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1、第一节 线性方程组的解,第三章 矩阵的初等变换 与线性方程组,中南财经政法大学统计与数学学院,消元法解线性方程组 例,中学代数已介绍过二元、三元线性方程组的消元法高斯消元法,下面再作三例，以求其规律。,例1 解线性方程组,解：分别把方程组中第一个方程的(-3)倍和(-2) 倍加到第二个方程和第三个方程上,消去 这两个方程中的未知量 ,得,上面的第三个方程两边除以 ,得,交换第二、三个方程,得,在上面的方程组中,把第二个方程的7倍加到第三个方程上,消去未知量 ,得到,方程组(2.2)与原方程组同解,由方程组(2.2) 的最后一个方程可得 再把 代 入第二个方程，求得 ,最后，把 代入第一个方程，

2、解得 .所以原方程组(2.1)的解为：,方程组 (2.2) 的特点是:自上而下的各个方程所含未知数的个数减少,这种形式的线性方程组,一般称为阶梯形方程组.,由原方程组化为阶梯形方程组的过程,称为消元过程.,由阶梯形方程组自下而上逐次求得各未知量的过程,称为回代过程.,1. 交换两个方程的位置； 2. 某个方程的两边同乘以一个非零的数； 3. 某一个方程的若干倍加到另一方程上.,称为线性方程组的初等变换(同解变换),在求解过程中，对方程组共施行了三种变换：,注：事实上，在初等变换过程中，只有各方程的系数和常数项发生变化，因此求解过程可以写得更为简单.,对一般的线性方程组：,则线性方程组的矩阵形式

3、为：,这个矩阵也称为方程组(2.1)的增广矩阵.,对于方程组施以初等变换,就相当于对矩阵增广 矩阵施以相应的行初等变换。,例1的消元过程可以非常简单地写成下述形式:,阶梯型,方程组的解为：,行最简阶梯型P69,解对方程组的增广矩阵施以初等行变换化为阶梯形矩阵：,对应的阶梯形方程组,所以原方程组也无解.,例解线性方程组,解：,最后的阶梯形矩阵所对应的阶梯形方程组为,阶梯形方程组还可以写成,最简阶梯型矩阵对应的方程为：,此式称为线性方程组的一般解或通解。,线性方程组解的情况： 唯一解 无穷多组解 无解,求解线性方程组解：,到阶梯型这步已经能判断解的情况,线性方程组解的判定,证明：,此方程组（3.12）与原方程组是同解的,它对应的阶梯形方程组为,进一步可化为最简型：,对应方程组的解为：,它对应的阶梯形方程组为,总结：,下面考虑m个方程n个未知量的齐次线性方程组,说明：对于齐次线性方程组，常数列可省去，即只需对系数矩阵作初等变换.,两种特殊的情形：,推论,推论,例 求解齐次线性方程组,解,即得与原方程组同解的方程组,由此即得,例 求解非齐次线性方程组,解,对增广矩阵进行初等变换，,故方程组无解,例,解证,对增广矩阵B进行初等变换，,方程组的增广矩阵为,由于原方程组等价于方程组,由此得通解：,例 设有线性方程组,

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