中考培优竞赛专题经典讲义 第7讲 双直角三角形模型

1、第7讲双直角三角形模型双直角三角形模型是在解三角形中最常见的模型，模型的特点为：有一条直角边为公共边，另外一条直角边共线。但在不同的背景下会有不同的变化，需要从中看出模型的本质模型讲解1053045301354530301545604545604560一般类型：将两个直角三角形组合，一条直角边为公共边，其中a和的三角函数值为已知【例题讲解】例题1、如图，在一笔直的海岸线l上有ab两个观测站，a在b的正东方向，ab2(单位：km)有一艘小船在点p处，从a测得小船在北偏西60的方向，从b测得小船在北偏东45的方向(1)求点p到海岸线l的距离；(2)小船从点p处沿射线ap的方向航行一段时间后，到点c

2、处，此时，从b测得小船在北偏西15的方向求点c与点b之间的距离(上述两小题的结果都保留根号)北c东lp4560bac北东l45bfp60da解：(1)如图，过点p作pdab于点d设pdxkm在pbd中，bdp90，pbd904545，bdpdxkm在rtpad中，adp90，pad906030，ad3pd3xkmbdadab，x3x2，x31，点p到海岸线l的距离为(31)km；(2)如图，过点b作bfac于点f在abf中，afb90，baf30，bf12ablkm在abc中，c180bacabc45在bcf中，bfc90，c45，bc2bf2km，点c与点b之间的距离为2km例题2、如图，在

3、一条笔直的东西向海岸线l上有一长为1.5km的码头mn和灯塔c，灯塔c距码头的东端n有20km一轮船以36km/h的速度航行，上午10：00在a处测得灯塔c位于轮船的北偏西30方向，上午10：40在b处测得灯塔c位于轮船的北偏东60方向，且与灯塔c相距12km(1)若轮船照此速度与航向航行，何时到达海岸线？(2)若轮船不改变航向，该轮船能否停靠在码头？请说明理由(参考数据：21.4，31.7)lnmc北60东b30almdne60cf北东b30a解：(1)延长ab交海岸线于点d，过点b作be海岸线于点e，过点a作afl于f，如图所示becafc90，ebc60，caf30，ecb30，acf6

4、0，bca90，bc12，ab364024，ab2bc，bac30，abc60，60abcbdcbcd60，bdcbcd30，bdbc12，时间t121小时20分钟，轮船照此速度与航向航行，上午11：00到达海岸线363(2)bdbc，becd，deec，在bec中，bc12，bce30，be6，ec6310.2，cd20.4，2020.421.5，轮船不改变航向，轮船可以停靠在码头【巩固练习】1、如图，从热气球c上测定建筑物a、b底部的俯角分别为30和60，如果这时气球的高度cd为150米，且点a、d、b在同一直线上，建筑物a、b间的距离为2、如图，在高楼前d点测得楼顶的仰角为30，向高楼前

5、进60米到c点，又测得仰角为45，则该高楼的高度大约为(保留整数)3、如图是一山谷的横断面示意图，宽aa为15m，用曲尺(两直尺相交成直角)从山谷两侧测量出oa1m，ob3m，oa0.5m，ob3m(点a，o，o,a在同一条水平线上)，则该山谷的深h为m4、如图所示，一条自西向东的观光大道l上有a、b两个景点，a、b相距2km，在a处测得另一景点c位于点a的北偏东60方向，在b处测得景点c位于景点b的北偏东45方向，求景点c到观光大道l的距离(结果精确到0.1km)c60a45bl5、如图，在直角坐标系中，直线yx6与坐标轴分别交于a、b两点，ab中点为点p，则点p到34直线yx的最短距离pq

6、的长度为qybpoax6、如图，在abc，ac3，bc4，acb90，将abc绕点c顺时针旋转(1)当ac平分acb时，bd的长为；(2)连接aa，当aac为等边三角形时，bd的长为abaedcb7、如图，在四边形abcd中，ac45，adbabc105(1)若ad2，求ab；(2)若abcd232，求abcdab8、如图所示，山坡上有一棵与水平面垂直的大树，一场台风过后，大树被刮倾斜后折断倒在山坡上，树的顶部恰好接触到坡面已知山坡的坡角aef23，量得树干倾斜角bac38，大树被折断部分和坡面所成的角adc60，ad4m(1)求cae的度数；(2)求这棵大树折断前的高度(结果精确到个位，参考

7、数据：21.41，31.73，62.4)9、2014年3月8日凌晨，马来西亚航空公司吉隆坡飞北京的mh370航班在起飞一个多小时后在雷达上消失，至今没有被发现踪迹飞机上有239名乘客，其中154名是中国同胞，中国政府启动了全面应急和搜救机制，派出多艘中国舰船在相关海域进行搜救如图，某日在南印度洋海域有两艘自西向东航行的搜救船a、b，b船在a船的正东方向，且两船保持20海里的距离，某一时刻两船同时测得在a的东北方向，b的北偏东15方向有一疑似物c，求此时疑似物c与搜救船a、b的距离各是多少？(结果保留根号)10、如图，一艘船以每小时24海里的速度向北偏西75方向航行，在点a处测得灯塔p在船的西北

8、方向航行40分钟后到达点b处，这时灯塔p恰好在船的正北方向已知距离灯塔9海里以外的海区为安全航行区域问：这艘船能否按原方向继续向前航行？为什么？11、学习了勾股定理的逆定理，我们知道：在一个三角形中，如果两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形为直角三角形类似地，我们定义：对于任意的三角形，设其三个角的度数分别为x、y和z，若满足x2y2z2，则称这个三角形为勾股三角形(1)根据“勾股三角形”的定义，请你直接判断命题：“直角三角形是勾股三角形”是真命题还是假命题？(2)如图，abc内接于0，ab6，ac13，bc2，o的直径be交ac于点d，求证：abc是勾股三角形；求de的长aedobc

9、参考答案1.解：eca30，fcb60，又cdab，cdef，acd60，bcd30，bdtan30dc90303，在adc中，tanacd在bcd中，tanbcdadcdbdcd4dtan60dc390903，33在adb中有：dbx3x，在acb中有：bcxabadbd9033031203答：建筑物a、b间距离为1203米2.解：设楼高ab为xxtan30tan45而cdbdbc(31)x60，解得x823.解：设a、a到谷底的水平距离为acm，acn，mn15，根据题意知，obcdob3，6，oa1，ob3，0a0.5，ob3hobhobmoanoa()h15，解得h30(m)11364

10、.解：如图，过点c作cdl于点d，设cdxkm，在acd中，adc90，cad30，ad3cd3xkm，在bcd中，bdc90，cbd45，bdcdxkm，adbdab，3xx2，x312.7(km)答：景点c到观光大道的距离约为2.7kmc60a45bdl5.解：可知点p为(4，3),作phy轴交直线yx于点h，则h(4，4)，ph7,最短距离pqqybpoahph722x722(1)可知bcd45，设chdht，则bht，bctt4，6.解：过d作dhbc于h，4433，bdt.解得t12752037解得t2(31)，bd2(31).(2)可知bcdaca60，设chdht，则bh3t，b

11、ct3t4，5103-1033abaecdhb22，7.解：(1)过d点作deab，过点b作bfcd，ac45，adbabc105，adc360acabc3604545105165，bdfadcadb16510560，ade与bcf为等腰直角三角形，ad2，aede2abc105，abd105(1804560)30，6，ab26；bede2tan30333x，bd2x，(2)设dex，则aex，bexxtan303bdf60，dbf30，dfbdx，bf3x，cf3x，312abaebex3x，cddfcfx3x，abcd232，ab31cfdaeb8.解：(1)延长ba交ef于点g在age中

12、，e23，gae67，又bac38，cae180673875(2)过点a作aecd，垂足为h在adh中，adc60，ad8，cosadcdhad，dh4，sinadcah，ah43ad在ach中，c180756045，chah43，ac46abaccd4643420(米)答：这棵大树折断前高约20米9.解：过点b作bdac于d由题意可知，bac45，abc9015105，acb180bacabc30在abd中，adbdabsinbad2022102(海里)，202(海里)，在bcd中，bcbdsinbcd10212106(海里)，dcbd102tanbcd33adcd10210610(26)(

13、海里)答：疑似物c与搜救船a的距离是10(26)海里，与搜救船b的距离是20海里10.解：这艘船能按原方向继续向前航行理由如下：如图，过点b作bhap于h，过点p作pmab，交ab延长线于m由题意，知ab244016(海里)，bap75453060pbac，bphcap45在abh中，bhab8，ah3bh8312在pbh中，phbh8，paphah883，pmpasinpam1pa4439，能按原方向继续向前航行2(2)由题意可得：xy=2160，解得：xy102；x+y2=z211.解：(1)对于任意的三角形，设其三个角的度数分别为x、y和z，若满足x2y2z2，则称这个三角形为勾股三角形，无法得到，所有直角三角形是勾股三角形，故是假命题；x+y+z=1802(3)证明：过b作bhac于h，设ahx，abh中，bh6-x2，cbh中，(6-x2)2