次模拟理科数学试题及答案

1、绝密启用前 广东省揭阳市2014届高三4月第二次模拟数学(理科)本试卷共4页，21小题，满分150分考试用时120分钟注意事项： 1答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上2选择题每小题选出答案后，用2b铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案答案不能答在试卷上3非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须填写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液不按以上要求作答的答案无效4考生必须保持答题卡的整洁考试结束后，将试卷和答题卡一并交回

2、参考公式：棱锥的体积公式：其中s表示棱锥的底面积，h表示棱锥的高一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1设全集，则a b c d 2.已知是虚数单位），则实数的值为a. b.1 c. 2 d. 3已知等差数列中,前7项和,则等于a.18 b. 20 c.24 d. 324运行如图1的程序框图，则输出s的结果是a. b. c. d. 5已知命题：函数是最小正周期为的周期函数，命题：函数在上单调递减，则下列命题为真命题的是a. b. c. d. 6某研究机构对高三学生的记忆力x和判断力y进行统计分析，得下表数据：x681012y2356

3、根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程中的的值为，则记忆力为14的同学的判断力约为（附：线性回归方程中，其中，为样本平均值)a7 b c8 d7 若，则a b c d8已知点、的坐标满足不等式组，若，则 的取值范围是a. b. c. d. 二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分（一）必做题（913题）9不等式的解集为 图 210的展开式中的系数为 11过点(2，1)作圆的弦，其中最短的弦长为 12已知一棱锥的三视图如图2所示，其中侧视图和俯视图都是等腰直角三角形，正视图为直角梯形，则该棱锥的体积为 13已知函数为偶函数，且若函数，则= 图 3（二

4、）选做题（1415题，考生只能从中选做一题）14(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中，过点引圆的一条切线，则切线长为 15（几何证明选讲选做题）如图（3），是圆o的切线，切点为，交圆于两点，且则的长为 .三解答题：本大题共6小题，满分80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤16（本小题满分12分）在中，已知且（1）求角b和的值；（2）若的边，求边ac的长17. （本小题满分12分）下表是某市从3月份中随机抽取的10天空气质量指数（aqi）和“pm2.5”（直径小于等于2.5微米的颗粒物）24小时平均浓度的数据，空气质量指数（aqi）小于100表示空气质量优良日期编号a1a2a3a4a5a

5、6a7a8a9a10空气质量指数（aqi）1794098124291332414249589“pm2.5”24小时平均浓度（）13558094801001903877066（1）根据上表数据，估计该市当月某日空气质量优良的概率；（2）在上表数据中，在表示空气质量优良的日期中，随机抽取两个对其当天的数据作进一步的分析，设事件m为“抽取的两个日期中，当天pm2.5的24小时平均浓度不超过75”，求事件m发生的概率；（3）在上表数据中，在表示空气质量优良的日期中，随机抽取3天，记为“pm2.5”24小时平均浓度不超过75的天数，求的分布列和数学期望18（本小题满分14分）已知等比数列满足：公比，数列

6、的前项和为，且（）.（1）求数列和数列的通项和；（2）设，证明：.19（本小题满分14分）如图4，已知三棱柱abca1b1c1的侧棱与底面垂直，且acb90，bac30，bc1，aa1，点p、m、n分别为bc1、cc1、ab1的中点（1）求证：pn/平面abc；（2）求证：ab1a1m；（3）求二面角c1a b1a1的余弦值 20（本小题满分14分） 图4已知抛物线的方程为，直线的方程为，点a关于直线的对称点在抛物线上（1）求抛物线的方程；（2）已知，点是抛物线的焦点，m是抛物线上的动点，求的最小值及此时点m的坐标；（3）设点b、c是抛物线上的动点，点d是抛物线与轴正半轴交点，bcd是以d为直

7、角顶点的直角三角形试探究直线bc是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由 21（本小题满分14分）已知函数（为常数）（1）函数的图象在点（）处的切线与函数的图象相切，求实数的值；（2）若，、使得成立，求满足上述条件的最大整数；（3）当时，若对于区间1,2内的任意两个不相等的实数，都有成立，求的取值范围数学(理科)参考答案及评分说明一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确

8、解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数四、只给整数分数一、选择题：cdab dbad解析：7.因，而，故，所以选a.8.设，由条件知：、，、，则，当且仅当点时上式取得最小值-7，当且仅当点点时，上式取最大值7.故选d.二、填空题：9;10-120 ；11；1216，132014，14，15. .解析： 12. 该几何体是底面为直角梯形的四棱锥，依题意得.13.由函数为偶函数得，则，故.14把a点和圆化为直角坐标系下的坐标和方程得，圆，a点到圆心的距离为6，半径为2，所以切线长为15由可得: ,由已知,可解得,所

9、以圆直径为3,又由可解得三.解答题：16.解（1）由，得且-1分可得-2分-3分-5分 -6分在abc中，-7分-9分（2）在abc中，由正弦定理得：，-10分-12分17.解：（1）由上表数据知，10天中空气质量指数（aqi）小于100的日期有：a2 、a3 、a5 、a9 、a10共5天，-1分故可估计该市当月某日空气质量优良的概率.-3分（2）由（1）知10天中表示空气质量为优良的天数为5，当天“pm2.5”的24小时平均浓度不超过75有编号为a2 、a9 、a10，共3天，-4分故事件m发生的概率.-6分（3）由（1）知，的可能取值为1,2,3. -7分且-8分-9分，-10分故的分布

10、列为：123-11分的数学期望-12分18.(1) 解法一：由得，-2分由上式结合得，则当时，-4分-5分，-7分，-8分数列是首项为，公比为4的等比数列，-9分，.-10分【解法二：由得，-2分由上式结合得，则当时，-4分-5分， -6分，-8分，-9分.-10分】 (2) 由得，-11分-13分【或】-14分19（1）证明：连结cb1，p是bc1的中点 ，cb1过点p，-1分n为ab1的中点，pn/ac,- -2分又面，面,pn/平面abc. -3分（2）证法一：在直角abc中，bc1，bac30， aca1c1-4分棱柱abca1b1c1的侧棱与底面垂直，且，以点c1为原点，以c1b1所

11、在的直线为x轴建立如图所示空间直角坐标系如图示，则，, , -6分,-7分-8分 a1mab1-9分【证法二：连结ac1，在直角abc中，bc1，bac30， aca1c1=,-4分-5分，即ac1a1m. -6分b1c1c1a1，cc1b1c1，且b1c1平面aa1cc1，-7分b1c1a1m，又，故a1ma b1c1，-8分面a b1c1， a1mab1. -9分】【证法三：连结ac1，在直角abc中，bc1，bac30， aca1c1-4分设ac1a1，ma1c1,-5分+90 即ac1a1m. -6分b1c1c1a1，cc1b1c1，且b1c1平面aa1cc1，-7分b1c1a1m，又

12、故a1m面a b1c1，-8分面a b1c1， a1mab1. -9分】（3）解法一：棱柱abca1b1c1的侧棱与底面垂直，且，以点c1为原点，以c1b1所在的直线为x轴建立如图所示空间直角坐标系，依题意得，,-11分设面的一个法向量为由得,令得.-12分同理可得面的一个法向量为-13分故二面角的平面角的余弦值为-14分【解法二：过c1作c1ea1b1交a1b1于点e，过e作efab1交ab1于f，连结c1 f，平面aa1bb1底面a1b1c1， c1e平面aa1bb1， c1eab1， ab1平面c1ef， ab1c1f，故为二面角c1a b1a1的平面角，-11分在中，,-12分又故-13分-14分】20.解：(1)设点a(3,-1)关于直线的对称点为坐标为(x,y),则解得-3分把点（1，3）代入，解得a = 4，所以抛物线的方程为-4分（2）是抛物线的焦点，抛物线的顶点为（0，-1），抛物线的准线为，-5分过点m作准线的垂线，垂足为a,由抛物线的定义知,=,当且仅当p、m、a三点共线时“=”成立，-7分即当点m为过点p所作的抛物线准线的垂线与抛物线的交点时，取最小值，这时点m的坐标为-9分（3）bc所在的直线经过定点，该定点坐标为，令，可得d点的坐标为设，显然，则-10分-11分，即直线bc的方程为即-13分所以直线bc经过定点.-14分21.