正态分布 习题及答案

1、 1.5 正态分布山东省德州一中 高级教师 房新宝知识要点巩固与梳理 1. 正态分布：总体密度曲线近似地是下面函数的图象； （1） 式中的是参数，分别表示总体的平均数与标准差，这个总体是有限容量的抽象总体，其分布叫做正态分布。 2. 正态曲线 正态分布常记作，（1）的图象被称为正态曲线。 如图1-14，1-15，1-16是三条正态曲线取值不同。 3. 标准正态总体 在函数式（1）中，当时，正态总体称为标准正态总体，此时相应的函数表示式是：（2） 4. 标准正态曲线 函数式（2）所对应的曲线称为标准正态曲线，它有如下性质： （1）曲线在x轴上方，与x轴不相交 （2）曲线关于直线x=0对称 （3）

2、曲线在x=0时位于最高点 （4）当x0时，曲线下降，并且当曲线向左、右两边无限延伸时，此x轴为渐近线，向它无限靠近。 （5）曲线的形状由确定，越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散；越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中，如图1-17。 由于标准正态曲线关于y轴对称，表中只给出了对应于非负值的值，如果，由图1-18中两个阴影部分面积相等知： 利用“标准正态分布表”可以求出标准正态总体在任一区间（）内取值的概率，如图1-19。 标准正态总体n（0，1）在正态总体的研究中占有非常重要的地位，可以根据“标准正态分布表”解决相应于的值的概率即 首先，要求正确使用标准正态分布表。其查读方法是：“

3、先竖后横”。表中只给出非负值的值，其它情形都可转化成这种基本情况。对于非标准正态分布而言，也是使用了这种化归与转化的思想，建议通过动手练习，体味理解和学会这种转化方式。 标准正态分布表 x001234567890.00.50000.50400.50800.51200.51600.51990.52390.52790.53190.53590.10.53980.54380.54780.55170.55570.55960.56360.56750.57140.57530.20.57930.58320.58710.59100.59480.59870.60260.60640.61030.61410.30.6

4、1790.62170.62250.62930.63310.63680.64060.64430.64800.65170.40.65540.65910.66280.66640.67000.67360.67720.68080.68440.68790.50.69150.69500.69850.70190.70540.70880.71230.71570.71900.72240.60.72570.72910.73240.73570.73890.74220.74540.74860.75170.75490.70.75800.76110.76420.76730.77030.77340.77640.77940.7

5、8230.78520.80.78810.79100.79390.79670.79950.80230.80510.80780.81060.81330.90.81590.81860.82120.82380.82640.82890.83150.83400.83650.83891.00.84130.84380.84610.84850.85080.85310.85540.85770.85990.86211.10.86430.86650.86860.87080.87290.87490.87700.87900.88100.88301.20.88490.88690.88880.89070.89250.8944

6、0.89620.89800.89970.90151.30.90320.90490.90660.90820.90990.91150.91310.91470.91620.91771.40.91920.92070.92220.92360.92510.92650.92780.92920.93060.93191.50.93320.93450.93570.93700.93820.93940.94060.94180.94300.94411.60.94520.94630.94740.94840.94950.95050.95150.95250.95350.95451.70.95540.95640.95730.9

7、5820.95910.95990.96080.96160.96250.96331.80.96410.96480.96560.96640.96710.96780.96860.96930.97000.97061.90.97130.97190.97260.97320.97380.97440.97500.97560.97620.97672.00.97720.97780.97830.97880.97930.97980.98030.98080.98120.98172.10.98210.98260.98300.98340.98380.98420.98460.98500.98540.98572.20.9861

8、0.98640.98680.98710.98740.98780.98810.98840.98870.98902.30.98930.98960.98980.99010.99040.00960.99090.99110.99130.99162.40.99180.99200.99220.99250.99270.99290.99310.99320.99340.99362.50.99380.99400.99410.99430.99450.99460.99480.99490.99510.99522.60.99530.99550.99560.99570.99590.99600.99610.99620.9963

9、0.99642.70.99650.99660.99670.99680.99690.99700.99710.99720.99730.99742.80.99740.99750.99760.99770.99770.99780.99790.99790.99800.99812.90.99810.99820.99820.99830.99840.99840.99850.99850.99860.99863.00.99870.99900.99930.99950.99970.99980.99980.99990.99991.000 例正态总体为时，概率密度函数是： （1）证明是偶函数； （2）求的最大值； （3）利

10、用指数函数的性质说明的增减性。 解析对于任意的， 是偶函数。 （2）令，当时，。 是关于z的增函数，当时， 当，即时，取得最小值。 当时，取得最大值。 （3）任取，且，有， ， ， 即。 它表明当时，是递增的。 同理可得，对于任取的，则，有，即当时，是递减的。典型例题导悟与精析 例1求标准正态总体在（-1，2）内的取值概率？ 解析 例2设服从n（0，1），求下列各式的值； （1）；（2）； （3）。 解析因为服从标准正态分布，所以可以借助于标准正态分布表，查出其值。但由于表中只列出的情形，故需要转化成小于非负值的概率。公式：； 有其用武之地。 答案 （1）； （2）； （3） 。 例3设服从n

11、（1.5，2），试求： （1）；（2）； （3）；（4）。 解析这里，一般正态分布，总体小于x的概率值f（x）与p（）和是一样的表述，即：。首先，应将一般正态分布n（1.5，2）转化成标准正态分布，利用结论，若，则由知，。其后再转化为非负标准正态分布情况的表达式，通过查表获得结果。 答案 （1）； （2）； （3）； （4） 例4若公共汽车门的高度是按照保证成年男子与车门顶部碰头的概率在1%以下设计的，如果某地成年男子的身高（单位：cm），则该地公共汽车门的高度应设计为多高？ 实际应用问题，分析可知：求的是门的最低高度，可设其为x（cm），使其总体在不低于x的概率值小于1%，即：，从中解出x的

12、范围。 解答设该地公共汽车门的高度应设计高为xcm，则根据题意可知： ，由于 所以，； 也即：； 通过查表可知：； 解得：； 即该地公共汽车门至少应设计为189cm高。 说明逆向思维和逆向查表，体现解决问题的灵活性。关键是理解题意和找出正确的数学表达式。 例5已知，从某批材料中任取一件时，取得的这件材料的强度服从。 （1）计算取得的这件材料的强度不低于180概率。 （2）如果所用的材料要求以99%的概率保证强度不低于150，问这批材料是否符合这个要求。 解析“不低于”的含义即在表达式中为“大于或等于”，转化“小于”后，仍须再转化为非负值的标准正态分布表达式，从而才可查表。 这是一个实际问题，只

13、要通过数学建模，就可以知道其本质就是一个“正态分布下求随机变量在某一范围内取值的概率”的问题；本题的第二问是一个逆向式问法，只要把握实质反向求值即可。 答案（1） ； 即从这批材料中任取一件时，强度保证不低于150的概率为，所以这批材料符合所提要求。 例6证明若服从（）则一定有： 解析注意到对于一般正态分布n（）来说，取值小于x的概率是，这就建立了概率值与函数值的对等关系，由此入手，即可证明问题。 证明因为服从，所以，取值小于和的概率分别为 ，故正态总体在（）内取值的概率为： ； 也即：。 说明对于标准正态分布n（0，1）来说，总体在区间（）内取值的概率是有着明显的几何意义的，即介于直线和间的

14、阴影部分面积（图形参看p.32图1-6（1）。而一般正态分布n（）总体在区间（）取值的概率也是同样的原理，是总体密度曲线下的面积。一般正态分布与标准正态分布间的关系正是： 若，则： 。 例7分别求出正态总体n（）在区间（）（）、（）内取值的概率。 解 正态总体在（）内取值概率是 同理： 说明可以看出，正态总体在（）以外取值的概率只有4.6%，在以外取值的概率只有0.3%，由于这些概率值很小，通常称这些情况发生为小概率事件，通常认为这些情况在一次试验中几乎是不可能发生的。 正态分析假设分析： 假设工厂生产某种尺寸的产品在正常情况下服从某种分布，为了说明方便，不妨假设它服从正态分布n（），那么从例

15、3知道，产品尺寸落在（）内取值的概率为99.7%，即产品尺寸落在（）以外的概率只有0.3%，这是一个小概率事件。这说明在大量重要实验中，平均抽取1000个零件，属于这个范围以外的产品尺寸只有3个，即在一次实验中，产品尺寸在（）以外是几乎不可能发生的，而如果这种事件一旦发生，即产品尺寸a满足，我们就有理由主认为这时制造的产品尺寸是不服从正态分布n（）的。 控制图的应用： 根据上面叙述检验的基本思想，人们把图1-12，按照顺时针方向旋转就得到一张控制图（图1-21），图1-20中的直线分别成为图1-21的中心线，控制下图是控制上界。在生产过程中，从某一时刻起（如上午9时），每隔一定时间（如1小时）

16、任取一个零件进行检查，并把尺寸用圆点在图中表示出来，为了便于看出圆点的变动趋势，常用折线将它们连接起来，从图1-21可以看出，前3个圆点都在控制界限内，可以认为生产正常，但第四个点超出了控制上界，可以认为有异常情况发生，应该立即停机检查。综合素质训练与测试 1. 若设随机变量，且p（），则c的值为（b） a. 0b. c. d. 2. 设随机变量，则的值为（a） a. 1b. 2c. d. 4 3. 若随机变量，则（ ）（c） a. b. c. d. 4. 设随机变量，则服从（d） a. b. c. d. 5. 若随机变量，且，则等于（b） a. b. c. d. 6. 利用标准正态分布表，求

17、标准正态总体在下面区间内取值的概率 （1）（）（2）（） 答案（1）0.943；（2）0.989 7. 利用标准正态分布表，求正态总体n（3，5）在下面区间内的概率 （1）（-3，0）；（2）（-1，1） 答案（1）0.160；（2）0.133 8. 求正态总体n（1，）在区间内取值的概率。 答案0.516 9. 某校毕业班一次测试成绩近似服从正态分布n（100，10），求该校毕业班这次测试成绩在100120之间的考生人数占总人数的百分比。 解析， 。故约占48%。 10. 某地区的月降水量（单位：cm）服从正态分布n（40，4），试求该地区连续10个月降水都不超过50cm的概率。 解析， 所以。即该地区连续10个月降水量都不超过50cm的概滤为。 11. 某县农民平均收入服从元，元的正态分布 求：（1）此县农民年均收入在500元520元之间的人数的百分比。 （2）