对学生宿舍设计方案的评价

1、对学生宿舍设计方案的评价摘 要学生在学校生活、学习和健康成长，直接或间接地受到在校期间的生活品质的影响，其中，学生宿舍的设计安排具有重要的作用。本文针对题目要求，利用层次分析法建立了一个综合量化评价的模型。首先，我们从四种设计方案提供的平面图和数据出发，利用1-9尺度构造了成对比较矩阵，并用MATLAB解出了相应的特征根和归一化后的特征向量，从而得到了组合权向量。接着，我们对组合权向量进行了组合一致性检验，对四种方案的经济性、舒适性、安全性做出了综合量化评价。最后给出了最优的排序方案，从优到劣依次是：设计2，设计4，设计3，设计1。为了进一步检验上述最优方案的合理性，我们计划制作问卷调查表分发

2、给在校生，并对四种方案的总分进行排名。关键字：层次分析法 归一化 组合一致性检验 MATLAB 问题重述学生宿舍能直接或间接地影响到学生的生活、学习和健康成长。学生宿舍的使用面积、布局和设施配置等的设计要满足生活舒适、方便管理、成本和收费的平衡，这些还与所处的地区有关。因此，学生宿舍的设计必须考虑经济性、舒适性和安全性等问题。经济性：建设成本、运行成本和收费标准等。舒适性：人均面积、使用方便、互不干扰、采光和通风等。安全性：人员疏散和防盗等。设计1、设计2、设计3和设计4是学生宿舍的设计方案。用数学建模的方法就经济性、舒适性和安全性做出综合性量化评价和比较。 预备知识层次分析法（Analyti

3、c Hierarchy Process,简记AHP）是美国匹兹堡大学教授萨蒂（Thomas L.Saaty)于20世纪70年代提出的一种系统分析方法。它是一种将决策者对复杂系统的决策思维过程模型化、数量化的过程。其原理是把复杂问题分解为各个组成因素，将这些因素按支配关系分组形成有序的阶梯层次结构，通过两两比较的方式确定层次中诸因素的相对重要性，然后综合人的判断，已决定决策诸因素相对重要性总的顺序。首先把问题条理化、层次化，构造出一个阶梯层次的结构模型，然后对同一层次个因素对上一层次某准则的重要性进行两两比较，构造成对比较矩阵。成对比较矩阵对应于最大特征根的特征向量，经归一化后即为同一层次相应因

4、素对于上一层次某因素相对重要性的排序权值。当时，则认为判断矩阵的一致性是可以通过的；但当时，则不能通过检验，应对1成对比较矩阵做适当调整。总排序权重要自上而下地将单准则下的权重进行合成。对层次总的排序做组合一致性检验，检验仍像层次总排序那样由高层到低层逐层进行。1、层次分析法基本流程图如下（1）：是否通过系统分析1-9尺度特征向量求法构造层次结构模型建立成对比较矩阵单排序计算权向量一致性检验评价结果组合一致性检验总排序计算组合权向量是否通过是否否是否(层次分析法的基本程序)2、构造成对比较矩阵（2）从宿舍设计层次结构模型的准则层开始，对于从属于上一层每个因素的同一层诸因素，用成对比较法和1-9

5、尺度（如下表），构造了成对比较矩阵，直到方案层为止。尺度含义1与的影响相同3比的影响稍强5比的影响强7比的影响明显的强9比的影响绝对的强2,4,6,8与的影响之比在上述两个相邻等级之间1,1/2，,1/9与的影响之比为上面的互反数(1-9尺度的含义)3、计算权向量并做一致性检验(3)对于上面构造的成对比较矩阵用MATLAB软件计算出最大特征值及相对应的特征向量，随之利用一致性指标（1），随机一致性指标（2）和组合一致性比率（3）做一致性检验。如果检验在容许范围之内，那么特征向量作为权向量；若不通过，需要重新构造成对比较矩阵。定义一致性指标为 （1）1234567891011000.580.90

6、1.121.241.321.411.451.491.51随机一致性指标的数值表 （2）定义一致性比率为 （3） 4、计算组合权向量并做组合一致性检验(2)利用（4）和MATLAB软件计算方案层对目标层的组合权向量，并用（5），（6），（7）和（8）做组合一致性检验。若检验在容许范围之内，则得到的组合权向量可以作为最终决策的依据；否则需重新考虑模型或重新构造那些一致性比率较大的成对比较阵。对于3个层次的决策问题，若第1层只有1个因素，第2、3层分别有，个因素，记第2，3层对第1，2层的权向量分别为以为列向量构成矩阵则第3层对第1层的组合权向量为更一般地，若共有层，则第层对第1层（设只有一个因素）

7、的组合权向量满足，其中是以第层对第层的权向量为列向量组成的矩阵。于是最下层（第层）对最上层的组合权向量为 （4）组合一致性检验可逐层进行。若第层的一致性指标为（是第层因素的数目），随机一致性指标为，定义 （5） （6）则第层的组合一致性比率为， （7）第层通过组合一致性检验的条件为 定义最下层（第层）对第一层的组合一致性比率为 （8）对于重大项目，仅当适当地小时，才认为整个层次的比较判断通过一致性检验。模型假设1）模型只考虑一层学生宿舍的设计；2）宿舍平面图中的每一种设施都是可以运用的；3）四种方案中单位面积的造价成本是一致的；4）忽略模型的随机因素； 5）影响经济性、舒适性、安全性的各个因素

8、是相互独立的。问题分析首先，综合考虑学生宿舍中的主要影响因素：经济性、舒适性和安全性。其次，确定影响因素的权向量，根据各个因素间的相互影响，对学生宿舍的设计方案用层次分析法综合量化。在综合分析此问题的基础上，将有关的影响因素按照不同属性自上而下逐步分解成四个层次。其中最上层（学生宿舍设计）为目标层，最下层（学生宿舍的四种设计）为方案层，中间层（经济性、舒适性和安全性）为准则层，而准则层分解出的（建设成本、运行成本、收费标准、人均面积、使用方便、互不干扰、采光和通风、人员疏散和防盗）为子准则层。用以上各评价指标构造层次结构，如下图:宿舍设计方案经济性舒适性安全性建设成本收费标准运行成本人均面积使

9、用方便互不干扰采光通风人员疏散防盗设计1设计2设计3设计4（学生宿舍设计综合评价的层次结构）符号说明1表示目标层；2表示准则层；3表示经济性；4表示舒适性；5表示安全性；6. 表示子准则层；学生宿舍设计方案的综合评价指标体系包括以下内容（716）：7建设成本：用楼层平面图的设计来估计整栋楼的总投资；8运行成本：水、电等费用与管理、服务等人员工资的总和；9收费标准：住宿费与网络费的和；10人均面积：寝室人均面积；11使用方便：盥洗室、淋浴间等设施的合理设计；12互不干扰：寝室人数与房间数量；13采光：是否有阳台及楼层的方位；14通风：窗子的大小及楼层的方位；15人员疏散：楼道的宽度、楼梯的个数及

10、布局情况；16防盗：宿舍门的安全性能；17. 表示方案层；18表示设计1；19表示设计2；20表示设计3；21表示设计4；22表示第层对第1层的权向量；23表示在第层的第个因素下的第层和相关的因素；24表示以第层对第层的权向量为列向量组成的矩阵；25表示第个矩阵的最大特征值；26表示矩阵的阶数；27 表示矩阵的转置；28表示第个一致性指标；29表示第个成对比较矩阵；30表示第层的组合一致性指标；31表示第个随机一致性指标；32表示第层的随机一致性指标；33表示第层的组合随机一致性指标；34表示第4层对第1层的组合一致性比率。模型建立与求解根据学生宿舍设计综合评价的不完全层次结构图，运用两两相互

11、对比，对比是采用相对尺度建立了成对比较矩阵。（1）第二层对第一层的成对比较矩阵为=由第二层的成对比较矩阵计算出归一化后的特征向量 最大特征值 第二层的一致性指标 利用随机一致性指标的数值表可查出 则第二层的一致性比率此时认为的不一致程度在容许的范围之内，可用其归一化特征向量作为权向量。（2）用同样的方法构造第三层对第二层的每一个因素的成对比较矩阵，分别为 由第三层的成对比较矩阵，分别计算出归一化后的特征向量最大特征值第三层的一致性指标 第三层的随机一致性指标 第三层的一致性比率 则第三层的均可通过一致性检验。由第三层的成对比较矩阵，计算出权向量，最大特征根和一致性指标，整合结果如下表(4):0

12、.31440.23290.45270.60920.21660.30.14210.26980.70.24870.19460.15670.16233.00245.072120.00120.01800.0053 （学生宿舍设计综合评价中子准则层C对准则层B的计算结果）第三层的组合一致性指标 第三层的组合随机一致性指标第三层的组合一致性比率即组合一致性检验通过。因此，第三层对第一层组合权向量为（3）用同样的方法得到第四层对第三层的每一个因素的成对比较矩阵分别为 由第四层的成对比较矩阵，分别计算出权向量，最大特征值和一致性指标，结果如下表：0.19150.04470.07820.05040.06280.

13、04530.03650.03780.13580.31690.10350.10370.14540.13550.14340.08510.36580.28750.19300.14700.35530.44190.22560.27410.32340.21190.28610.34700.15470.33280.27630.26290.25030.21770.19930.28890.15360.22400.24700.26710.26500.19150.37870.37270.33390.41420.19440.14160.40530.25310.03140.00290.01340.00230.01910.

14、02040.00180.00520.01590.01414.09414.00864.04034.00704.05724.06124.00554.01554.01774.0422 （学生宿舍设计综合评价中方案层D对子准则层C的计算结果）用同样的方法计算出第四层的，均可通过一致性检验。第四层的组合一致性指标 第四层的组合随机一致性指标第四层的组合一致性比率 即组合一致性检验通过。第四层对第一层的组合一致性比率为 即组合一致性检验通过。则第四层对第一层的组合权向量为在学生宿舍设计评价的问题中可以算出，组合一致性检验通过，于是前面得到的组合权向量可以作为最终评价的依据。结果表明最优的排序方案，从优到劣

15、依次是：设计2，设计4，设计3，设计1。模型的结果分析目标层与准则层的关系 图(1) 图(1)为第二层对第一层（准则层对目标层）的权向量分布图，从图中我们可以观察出经济性、舒适性和安全性在目标层中占的权值分别为，这些数据反映了安全性在宿舍设计方案中占的权重最大，经济性次之，舒适性最小。方案层与目标层的关系 图(2) 图(2)为第四层对第一层（方案层对目标层）的权向量分布图，从图中我们可以观察出设计1、设计2、设计3和设计4在目标层中占的权值分别为，进而可以得出四种设计方案从优到劣的排序依次为：设计2、设计4、设计3、设计1。综上所述，伴随国民经济的增长，生活水平也随之提高，学生的生活条件的要求

16、也越来越高。我们认为，由于地震、泥石流等自然灾害的影响及病毒和病毒等的侵入，较多的学生以安全性为基准，再结合自身的生理与心理因素来选择宿舍条件，从而我们得到了学生选择宿舍的最优设计方案。模型检验以上的模型是通过层次分析法得到的，由于在这个过程中涉及的群体数量太少，我们设计了下面的问卷调查表，计划并打印了100份分发给我们学校的在校生，来检验我们模型的合理性。方准 案则设计1（8人宿舍）设计2（4人宿舍）设计3（6人宿舍）设计4（6人宿舍）经济性建设成本运行成本收费标准舒适性人均面积使用方便互不干扰采 光通 风安全性人员疏散防 盗总 计注：用010对各因素的重要性进行打分。对问卷调查结果的分析步

17、骤如下：（1） 用EXCEL汇总方案的总分并进行排序；（2） 比较问卷调查的结果与上述模型的结果是否基本一致。模型评价优点：本模型讨论了学生宿舍设计的三个主要影响因素：经济性、舒适性和安全性，采用了群体判断的方式进行了量化分析，能够较好地反映学生宿舍设计和实际情况，是一种实际可行的方法，值得推广应用。缺点：在讨论学生宿舍设计主要影响因素时有一定的主观性和局限性。参考文献1 费小燕，层次分析法在第三物流服务商评价中的应用研究，商业经济，第8期；100 102页，2010。2 姜启源，谢金星，叶俊，数学模型（第三版），北京：高等教育出版社，2003。3 赵静，但琦，数学建模与数学实验（第三版），北

18、京：高等教育出版社，2000。4 杨启帆，方道元，数学建模，浙江大学出版社，1999。5 姜启源，明确建模目的把握建模方法，工程数学学报，2008.12。6 杨启帆，何勇，谈之奕，数学建模竞赛，浙江大学出版社，2005。7 王莲芬，许树柏，层次分析法引论，中国人民大学出版社，1990。8 徐燕，赵艳萍，基于层次分析和灰色关联度方法的民营企业竞争力评价研究，改革与战略，第7期；8385页，2010。附录1（目录） 摘要 11.问题重述 22、预备知识 22.1、层次分析法基本流程图 22.2、构造成对比较矩阵 32.3、计算权向量并做一致性检验 42.4、计算组合权向量并做组合一致性检验 43、

19、模型假设 54、问题分析 55、符号说明 66、模型的建立与求解 87、模型的结果分析 148、模型检验 159、模型评价 1610、参考文献 1711、附录 18附录2（平面图）方案1方案2方案3方案4附录3（MATLAB程序）1A=1 6/4 5/8;4/6 1 4/7;8/5 7/4 1;v,d=eig(A).v = Columns 1 through 2 0.5254 -0.2627 + 0.4550i 0.3892 -0.1946 - 0.3370i 0.7566 0.7566 Column 3 -0.2627 - 0.4550i -0.1946 + 0.3370i 0.7566 .

20、d = Columns 1 through 2 3.0111 0 0 -0.0055 + 0.1827i 0 0 Column 3 0 0 -0.0055 - 0.1827i2 A=1 9/2 7/3;2/9 1 3/5;3/7 5/3 1;v,d=eig(A)v = Columns 1 through 2 -0.9050 -0.9050 -0.2111 0.1056 - 0.1828i -0.3694 0.1847 + 0.3199i Column 3 -0.9050 0.1056 + 0.1828i 0.1847 - 0.3199id = Columns 1 through 2 3.002

21、4 0 0 -0.0012 + 0.0843i 0 0 Column 3 0 0 -0.0012 - 0.0843i3A=1 4/6 7/5 6/4 6/5;6/4 1 8/5 6/4 7/5;5/7 5/8 1 7/4 6/5;4/6 4/6 4/7 1 5/4;5/65/7 5/6 4/5 1;v,d=eig(A)v = Columns 1 through 2 0.4744 0.1761 + 0.3730i 0.5909 0.5248 0.4262 -0.3747 + 0.3634i 0.3433 -0.2938 - 0.3106i 0.3554 0.1805 - 0.2580i Colu

22、mns 3 through 4 0.1761 - 0.3730i -0.3747 + 0.4323i 0.5248 0.6209 -0.3747 - 0.3634i 0.1113 - 0.3600i -0.2938 + 0.3106i 0.0369 + 0.2000i 0.1805 + 0.2580i -0.2259 - 0.2298i Column 5 -0.3747 - 0.4323i 0.6209 0.1113 + 0.3600i 0.0369 - 0.2000i -0.2259 + 0.2298id = Columns 1 through 2 5.0721 0 0 0.0028 + 0

23、.5983i 0 0 0 0 0 0 Columns 3 through 4 0 0 0 0 0.0028 - 0.5983i 0 0 -0.0388 + 0.0818i 0 0 Column 5 0 0 0 0 -0.0388 - 0.0818i4 A=1 3/7;7/3 1;v,d=eig(A)v = 0.3939 -0.3939 0.9191 0.9191 d = 2 0 0 05 A=0.0012 0.09 0;B=0.3144 0.2329 0.4527;c=A*Bc =0.00466 A=0.58 1.12 0;B=0.3144 0.2329 0.4527;c=A*Bc = 0.4

24、4327 A=0.6092 0 0 0.1421 0 0 0.2487 0 0 0 0.2166 0 0 0.2698 0 0 0.1946 0 0 0.1567 0 0 0.1623 0 0 0 0.3 0 0 0.7;B=0.3144 0.2329 0.4527;c=A*Bc = 0.1915 0.0447 0.0782 0.0504 0.0628 0.0453 0.0365 0.0378 0.1358 0.31698 A=1 3/7 2/6 2/7;7/3 1 5/3 6/4;6/2 3/5 1 5/4;7/2 4/6 4/5 1;v,d=eig(A) v = Columns 1 thr

25、ough 2 0.1943 -0.0596 - 0.2284i 0.6673 0.7507 0.5189 -0.0044 + 0.4037i 0.4977 -0.4134 + 0.2164i Columns 3 through 4 -0.0596 + 0.2284i -0.1159 0.7507 0.3541 -0.0044 - 0.4037i -0.6539 -0.4134 - 0.2164i 0.6585 d = Columns 1 through 2 4.0941 0 0 -0.0211 + 0.6185i 0 0 0 0 Columns 3 through 4 0 0 0 0 -0.0

26、211 - 0.6185i 0 0 -0.0520 9 A=1 2/7 3/8 3/5;7/2 1 7/5 8/5;8/3 5/7 1 7/5;5/3 5/8 5/7 1;v,d=eig(A)v = Columns 1 through 2 -0.2137 0.2485 -0.7106 0.5023 -0.5418 -0.8154 -0.3947 -0.1452 Columns 3 through 4 -0.1745 + 0.1112i -0.1745 - 0.1112i 0.7805 0.7805 0.0284 + 0.3476i 0.0284 - 0.3476i -0.1323 - 0.45

27、70i -0.1323 + 0.4570id = Columns 1 through 2 4.0086 0 0 -0.0035 0 0 0 0 Columns 3 through 4 0 0 0 0 -0.0026 + 0.1854i 0 0 -0.0026 - 0.1854i10 A=1 3/6 4/6 3/7;6/3 1 5/7 4/7;6/4 7/5 1 3/5;7/3 7/4 5/3 1;v,d=eig(A)v = Columns 1 through 2 0.2757 0.1105 - 0.3261i 0.4278 -0.6046 0.4747 0.2014 + 0.5309i 0.7

28、181 0.4369 + 0.0514i Columns 3 through 4 0.1105 + 0.3261i -0.1413 -0.6046 0.0617 0.2014 - 0.5309i -0.4104 0.4369 - 0.0514i 0.8988 d = Columns 1 through 2 4.0403 0 0 -0.0162 + 0.4030i 0 0 0 0 Columns 3 through 4 0 0 0 0 -0.0162 - 0.4030i 0 0 -0.0078 11 A=1 3/6 3/5 3/8;6/3 1 7/5 6/9;5/3 5/7 1 5/8;8/3

29、9/6 8/5 1;v,d=eig(A)v = Columns 1 through 2 0.2562 -0.4997 0.5182 -0.0000 0.4115 0.3331 0.7046 0.7996 Columns 3 through 4 0.0531 - 0.0829i 0.0531 + 0.0829i -0.2332 + 0.5395i -0.2332 - 0.5395i -0.2989 - 0.2961i -0.2989 + 0.2961i 0.6840 0.6840 d = Columns 1 through 2 4.0070 0 0 0.0000 0 0 0 0 Columns

30、3 through 4 0 0 0 0 -0.0035 + 0.1672i 0 0 -0.0035 - 0.167212 A=1 3/5 4/6 2/6;5/3 1 5/3 5/4;6/4 3/5 1 3/5;6/2 4/5 5/3 1;v,d=eig(A)v = Columns 1 through 2 0.2727 -0.1315 - 0.2819i 0.6151 0.6909 0.3792 -0.0458 + 0.0663i 0.6352 -0.3361 + 0.5536i Columns 3 through 4 -0.1315 + 0.2819i 0.1530 0.6909 0.2470

31、 -0.0458 - 0.0663i -0.7473 -0.3361 - 0.5536i 0.5976 d = Columns 1 through 2 4.0572 0 0 -0.0359 + 0.4814i 0 0 0 0 Columns 3 through 4 0 0 0 0 -0.0359 - 0.4814i 0 0 0.0147 13 A=1 2/7 2/6 2/8;7/2 1 3/5 3/7;6/2 5/3 1 4/6;8/2 7/3 6/4 1;v,d=eig(A)v = Columns 1 through 2 -0.1535 -0.0858 - 0.1970i -0.3823 -

32、0.4109 + 0.3831i -0.5213 0.4087 + 0.1514i -0.7474 0.6696 Columns 3 through 4 -0.0858 + 0.1970i -0.0142 -0.4109 - 0.3831i 0.0834 0.4087 - 0.1514i -0.6160 0.6696 0.7832 d = Columns 1 through 2 4.0612 0 0 -0.0286 + 0.4976i 0 0 0 0 Columns 3 through 4 0 0 0 0 -0.0286 - 0.4976i 0 0 -0.0040 14 A=1 7/5 7/3

33、 7/4;5/7 1 6/3 6/4;3/7 3/6 1 5/6;4/7 4/6 6/5 1;v,d=eig(A)v = Columns 1 through 2 -0.6949 0.7313 -0.5437 -0.1128 + 0.5531i -0.2919 -0.2267 - 0.0588i -0.3693 -0.0257 - 0.3017i Columns 3 through 4 0.7313 -0.5892 -0.1128 - 0.5531i 0.4405 -0.2267 + 0.0588i -0.4133 -0.0257 + 0.3017i 0.5367 d = Columns 1 t

34、hrough 2 4.0055 0 0 -0.0007 + 0.1490i 0 0 0 0 Columns 3 through 4 0 0 0 0 -0.0007 - 0.1490i 0 0 -0.0042 15 A=1 5/7 6/4 6/3;7/5 1 7/5 7/3;4/6 5/7 1 5/3;3/6 3/7 3/5 1;v,d=eig(A)v = Columns 1 through 2 0.5500 -0.2437 + 0.5685i 0.6638 0.6505 0.4285 -0.3046 - 0.3017i 0.2708 0.0480 - 0.0905i Columns 3 thr

35、ough 4 -0.2437 - 0.5685i 0.0000 0.6505 -0.7588 -0.3046 + 0.3017i -0.3613 0.0480 + 0.0905i 0.5420 d = Columns 1 through 2 4.0155 0 0 -0.0078 + 0.2494i 0 0 0 0 Columns 3 through 4 0 0 0 0 -0.0078 - 0.2494i 0 0 0.0000 16 A=1 6/4 5/7 3/7;4/6 1 4/6 3/7;7/5 6/4 1 3/5;7/3 7/3 5/3 1;v,d=eig(A)v = Columns 1 through 2 -0.3605 0.3317 - 0.3729i -0.2891 0.1876 + 0.3453i