优化方案高考总复习新课标湖北理科

1、基础达标 12 / 12、选择题ABC-A 1B1.(2012高考陕西卷)如图所示，在空间直角坐标系中有直三棱柱1C1,= CC1 = 2CB则直线BC1 与直线 AB1夹角的xx值为()解析：选A.不妨令CB= 1,则CA= CC1=2.可得 O(0,0,0), B(0,0,1), C1(0,2,0), A(2,0,0), B1(0,2,1),- = (0,2,- 1),= (-2,2,1),二 cos = = = = 0,二与的夹角即为直线BC1 与直线 AB1 的夹角,二直线BC1 与直线 AB 1夹角的xx值为.2已知正方体 ABCD-A1B1C1D1，则直线 BC1 与平面 A1BD

2、 所成的角的正弦值是 (解析： 选C建立空间直角坐标系如图所示.设正方体的棱长为1,直线BC1与平面A1BD所成的角为B,则 D(0,0,0)， A( 1 ,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，C1(0,1,1)，= (1,0,1),= (1,1,0),= (- 1,0,1). )CA 设n= (x, y, z)是平面A1BD 的一个法向量，则，令 z= 1 ，则 x=- 1 ， y= 1.n = (-1,1,1),sin =Qcos n,| =.二、填空题3. (2014江苏徐州一模)在？ABCD中，AB= AC= 1, / ACD= 90 将它沿对角线AC折起，使AB和CD成6

3、0角，则B, D两点间的距离为 .解析：如图所示.vAB= AC=1,AD=, BC=,= + + ,- l|2 = (+ + )(+ + )=2+ + + +2+ + + + 2= 2+ 2+ 2+ 2 + 2 + 2 .v AB丄AC, CD丄AC,二=0,= 0.当B, D在AC两侧时，和成60角;当B, D在AC同侧时，和成120 角.= 2+2 + 2+ 2 X 1 X 1 x cos60 或 | = 2 + 2 + 2 + 2X 1X 1X cos1202 |2 =12+12+ 12+1=4, | =2,或| =1+1+11=2, | =.2答案： 2 或4. (2014浙江温州质

4、检)如图(1),在矩形ABCD中，点E, F分别在线段AB, AD上, AE= EB= AF= FD= 4.沿直线 丘尸将厶AEF翻折成 A EF使平面 A EF平面BEF则二面角A-FD-C的余弦值为.解析：取线段EF的中点H,连接A H.v A E , H是 EF的中点， A HEF.又平面A EH平面BEF A H平面 BEF.如图 (2)，可建立空间直角坐标系 A-xyz， 则 A (2,2,2) C(10,8,0)，F(4,0,0)，D(10,0,0)， 故丄(-2,2,2),= (6,0,0).设n= (x, y, z)为平面A F的一个法向量，取乙=，贝S n = (0，- 2,

5、).又平面BEF的一个法向量m= (0,0,1),故 cos n , m=, 二面角的余弦值为答案：三、解答题5. (2013高考江苏卷)如图，在直三棱柱 A1B1C1-ABC中，AB丄AC, AB= AC= 2, A1A= 4,点D是BC的中点.(1)求异面直线 A1B与C1D所成角的xx值;(2)求平面 ADC1 与平面 ABA1 所成二面角的正弦值解：(1 )以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,则A(0,0,0),B(2， 0,0)， C(0,2,0)， D(1,1,0)， A1(0,0,4)， C1(024),所以=(2,0, 4),= (1, 1, 4).因为 c

6、os =所以异面直线 A1B与C1D所成角的xx值为.(2)设平面 ADC1 的法向量为 n1 = (x, y, z),因为=(1,1,0),= (0,2,4),所以 n1 = 0, n1 = 0, 即卩 x + y= 0且 y + 2z= 0,取 z= 1,得 x= 2, y= 2,所以，n 1 = (2, 2,1)是平面 ADC1 的一个法向量.取平面 AA1B的一个法向量为n2= (0,1,0),设平面 ADC1 与平面 ABA1所成二面角的大小为9.由 |cos 9 = | =，得 sin =.因此,平面 ADC1 与平面 ABA1 所成二面角的正弦值为 .6. （2014宜昌市模拟）

7、如图，在底面是正方形的四棱锥 P-ABCD中, PA!平 面ABCD, BD交AC于点E，F是PC的中点，G为AC上一点.（1）确定点G在线段AC上的位置，使FG/平面PBD,并说明理由；（2）当二 面角B PC D的大小为时，求PC与底面ABCD所成角的正切值.解：（1）当G 为EC中点，即AG= AC时，FG/平面PBD理由如下：连接PE图略），由F为 PC中点，G为EC中点，知FG/ PE而 FG?平面 PBD, PB?平面 PBD,故 FG/ 平面 PBD.作BH丄PC于H,连接DH（图略）.因为PA丄面ABCD四边形ABCD是正方形，所以 PB= PD,又因为 BC= DC, PC=

8、 PC所以 PCBA PCD所以DH丄PC,且DH丄BH.所以/ BHD是二面角B PC D的平面角，即/ BHD=.因为PA丄面ABCD所以/ PCA就是PC与底面ABCD所成的角.连接 EHEH丄 BD, / BHE=, EH1 PC 所以 tan / BHE= = , BE= EC.所以=，所以sin/PCA= = ,所以 tan / PCA=.所以PC与底面ABCD所成角的正切值是.能力提升1. 如图,在正三棱柱 ABC-A1B1C1xx, AB= AA1,点D是A1B1的中点，点E在A1C1上且DE丄AE.(1) 证明：平面ADE!平面ACC1A1；(2) 求直线 AD 和平面 AB

9、C1 所成角的正弦值解： (1)证明：由正三棱柱 ABC-A1B1C1 的性质知 AA1丄平面A1B1C1.又 DE?平面 A1B1C1，所以DE丄AA1.而DE丄AE AA1 n A些A,所以DE丄平面ACC1A1.又DE?平面ADE 故平面 ADE1平面ACC1A1.(2) 如图所示，设0是AC的中点，以0为原点建立空间直角坐标系.不妨 设 AA1 =，则AB= 2,相关各点的坐标分别是 A(0, 1,0), B(, 0,0), C1(0,1, ), D.易知=(,1,0),= (0,2,),设平面 ABC1的一个法向量为n= (x, y, z),则有解得 x= y, z= y.故可取 n

10、= (1,).所以 cosn,= = =.由此即知,直线 AD 和平面 ABC1 所成角的正弦值为 .2. (2013高考湖北卷)如图，AB是圆0的直径，点C是圆O上异于A, B的 点，直线PCL平面ABC, E, F分别是PA, PC的中点.(1) 记平面BEF与平面ABC的交线为I,试判断直线I与平面PAC的位置关 系,并加以证明；(2) 设(1)中的直线I与圆O的另一个交点为D,且点Q满足=记直线PQ与 平面ABC所成的角为0,异面直线PQ与EF所成的角为a二面角E-l-C的大小 为伏求证：sin 0= sin o(sin 3.解：(1)直线I /平面PAC证明如下：连接EF,因为E,

11、F分别是PA, PC的中点，所以EF/ AC.又EF?平面ABC,且AC?平面ABC 所以EF/平面ABC而EF?平面BEF且 平面BEE平面ABC= l ,所以EF/ l.因为I?平面PAC EF?平面PAC 所以直线I/平面PAC.(2法一 (综合法)：如图(1),连接BD,由(1)可知交线I即为直线BD,且I / AC.因为AB 是O O的直径，所以AC丄BC,于是I丄BC.已知PCL平面ABC,而I?平面ABC 所以PCX I.而PCT BC- C,所以I丄平面PBC.连接BE BF,因为BF?平面PBC所以I丄BF.故/ CBF就是二面角E-I-C的平面角，即/ CBF=B.由=，作

12、 DQ/ CP,且 DQ= CP.连接PQ, DF,因为F是CP的中点，CP= 2PF,所以DQ= PF,从而四边形DQPF是平行四边形，PQ/ FD.连接CD,因为PC丄平面ABC所以CD是FD在平面ABC内的射影.故/ CDF就是直线PQ与平面ABC所成的角，即/ CDF= S又BD丄平面PBC所以BD丄BF,所以/ BDF为锐角.故/BDF为异面直线PQ与EF所成的角，即/ BDF= a ,于是在RtADCF,RtA FBD, RtA BCF中，分别可得sin =6, sin =a, sin 书,从而 sin a sin= = = sin ,6即 sin 6 sin a sin 3.法二

13、(向量法)：如图，由=，作DQ/ CP,且DQ= CP连接PQ, EF, BE, BF BD.由 (1)可知交线 I 即为直线 BD.以点C为原点，向量，所在直线分别为 x , y , z轴，建立如图(2)所示的 空间直角坐标系 设 CA= a CB= b CP= 2c 则有 C(0,0,0) A(a,0,0) B(0 b,0) P(0,0,2c) Q(a b c) E F(0,0 c).于是= = (a b c) = (0 b c)所以 COS a= = ,从而 sin a=.取平面ABC的一个法向量为 m = (0,0,1),可得 sin 0=.设平面BEF的一个法向量为n = (x, y

14、, z).由可得取 n= (0, C, b)于是 |cos B =,从而sin =.故 sin a sin= B=sin ，即 sin =sin a sin 3.3. (2014江西省七校联考)如图，ABCD是边长为3的正方形，DE丄平面ABCD AF/ DE, DE= 3AF, BE与平面 ABCD所成的角为 60(1) 求证：AC丄平面BDE(2) 求二面角F-BE-D的xx值；(3) 设点M是线段BD上一个动点，试确定点 M的位置，使得AM /平面BEF并证明你的结论.解：(1)证明：TDE丄平面ABCD DE 丄 AC./ ABCD是正方形， AC丄BD,又 DEA B=D, AC丄平面BDE.(2) TDE 平面 ABCD二/ EBD就是BE与平面ABCD所成的角，即/ EBD= 60/.=.由 AD= 3,得 BD= 3, DE= 3, AF=.如图，分别以DA, DC, DE所在直线为x轴，y轴，系,则 A(3,0,0), F(3,0, ), E(0,0,3), B(3,3,0), C(0,3,0)- = (0,- 3, ), = (3,0, 2).设平面BEF的一个法向量为