板块命题点专练(十)立体几何

1、第1页共7页板块命题点专练(十 )立体几何命题点一空间几何体的表面积与体积难度：中命题指数：1.(2015山东高考改编)已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为_解析：绕等腰直角三角形的斜边所在的直线旋转一周形成的曲面围成的几何体为两个底面重合，等体积的圆锥， 如图所示 每一个圆锥的底面1242半径和高都为2，故所求几何体的体积V 2 3 (2)23 .答案： 4232 (2015 江苏高考 )现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4 的圆锥和底面半径为2，高为 8 的圆柱各一个，若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相

2、同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为_解析： 设新的底面半径为 r，由题意得13 52 4 22 8 13 r2 4 r2 8，r2 7，r7.答案： 73(2014 江苏高考 )设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1，S2，体积分别为V1， V2，若它们的侧面积相等，且S1 9，则 V 1的值是 _S2 4V 2解析： 设甲、乙两个圆柱的底面半径分别是r1，r 2，母线长分别是l1，l2 则由 S19可得.S24r13又两个圆柱的侧面积相等，即 2rl1r2 2，所以V 1S1l1923，则 r22.2 r1l 12l2l2r1 3V2S2l2432.答案： 324.(2015 安徽高考

3、)如图，三棱锥P- ABC 中， PA平面 ABC，PA1， AB 1， AC 2， BAC 60 .(1) 求三棱锥P-ABC 的体积；PM(2) 证明：在线段PC 上存在点M ，使得 AC BM ，并求 MC 的值解： (1)由题设 AB 1， AC 2，BAC 60，第2页共7页可得 S1 3ABC2 AB AC sin 602 .由 PA平面 ABC，可知 PA 是三棱锥 P-ABC 的高又 PA 1，所以三棱锥 P-ABC 的体积 V1 33SABCPA6 .(2)证明：在平面ABC 内，过点 B 作 BN AC，垂足为N.在平面PAC 内，过点N 作 MN PA 交 PC 于点 M

4、，连结 BM.由 PA 平面 ABC 知 PA AC，所以 MN AC.由于 BN MN N，故 AC 平面 MBN .又 BM ? 平面 MBN ，所以 AC BM .1在 Rt BAN 中， AN ABcos BAC 2，3从而 NC AC AN 2.PMAN1由 MN PA，得 MC NC 3.命题点二组合体的 “ 切”“ 接 ” 问题难度：中命题指数：1 (2015 国卷改编全 )已知 A，B 是球上的动点若三棱锥 O -ABC 体积的最大值为O 的球面上两点，AOB 90， C 为该球面36，则球 O 的表面积为 _解析： 如图，设球的半径为R，1 2AOB 90 ，SAOB 2R

5、.VO -ABC V C -AOB，而AOB 面积为定值，当点C 到平面 AOB 的距离最大时， V O- ABC 最大，当 C 为与球的大圆面AOB 垂直的直径的端点时，体积112 RV O-ABC 最大，为 R3236，第3页共7页R 6，球 O 的表面积为4R2 4 62 144.答案： 1442 (2014 陕西高考改编 )已知底面边长为1，侧棱长为2的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为_解析： 因为该正四棱柱的外接球的半径是四棱柱体对角线的一半，所以半径r 12222434112 1，所以V球313 .答案： 433 (2013 全国卷 )已知正四棱锥O-ABCD 的体

6、积为 32，底面边长为3，则以 O 为2球心， OA 为半径的球的表面积为 _解析： 过 O 作底面 ABCD 的垂线段 OE，连结 EA ，则 E 为正方形 ABCD 的中心由题意可知 1 (3)2 OE 32，所以 OE 32，故球的半径R OA OE 2 EA 2 6，322则球的表面积S 4R2 24.答案： 24命题点三直线、平面平行与垂直的判定与性质难度：中命题指数：1 (2015 四川高考 )一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示(1) 请将字母 F ， G， H 标记在正方体相应的顶点处 (不需说明理由 )；(2) 判断平面 BEG 与平面 ACH 的位置关系

7、，并证明你的结论；(3) 证明：直线 DF 平面 BEG .解： (1)点 F， G， H 的位置如图所示(2)平面 BEG平面ACH .证明如下：第4页共7页因为 ABCD -EFGH 为正方体，所以 BCFG ， BC FG .又 FG EH ，FG EH ，所以 BCEH ， BCEH ，于是四边形 BCHE 为平行四边形，所以 BECH .又 CH ? 平面 ACH ，BE?平面 ACH ，所以 BE 平面ACH .同理 BG平面ACH .又 BE BGB，所以平面 BEG 平面ACH .(3)证明： 连接 FH ，与 EG 交于点 O，连接 BD .因为 ABCD -EFGH 为正方

8、体，所以DH 平面 EFGH .因为 EG? 平面 EFGH ，所以 DH EG.又 EGFH ，DH FH H，所以 EG平面BFHD .又 DF ? 平面 BFHD ，所以 DF EG.同理 DF BG.又 EG BG G，所以 DF 平面 BEG.2 (2015 国卷全 )如图，四边形ABCD 为菱形， G 为 AC 与 BD 的交点， BE平面ABCD .(1) 证明：平面AEC平面 BED ；6(2) 若 ABC 120， AE EC ，三棱锥E-ACD 的体积为3 ，求该三棱锥的侧面积解： (1)证明：因为四边形ABCD 为菱形，所以ACBD .因为 BE 平面 ABCD ，所以

9、ACBE.又 BD BE B，故 AC平面 BED .因为 AC? 平面 AEC ，第5页共7页所以平面 AEC 平面 BED .3x(2)设 AB x，在菱形ABCD 中，由ABC 120 ，可得 AG GC2 x，GBGD 2.因为 AE EC ，所以在Rt AEC 中，可得EG 32 x.由 BE 平面 ABCD ，知EBG 为直角三角形，可得 BE22 x.由已知得，三棱锥E -ACD 的体积11AC GD BE 636，V 三棱锥 E-ACD 24x 332故 x2.从而可得 AE EC ED6.所以EAC 的面积为3，EAD 的面积与 ECD 的面积均为5.故三棱锥 E -ACD

10、的侧面积为3 2 5.3.(2015 北京高考 )如图，在三棱锥V -ABC 中，平面VAB平面 ABC ， VAB 为等边三角形， AC BC 且 ACBC 2， O，M 分别为 AB， VA的中点(1) 求证： VB 平面 MOC ；(2) 求证：平面 MOC 平面 VAB；(3) 求三棱锥 V -ABC 的体积解： (1)证明：因为O， M 分别为 AB， VA 的中点，所以 OM VB.又因为 VB?平面 MOC ，OM ? 平面 MOC ，所以 VB 平面MOC .(2)证明：因为AC BC， O 为 AB 的中点，所以 OCAB.又因为平面VAB平面 ABC，且 OC? 平面 AB

11、C，所以 OC平面 VAB.第6页共7页又 OC? 平面 MOC ，所以平面 MOC 平面 VAB.(3)在等腰直角三角形 ACB 中， AC BC2，所以 AB2， OC 1.所以等边三角形VAB 的面积 SVAB3.又因为 OC平面 VAB，所以三棱锥 C- VAB 的体积等于133OC S VAB3 .又因为三棱锥 V-ABC 的体积与三棱锥C-VAB 的体积相等，所以三棱锥V- ABC 的体积3为3 .4 (2014 川高考四)在如图所示的多面体中，四边形ABB 1A1 和ACC1A1 都为矩形(1) 若 AC BC，证明：直线 BC平面 ACC1A1；(2) 设 D ，E 分别是线段

12、 BC，CC1 的中点， 在线段 AB 上是否存在一点 M ，使直线 DE 平面 A1MC ？请证明你的结论解： (1)证明 ：因为四边形 ABB1A1 和 ACC1A1 都是矩形，所以 AA1 AB， AA1 AC .因为 AB，AC 为平面 ABC 内两条相交直线，所以 AA1 平面 ABC.因为直线 BC? 平面 ABC，所以 AA1 BC.又由已知， AC BC，AA1，AC 为平面 ACC1A1 内两条相交直线， 所以 BC 平面 ACC1A1.(2) 取线段 AB 的中点 M ，连接 A1M ， MC ， A1C， AC1，设 O 为 A1C， AC1 的交点由已知， O 为 AC1 的中点连接 MD ， OE，则 MD