直线方程x=my+b分析

1、直线方程x=my+b分析李鹏解析几何中，在设直线方程时，习惯于用y=kx+b的形式，但这类直线方程不能表示与x轴垂直的直线，往往需要分类讨论k的存在与否。但当直线斜率不为零时，或过x轴上某点（b,0）时，可将直线设为x=my+b(其中b为横截距），不仅可以回避直线斜率是否存在的分类讨论，而且有时能大大地简化运算，达到优化解题的目的。直线方程x=my+b的特征：1. 所表示直线斜率为1/m，若直线倾斜角为，则m=cot.2. 直线在x轴上的截距为b.3. 能表示与x轴垂直的直线，但不能表示与y轴垂直（斜率为零）的直线。一、 解决三角形面积的问题e.g.1：抛物线y2=2px(p0)的焦点为F，A

2、B是过焦点的弦，且直线AB的倾斜角为300 求：OAB的面积。e.g.2：过点D（2，0）的直线L交曲线C：y2=4(x-1)于P、Q两点，E点的坐标是（1，0），若EPQ的面积为4，求直线L的倾斜角的值。解：依题意可设直线方程为：x=my+2P(x1,y1) Q(x2,y2)联立 x=my+2 消去x得y2-4my-4=0 y2=4(x-1)则：y1+y2=4m y1y2=-4 所以： 即：=/6或=5/6 e.g.3:设F1 , F2 是椭圆2x2 + 3y2 = 6的左、右焦点,弦AB过F2. 求F1AB的面积的最大值。总结：设直线AB 的方程为x = m y + 1,避免了对直线AB

3、的斜率存在与不存在的讨论. 本题恰好是直线AB的斜率不存在时, F1AB达到最大值因此, 在已知直线过x轴上的某点, 或在要考虑斜率不存在的直线方程时,设此方程形式不仅能显示出其优越性,而且能回避陷入僵局的情形.二、用于解决点的轨迹问题e.g.4：已知抛物线C：y2=2px(p0)的焦点为F，直线L过定点A（4，0），且与抛物线交于P、Q两点。 若以弦PQ为直径的圆恒过原点O，求抛物线C.。 在的条件下，求动点R的轨迹方程。解：依题意，可设直线L的方程为x=my+4联立 x=my+4 y2=2px 消去x得：y2-2pmy-8p=0设P(x1,y1) Q(x2,y2) 则：y1+y2=2pm

4、y1y2= -8p x1x2=m2y1y2+4m(y1+y2)+16= -8pm2+8pm2+16=16 由已知可得：即：x1x2+y1y2=0 16-8p=0 p=2 即y2=4x由知，抛物线方程为y2=4x设动点R（x,y）F(1,0) P(x1,y1) Q(x2,y2) (x1-1,y1)+(x2-1,y2)=(x-1,y) x-1=x1+x2-2=m(y1+y2)+6 y=y1+y2由知：y1+y2=4m代入上式有：x=4m2+7 y=4m 消去参数m，得动点R的方程为：y2=4x-28故：y2=4x-28为所求动点R轨迹方程。三、用于判断动直线是否过定点问题e.g.5：已知点A (x

5、0 , 2) 在曲线C: y2 = 4x上,过点A 作曲线C的两条弦AD和AE, 且AD、AE的斜率分别为k1、k2 满足k1k2 = 2,试判断动直线DE是否过定点并证明。四、用于解决探索性问题e.g.6：已知抛物线y2=4x ，在x轴上是否存在一点P（b,0）,使得过点P任意作抛物线的一条弦，以该弦为直径的圆都过原点。若存在请求出b值，若不存在请说明理由。解：假设存在点P（b,0）,满足题意，设过点P（b,0）作弦为MN，直线MN的方程为x=my+b.M(x1,y1) , N（x2,y2） 联立 x=my+b. y2=4x消去x得：y2-4my-4b=0 .则：y1+y2=4m y1y2=-4b x1x2=my1y2+bm(y1+y2)+b2 =-4mb+4mb+b2=b2若以弦MN为直径的圆过原点，则有即：x1x2+y1y2=0b2-4b=0.解得：b=4或b=0(不合题意舍去)故，在x轴上存在着点P（4，0）满足题意。根据题设条件, 选用恰当的直线方程形式是达到求简目的的重要手段, 一旦灵活选用恰当的方程,就可以