人教版高中数学【必修二】[知识点整理及重点题型梳理]_圆的方程_基础

1、精品文档用心整理人教版高中数学必修二知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习圆的方程【学习目标】1.掌握圆的标准方程的特点，能根据所给有关圆心、半径的具体条件准确地写出圆的标准方程，能运用圆的标准方程正确地求出其圆心和半径，解决一些简单的实际问题，并会推导圆的标准方程.2.掌握圆的一般方程的特点，能将圆的一般方程化为圆的标准方程从而求出圆心的坐标和半径；能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程【要点梳理】【圆的方程370891知识要点】要点一：圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2，其中(a，b)为圆心，r为半径.要点诠释：(1)如果圆心在坐标原点，这时a=0，b=0，圆的方程就是x2+y

2、2=r2.有关图形特征与方程的转化：如：圆心在x轴上：b=0；圆与y轴相切时：|a|=r；圆与x轴相切时：|b|=r；与坐标轴相切时：|a|=|b|=r；过原点：a2+b2=r2(2)圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2圆心为(a，b)，半径为r，它显现了圆的几何特点.(3)标准方程的优点在于明确指出了圆心和半径.由圆的标准方程可知，确定一个圆的方程，只需要a、b、r这三个独立参数，因此，求圆的标准方程常用定义法和待定系数法.要点二：点和圆的位置关系如果圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2，圆心为c(a，b)，半径为r，则有(1)若点m(x，y00(2)若点m(x，y00(3

3、)若点m(x，y00)在圆上|cm|=r(x0)在圆外|cm|r(x0)在圆内|cm|r20-a)2+(y-b)20时，方程x2+y2+dx+ey+f=0叫做圆的一般方程.-,-为圆心，12要点三：圆的一般方程d2+e2-4f为半径.要点诠释：de22资料来源于网络仅供免费交流使用由方程x2+y2+dx+ey+f=0得x+y+=精品文档用心整理d2e2d2+e2-4f224(1)当d2+e2-4f=0时，方程只有实数解x=-dede,y=-.它表示一个点(-,-).2222(3)当d2+e2-4f0时，可以看出方程表示以-为圆心，d2+e2-4f为半径的圆.(2)当d2+e2-4f0时，方程没

4、有实数解，因而它不表示任何图形de1,-222要点四：几种特殊位置的圆的方程条件方程形式标准方程一般方程圆心在原点过原点圆心在x轴上圆心在y轴上圆心在x轴上且过原点圆心在y轴上且过原点x2+y2=r2(r0)(x-a)2+(y-b)2=a2+b2(x-a)2+y2=r2(r0)x2+(y-b)2=r2(r0)(x-a)2+y2=a2(a0)x2+(y-b)2=b2(b0)x2+y2-r2=0(r0)x2+y2+dx+ey=0x2+y2+dx+f=0x2+y2+ey+f=0x2+y2+dx=0x2+y2+ey=0x2+y2+dx+ey+f=0与x轴相切(x-a)2+(y-b)2=b2(d2-4f

5、=0)x2+y2+dx+ey+f=0与y轴相切(x-a)2+(y-b)2=a2(e2-4f=0)要点五：用待定系数法求圆的方程的步骤求圆的方程常用“待定系数法”.用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤是：(1)根据题意，选择标准方程或一般方程.(2)根据已知条件，建立关于a、b、r或d、e、f的方程组.(3)解方程组，求出a、b、r或d、e、f的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程.要点六：轨迹方程求符合某种条件的动点的轨迹方程，实质上就是利用题设中的几何条件，通过“坐标法”将其转化为关于变量x,y之间的方程1当动点满足的几何条件易于“坐标化”时，常采用直接法；当动点满足的条件符合

6、某一基本曲线的定义（如圆）时，常采用定义法；当动点随着另一个在已知曲线上的动点运动时，可采用代入法（或称相关点法）；2求轨迹方程时，一要区分“轨迹”与“轨迹方程”二要注意检验，去掉不合题设条件的点或线等3求轨迹方程的步骤：资料来源于网络仅供免费交流使用精品文档用心整理（1）建立适当的直角坐标系，用(x,y)表示轨迹（曲线）上任一点m的坐标；（2）列出关于x,y的方程；（3）把方程化为最简形式；（4）除去方程中的瑕点（即不符合题意的点）（5）作答【典型例题】类型一：圆的标准方程例1求满足下列条件的各圆的方程：（1）圆心在原点，半径是3；（2）圆心在点c（3，4）上，半径是5；（3）经过点p（5，

7、1），圆心在点c（8，3）上【思路点拨】根据题设条件，可利用圆的标准方程解决【答案】（1）x2+y2=9（2）(x3)2+(y4)2=5（3）(x8)2+(y+3)2=25【解析】（1）x2+y2=9；（2）(x3)2+(y4)2=5；（3）解法一：圆的半径r=|cp|=(5-8)2+(1+3)2=5，圆心在点c（8，3）圆的方程是(x8)2+(y+3)2=25解法二：圆心为c（8，3），故设圆的方程为(x8)2+(y+3)2=r2又点p（5，1）在圆上，(58)2+(1+3)2=r2，r2=25，所求圆的方程是(x8)2+(y+3)2=25【总结升华】确定圆的标准方程只需确定圆心的坐标和圆的

8、半径即可，因此圆心和半径被称为圆的两要素确定圆的方程的主要方法是待定系数法，即列出关于a、b、r的方程组，求a、b、r或直接求出圆心（a，b）和半径r，一般步骤为：（1）根据题意，设所求的圆的标准方程为(xa)2+(yb)2=r2；（2）根据已知条件，建立关于a、b、r的方程组；（3）解方程组，求出a、b、r的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程举一反三：【变式1】圆心是（4，1），且过点（5，2）的圆的标准方程是（）a(x4)2+(y+1)2=10b(x+4)2+(y1)2=10c(x4)2+(y+1)2=100d(x-4)2+(y+1)2=10【答案】a例2写出下列方程表示的

9、圆的圆心和半径（1）x2+y2=2；（2）(x3)2+y2=a2（a0）；（3）(x+2)2+(y+1)2=b2（b0）【答案】（1）（0，0），2（2）（3，0），|a|（3）（2，1），|b|【解析】（1）圆心（0，0），半径为2；（2）圆心（3，0），半径为|a|；资料来源于网络仅供免费交流使用精品文档用心整理（3）圆心（2，1），半径为|b|【总结升华】（2）、（3）两题中a2、b2仅为半径的平方，没有给定a0，b0，半径r=|a|、|b|例3求经过a（0，1）和直线x+y=1相切，且圆心在直线y=2x上的圆的方程【思路点拨】根据圆心在直线y=2x上，设出圆心坐标和半径，写出圆的标准方

10、程，把点a的坐标代入圆的方程得到一个关系式，由点到直线的距离公式表示圆心到直线x+y=1的距离，由距离等于圆的半径列出另一个关系式，两者联立即可求出圆心坐标和半径，把圆心坐标和半径代入即可写出圆的标准方程=r2所以圆的方程为(x-1)2+(y+2)2=2或(x-)2+(y+)2=11250【答案】(x-1)2+(y+2)2=2或(x-)2+(y+)2=9981【解析】因为圆心在直线y=2x上，设圆心坐标为（a，2a）设圆的方程为(x-a)2+(y+2a)2=r2圆经过点a（0，1）和直线x+y=1相切，a2+(2a-1)2=r2所以有|a-2a-1|解得r=2，a=1或a=192995081(

11、2-a)2+(-3-b)2=r2解得：a=-1,b=-2,r2=10(-2-a)2+(-5-b)2=r2【答案】（1）不能表示圆（2）不能表示圆（3）不能表示圆（4）表示圆,05【总结升华】此题考查学生灵活运用点到直线的距离公式化简求值，掌握直线与圆相切时满足的条件，会利用待定系数法求圆的标准方程举一反三：【变式1】求圆心在直线x2y3=0上，且过点a（2，3），b（2，5）的圆的标准方程【答案】(x+1)2+(y+2)2=10【解析】设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2，则a-2b-3=0所以所求圆的标准方程是：(x+1)2+(y+2)2=10类型二：圆的一般方程例4下列方程能否

12、表示圆？若能表示圆，求出圆心和半径（1）2x2+y27y+5=0；（2）x2xy+y2+6x+7y=0；（3）x2+y22x4y+10=0；（4）2x2+2y25x=0544【解析】（1）方程2x2+y27y+5=0中x2与y2的系数不相同，它不能表示圆（2）方程x2xy+y2+6x+7y=0中含有xy这样的项，它不能表示圆（3）方程x2+y22x4y+10=0化为(x1)2+(y2)2=5，它不能表示圆资料来源于网络仅供免费交流使用（4）方程2x2+2y25x=0化为x-+y2=，它表示以,0为圆心，为半径长的圆22a，半径长为|a|表示的图形为一个点（0，0）；当a0时，该方程表示的图形为

13、圆，圆心为-精品文档用心整理5245255444【总结升华】（1）判断一个二元二次方程是否表示圆的方法：先看这个方程是否具备圆的一般方程的特征，即：x2与y2的系数相等；不含xy的项当它具有圆的一般方程的特征时，再看它能否表示圆，此时有两种途径，一是看d2+e24f是否大于零；二是直接配方变形，看右端是否为大于零的常数（2）圆的标准方程指出了圆心坐标与半径大小，几何特征明显；圆的一般方程表明圆的方程是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显举一反三：【变式1】（1）下列方程各表示什么图形；x2+y24x2y+5=0；x2+y22x+4y4=0；x2+y2+ax-3ay=0（2）圆c：x2+y22x

14、4y+4=0的圆心到直线l：3x+4y+4=0的距离d=_【答案】（1）方程表示点（2，1）；方程表示以（1，2）为圆心，3为半径长的圆；当a=0时，该方程a3,（2）3【解析】（1）略；（2）圆的方程可化为：(x-1)2+(y-2)2=1，圆心坐标为（1，2），所以到直线l的距离32+42=d=|31+24+4|155=3圆心（1，2）到直线x+2y4=0的距离d=|1+4-4|例5（2016春辽宁大连庄河市期末）已知方程c：x2+y22x4y+m=0，（1）若方程c表示圆，求实数m的范围；（2）在方程表示圆时，该圆与直线l：x+2y4=0相交于m、n两点，且|mn|=45，求m的值5【思路

15、点拨】（1）由圆的一般方程的定义知4+164m0，由此能法语出实数m的取值范围（2）求出圆心到直线x+2y4=0的距离，由此利用已知条件能求出m的值【答案】（1）（，5）；（2）m=4【解析】（1）方程c：x2+y22x+4y+m=0表示圆，d2+e24f0，即4+164m0解得m5，实数m的取值范围是（，5）（2）方程c：x2+y22x4y+m=0，(x2)2+(y2)2=5m，1=，55资料来源于网络仅供免费交流使用精品文档用心整理圆与直线l：x+2y4=0相交于m、n两点，且|mn|=455，(5-m)-(1525)2=()2，534+5d+3e+f=0，解得：e=-210+3d-e+f

16、=0f=12解得m=4【总结升华】本题考查圆的方事参数m的取值范围，考查圆的方程中m的值的求法，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式的合理运用举一反三：【圆的方程370891典型例题2】【变式1】（1）求过a(2,2),b(5,3),c(3,-1)的圆的方程，及圆心坐标和半径；（2）求经过点a(-2,-4)且与直线x+3y-26=0相切于点（8，6）的圆的方程【答案】【解析】（1）法一：设圆的方程为：x2+y2+dx+ey+f=0，则8+2d+2e+f=0d=-8所以所求圆的方程为：x2+y2-8x-2y+12=0，即(x-4)2+(y-1)2=5，所以圆心为（4，1），半径为5法二：线段

17、ab的中点为为,，k75223-215-2=ab=3=-3x-，即3x-y-13=0线段ab的中垂线为y-5272联立x+2y-6=03x-y-13=0y=1同理得线段bc中垂线为x+2y-6=0x=4，解得所以所求圆的方程为（4，1），半径r=(4-2)2+(1-2)2=5所以(x-4)2+(y-1)2=5（2）法一：设圆的方程为：x2+y2+dx+ey+f=0，则资料来源于网络仅供免费交流使用精品文档用心整理6+e2=3，解得：e=38+df=-302由得：圆心坐标为,-，由两点间距离公式得半径r2=，所以圆的方程为x-+y+=【答案】,-，r=20-2d-4e+f=0d=-11100+8

18、d+6e+f=0所以圆的方程为x2+y2-11x+3y-30=0法二：过点b与直线x+3y-26=0垂直的直线是3x-y-18=0，线段ab的中垂线为x+y-4=0，3x-y-18=0113125x+y-4=022211232125222【变式2】判断方程ax2+ay24(a1)x+4y=0（a0）是否表示圆，若表示圆，写出圆心坐标和半径长2(a-1)22a2-2a+2aa|a|类型三：点与圆的位置关系例6判断点m（6，9），n（3，3），q（5，3）与圆(x5)2+(y6)2=10的位置关系【答案】m在圆上n在圆外q在圆内【解析】圆的方程为(x5)2+(y6)2=10，分别将m（6，9），n

19、（3，3），q（5，3）代入得(65)2+(96)2=10，m在圆上；(35)2+(36)2=1310，n在圆外；(55)2+(36)2=910，q在圆内【总结升华】点与圆的位置关系，从形的角度来看，设圆心为o，半径为r，则点p在圆内|pq|r；点p在圆上|pq|=r；点p在点圆外|po|r从数的角度来看，设圆的标准方程为(xa)2+(yb)2=r2，圆心为a（a，b），半径为r，则点m（x0，y0）在圆上(x0a)2+(y0b)2=r2；点m（x0，y0）在圆外(x0a)2+(y0b)2r2；点m（x0，y0）在圆内(x0a)2+(y0b)2r2举一反三：【变式1】已知点a（2，3）在圆x2+y2-2x-4y+m=0外，则实数m的取值范围为_【答案】（3，5）【解析】圆x2+y2-2x-4y+m=0即(x-1)2+(y-2)2=5-m，5m0，则m5点a（2，3）在圆x2+y2-2x-4y+m=0外，4+9412+m0，m3综上可得