椭圆的基本知识

1、精品文档椭圆的基本知识一、基本知识点知识点一：椭圆的定义：椭圆三定义，简称和比积1、定义 1：（和）到两定点的距离之和为定值的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距,定值为 _。2、定义 2：（比）到定点和定直线的距离之比是定值的点的轨迹叫做椭圆。定点为焦点，定直线为准线，定值为 _。3、定义 3：（积）到两定点连线的斜率之积为定值的点的轨迹是椭圆。两定点是长轴端点，定值为 m e2 1( 1 m0) 。知识点二：椭圆的标准方程、当焦点在 x 轴上时，椭圆的标准方程为_，其中c2a2b2。12、当焦点在 y 轴上时，椭圆的标准方程为_，其中 c2a2b2 。知识点

2、三：椭圆的参数方程x2y 21(a b0) 的参数方程为 _ 。a2b2知识点四：椭圆的一些重要性质（ 1）对称性： 椭圆的标准方程是以 x 轴、 y 轴为对称轴的轴对称图形，并且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心就是椭圆的中心。（ 2）范围： 椭圆上所有的点都位于直线xa 和 yb 所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足xa, y b 。（ 3）顶点： 椭圆的对称轴与椭圆的交点为椭圆的顶点；椭圆 x2y21(ab0) 与坐标轴的四个顶点分别为_ 。a2b2椭圆的长轴和短轴。（ 4）离心率：椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用 e 表示，记作 e2cc 。因为 ac0，所以

3、 e 的取值范围是0e1。2aa（ 5）焦半径： 椭圆上任一点 P( x0 , y0 ) 到焦点的连线段叫做焦半径。对于焦点在 x 轴上的椭圆，左焦半径 r1a ex0 ，右焦半径 r2 a ex0 。（ 6）准线方程：a2xc（ 7）焦准距： 焦点到准线的距离，用b2p 表示，记作 p。c.精品文档（ 8）通径： 过焦点垂直于长轴的直线与椭圆的两交点之间的距离称为椭圆的通径，长用d表示，记作 d 2ep 2. c . b22b2。aca（ 9）切线方程： 过椭圆 x2y21( a b0) 上 x0 , y0点的切线方程， 可以用x0 , y0 等a2b 2效代替椭圆方程得到。等效代替后的切线

4、方程是：xx0yy01。a2b2（ 10）极点与极线：若 P0x0 , y0是椭圆x2y 21(a b0) 外一点，过P0 作椭圆的两a2b2条切线，切点为12 ，则点 0 和切点弦P1P2分别称为椭圆的极点和极线。P , PP切点弦 P1P2 的直线方程即极线方程是x0 xy0 y1（极线定理） 。a2b2（ 11）中点弦方程和弦中点轨迹：中点弦 AB 的方程：在椭圆中，若弦AB 的中点为 M ( x0 , y0 ) ，弦 AB 称为中点弦，则中点弦的方程就是x0 x y0 y x02y02，是直线方程。a2b2a 2b2弦中点 M 的轨迹方程：在椭圆中，过椭圆内点P0x0 , y0的弦 A

5、B ，其中点 M 的方程就是x0 xy0 yx2y 2a 2b2a2b2 ，仍为椭圆。知识点五：椭圆x2y21和 y2x 21(a b 0)的区别和联系a2b2a 2b2标准方程x2y21(a b0)y 2x21(a b0)a2b2a2b2图形.精品文档焦点焦距范围对称性性质顶点轴长离心率准线方程焦半径二、规律方法1、如何确定椭圆的标准方程？确定一个椭圆的标准方程需要三个条件：两个定形条件a,b ；一个定位条件焦点坐标，由焦点坐标的形式确定标准方程的类型。2、椭圆标准方程中的三个量a, b,c 的几何意义a, b, c 构成一个直角三角形的三边，满足勾股定理。3、如何由椭圆标准方程判断焦点的位

6、置？椭圆的焦点总在长轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看x 2 , y 2 的分母的大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上。4、方程 Ax2By 2C ( ABC0) 是表示椭圆的条件。5、求椭圆标准方程的常用方法：待定系数法： 由已知条件确定焦点的位置，从而确定椭圆方程的类型，设出标准方程，再由条件确定方程中的参数a,b, c 的值。其主要步骤是“先定型，再定量”；定义法：由已知条件判断出动点的轨迹是什么图形，然后再根据定义确定方程。6、共焦点的椭圆标准方程形式上的差异共 焦 点 ， 则 c 相 同 。 与 椭 圆 x 2y2 1(a b0) 共 焦 点 的 椭 圆 方 程 可

7、设 为a 2b2a2x2y21(m b2 ) ，此类问题常用待定系数法求解。mb2m7、如何求解与焦三角形PF1F2 ( P 是椭圆上的点 )有关的计算问题？焦三角形：以椭圆的两个焦点F1, F2 为顶点，另一个顶点P 在椭圆上的三角形称为焦三角形。半角是指F1PF2 的一半。则焦三角形的面积为：Sb2 tan。2.精品文档8、直线与椭圆问题的有关计算问题（韦达定理的应用）（ 1）弦长公式（ 2）中点弦问题（点差法）三、四种题型与三种方法（一）四种题型1、已知椭圆 C : x2y 21内有一点A( 2,1) , F 为椭圆 C 的左焦点， P 为椭圆 C 上的一动2516点，求 PA5 PF

8、的最小值。32、已知椭圆 C : x2y 21内有一点A( 2,1) , F 为椭圆 C 的左焦点， P 为椭圆 C 上的一动2516点，求 PAPF 的最大值与最小值。3、已知椭圆 C : x2y21外有一点A(5,6) , l 为椭圆 C 的左准线， P 为椭圆 C 上的一动2516点，点 P 到 l 的距离为 d ，求 PA3 d 的最小值。54、定长为 d (da2) 的线段AB的两个端点分别在椭圆a2b21(a b 0) 上移动，2bx2y2求 AB 的中点 M 到椭圆右准线l 的最短距离。.精品文档（二）三种方法x2y21(a b0) 的切线与两坐标轴分别交于A, B 两点， 求三

9、角形 AOB 的最1、椭圆2b2a小面积。x2y2和直线l : xy 9 0，在 上取一点，经过点且以椭圆的、已知椭圆1lMM2123焦点 F1 , F2 为焦点做椭圆，求M 在何处时所作椭圆的长轴最短，并求此椭圆。3、过椭圆 2x 2y22 的焦点的直线交椭圆于A, B ，求AOB 面积的最大值。四、经典例题x 2y21、如图，把椭圆1的长轴 AB 分成 8 等份，过每个分点作 x 轴的垂线交椭圆的上2516半 部 分 于 P1,P2, P3,P4,P5,P6,P7 七 个 点 ， F是椭圆的一个焦点，则P1 F P2 F .P7 F _。2、已知 F1 , F2x2y2F1 的直线与椭圆交于M,N两点，则是椭圆1 的两个焦点，过169MNF 2 的周长为 ()A 8B 16C 25D 32.精品文档3、过点 A(1, 2)且与椭圆x 2y21的两个焦点相同的椭圆标准方程是 _。694、若椭圆x2y21 的离心率是1 ，则 k 的值等于 _。k892x2y21的左右焦点，点P 在椭圆上，POF2 是面积为3的正5、 F1, F2 分别是椭圆2b2a三角形，则 b2 的值是 _。6、在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2 ，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为（）