43三角函数的图象与性质

1、4.3 三角函数的图象与性质 要点梳理 1.“五点法”作图原理:在确定正弦函数y=sin x 在0，2 上的图象形状时,起关键作用的五 个点是 、 、 、 、 .余弦函数呢？,(0,0),基础知识 自主学习,2.三角函数的图象和性质:,函,数,性,质,-1,1,-1,1,R,R,(kZ),；,；,；,；,奇,奇,偶,3.一般地对于函数f（x）,如果存在一个不为0的常 数T，使得当x取定义域内的每一个值时,都有 f（x+T）=f（x），那么函数f（x）就叫做周期 函数，非零常数T叫做这个函数的周期，把所有 周期中存在的最小正数,叫做最小正周期(函数 的周期一般指最小正周期).函数y=Asin(

2、x+ ） 或y=Acos（ x+ ）（ 0且为常数）的周 期 函数y=Atan( x+ )( 0)的周期,基础自测 1.函数y=1-2sin xcos x的最小正周期为（ ） 解析,B,2.设点P是函数f(x)=sin x ( 0)的图象C的 一个对称中心,若点P到图象C的对称轴的距离的 最小值是 则f(x)的最小正周期是（ ） 解析 由正弦函数的图象知对称中心与对称轴 的距离的最小值为最小正周期的 故f（x）的 最小正周期为T=,B,3.函数y=sin 的图象（ ） A.关于点 对称 B.关于直线 对称 C.关于点 对称 D.关于直线 对称 解析 验证法：,A,4.在下列函数中,同时满足以下

3、三个条件的是( ) 在 上递减； 以 为周期； 是奇函数. A.y=tan x B.y=cos x C.y=-sin x D.y=sin xcos x 解析 y=tan x的周期为 ，故A错. y=cos x为偶函数，故B错. y=sin xcos x= sin 2x的周期为 ，故D错. y=-sin x的周期为2 ,是奇函数，由图象知 在 上是递减函数，故C正确.,C,5.（2009四川）已知函数f(x)=sin (xR)，下面结论错误的是（ ） A.函数f(x)的最小正周期为2 B.函数f(x)在区间 上是增函数 C.函数f(x)的图象关于直线x=0对称 D.函数f(x)是奇函数 解析 A

4、正确; 由图象知y=-cos x关于直线x=0对称，C正确. y=-cos x是偶函数，D错误.,D,题型一 与三角函数有关的函数定义域 求下列函数的定义域： （1）y=lgsin(cos x);(2)y= 本题求函数的定义域:(1)需注意对数 的真数大于零，然后利用弦函数的图象求解； (2)需注意偶次根式的被开方数大于或等于零， 然后利用函数的图象或三角函数线求解. 解 (1)要使函数有意义,必须使sin(cos x)0. -1cos x1,0cos x1.,题型分类 深度剖析,方法一 利用余弦函数的简图得知定 义域为 方法二 利用单位圆中的余弦线OM,依题意 知0OM1, OM只能在x轴的

5、正半轴上， 其定义域为 （2）要使函数有意义，必须使sin x-cos x0.,方法一 利用图象.在同一坐标系中画出 0,2 上y=sin x和y=cos x的图象,如图所示. 在0，2 内，满足sin x=cos x的x为 再结合正弦、余弦函数的周期是2 , 所以定义域为,方法二 利用三角函数线，如图MN为正弦线， OM为余弦线， 要使sin xcos x,即MNOM，,方法三,(1)对于含有三角函数式的(复合)函数 的定义域，仍然是使解析式有意义即可. (2)求三角函数的定义域常常归结为解三角不等 式(或等式). (3)求三角函数的定义域经常借助两个工具，即单 位圆中的三角函数线和三角函数

6、的图象，有时也 利用数轴.,知能迁移1 求下列函数的定义域：,解 (1)要使函数有意义,必须有,可利用单位圆中三角函数线直观地求得上述不等式组的解集，如图所示：,题型二 三角函数的单调性与周期性,解,(1)求形如y=Asin( x+ )或y=Acos( x + ) (其中A0, 0)的函数的单调区间,可以通 过解不等式的方法去解答,列不等式的原则是: 把“ x+ ( 0)”视为一个“整体”；A0(A0)时，所列不等式的方向与y=sin x(xR), y=cos x(xR)的单调区间对应的不等式方向相 同（反）. （2）对于y=Atan( x+ ) (A、 、 为常数),其 周期 单调区间利用

7、解出x的取值范围,即为其单调区间.对于复合函 数y=f(v),v= (x)，其单调性判定方法是:若y=f(v) 和v= (x)同为增（减）函数时，y=f( (x)为增 函数；若y=f(v)和v= (x)一增一减时，y=f( (x) 为减函数.,知能迁移2 求函数 的单调区间. 解 方法一,方法二,答案(1)C(2)D,知能迁移3 使奇函数f(x)=sin(2x+ )+ cos(2x+ ) 在 上为减函数的 的值为 ( ) 解析,D,题型四 三角函数的值域及最值 (12分)已知函数f(x)=2asin 的定义域为 函数的最大值为1,最小值为 -5,求a和b的值.,求出2x- 的范围,a0时，利用

8、最值求a、b,a0时，利用最值求a、b,解,3分,7分,11分,12分,解决此类问题,首先利用正弦函数、余 弦函数的有界性或单调性求出y=Asin（ x+ ）或y=Acos（ x+ ）的最值,再由方程的思想解决问 题. 知能迁移4 （2009江西）若函数f(x) =(1+ tan x)cos x,0 x ,则f(x)的最大 值为（ ） A.1 B.2 C. D. 解析,B,方法与技巧 1.利用函数的有界性(-1sin x1,-1cos x1), 求三角函数的值域（最值）. 2.利用函数的单调性求函数的值域或最值. 3.利用换元法求复合函数的单调区间(要注意x系数 的正负号). 4.正余弦函数的线性关系式都可以转化为f(x)= asin x+bcos x= 特别注意把,思想方法 感悟提高,5.注意sin x+cos x与cos xsin x的联系,令t= sin x+cos x (- t )时, 失误与防范 1.闭区间上最值或值域问题，首先要在定义域基 础上分析单调性，含参数的最值问题，要讨论 参数对最值的影响. 2.求三角函数的单调区间时，应先把函数式化成 形如y=Asin（ x+ ）（ 0）的形式，再根 据基本三角函数的单调