(精选)华东师大初中数学八年级下册数据的整理与初步处理——知识讲解

1、数据的整理与初步处理知识讲解【学习目标】1、掌握平均数、加权平均数的意义和求法，体会用样本平均数估计总体平均数的思想2、了解中位数和众数的意义，掌握中位数的求法，并会找一组数据的众数.3、了解方差的意义及求法，体会用样本方差估计总体方差的思想，能用方差解决一些实际问题.4、从事收集、整理、描述和分析数据得出结论的统计活动，经历数据处理的基本过程，体验统计与生活的联系，感受统计在生活和生产中的作用.【要点梳理】要点一、平均数和加权平均数1.平均数n一般地，如果有n个数据x1、x2、x3、xn，那么，1(x+x+x+x)就是这组数123nn据的算术平均数，简称平均数，用“x”表示.即x=1(x+x

2、+x+x).123nf+f+f要点诠释：（1）平均数表示一组数据的“平均水平”，反映了一组数据的集中趋势.（2）平均数的大小与一组数据里的每个数据均有关系，其中任意一个数据的变动都会引起平均数的变动，所以平均数容易受到个别特殊值的影响.2.加权平均数若数据x出现f次，x出现f次，x出现f次x出现f次，这组数据的平均数112233kk为x，则x=x1f1+x2f2+xkfk（其中f+f+f=n，kn）12k12k在一组数据中，数据重复出现的次数f叫做这个数据的权.按照上述方法求出的平均数，叫做加权平均数.数据的权能够反映数据的相对“重要程度”.要点诠释：（1）f越大，表示x的个数越多，“权”就越

3、重.“权”越重，对平均数的影响就越kk大.加权平均数的分母恰好为各权的和.（2）加权平均数实际上是算术平均数的另一种表现形式，是平均数的简便运算.要点二、中位数和众数1.中位数一般地，当一组数据按大小顺序排列后，位于正中间的一个数据（当数据的个数是奇数时）或正中间两个数据的平均数（当数据的个数是偶数时）叫做这组数据的中位数.要点诠释：（1）一组数据的中位数是唯一的；一组数据的中位数不一定出现在这组数据中.（2）由一组数据的中位数可以知道中位数以上和以下数据各占一半.2.众数ns2=1(x-x)2+(x-x)2+.+(x-x)2来衡量这组数据的离散程度，并把它叫做这一组数据中出现次数最多的数据叫

4、做这组数据的众数.要点诠释：（1）一组数据的众数一定出现在这组数据中；一组数据的众数可能不止一个，也可能没有.（2）众数是一组数据中出现次数最多的数据而不是数据出现的次数.要点三、平均数、中位数与众数的联系与区别联系：平均数、众数、中位数都是反映数据集中趋势的统计量，能从不同的角度提供信息.区别：平均数是概括一组数据的一种常用指标，反映了这组数据中各数据的平均大小.中位数是概括一组数据的另一种指标，如果将一组数据按由小到大的顺序排列，那么中位数的左边和右边恰有一样多的数据.众数告诉我们，这个值出现的次数最多，一组数据可以不止一个众数，也可以没有众数.总之，要根据具体问题来选择刻画一组数据的集中

5、程度的统计量，选择的统计量要能够更客观地反映实际背景.要点四、方差设一组数据是x1,x2,，xn，它们的平均数是x，我们用12n组数据的方差.求方差的步骤概括为：“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”.一组数据的方差越大，说明这组数据的离散程度越大，越不稳定.要点诠释：（1）方差反映的是一组数据偏离平均值的情况.方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小.（2）一组数据的每一个数都加上（或减去）同一个常数，所得的一组新数据的方差不变.（3）一组数据的每一个数据都变为原来的k倍，则所得的一组新数据的方差变为原来的k2倍.要点五、用样本估计总体在考察总体的平均水平或方差时，往往都是通过抽

6、取样本，用样本的平均水平或方差近似估计得到总体的平均水平或方差.要点诠释：（1）如果总体数量太多，或者从总体中抽取个体的试验带有破坏性，都应该抽取样本.取样必须具有尽可能大的代表性.（2）用样本估计总体时，样本容量越大，样本对总体的估计也越精确.样本容量的确定既要考虑问题本身的需要，又要考虑实现的可能性所付出的代价.【典型例题】类型一、平均数、众数和中位数1、某选手在青歌赛中的得分如下（单位：分）99.60，99.45，99.60，99.70，98.80，99.60，99.83，则这位选手得分的众数和中位数分别是（）a99.60，99.70b99.60，99.60c99.60，98.80d99

7、.70，99.60【思路点拨】根据众数和中位数的定义求解即可【答案】b；【解析】解：数据99.60出现3次，次数最多，所以众数是99.60；数据按从小到大排列：99.45，99.60，99.60，99.60，99.70，99.80，99.83，中位数是99.60故选b【总结升华】本题考查了中位数，众数的意义找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求；如果是偶数个，则找中间两位数的平均数众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个举一反三：【高清课堂数据的分析例8】【变式1】若数据3.2，3.4，3.2，x，3.9，3.

8、7的中位数是3.5，则其众数是_，平均数是_【答案】3.2；3.5；解：由题意x+3.4=3.5,x=3.6，所以众数是3.2，平均数是3.5.2【变式2】某中学随机地调查了50名学生，了解他们一周在校的体育锻炼时间，结果如下表所示：则这50名学生这一周在校的平均体育锻炼时间是（）a6.2小时b6.4小时c6.5小时d7小时【答案】b；解：根据题意得：（510+615+720+85）50=（50+90+140+40）50=32050=6.4（小时）故这50名学生这一周在校的平均体育锻炼时间是6.4小时类型二、利用平均数、众数、中位数解决问题2、某校欲招聘一名数学教师，学校对甲、乙、丙三位候选人

9、进行了三项能力测试，各项测试成绩满分均为100分，根据结果择优录用三位候选人的各项测试成绩如下表所示：测试项目教学能力科研能力组织能力甲857064测试成绩乙737172丙736584(1)如果根据三项测试的平均成绩，谁将被录用，说明理由；(2)根据实际需要，学校将教学、科研和组织三项能力测试得分按5:3:2的比例确定每人的成绩，谁将被录用，说明理由n（【思路点拨】1）运用求平均数公式1(x+x+x+x)即可求出三人的平均成绩，比较123n得出结果；（2）将三人的成绩按比例求出测试成绩，比较得出结果.【答案与解析】解：(1)甲的平均成绩为：(857064)373，乙的平均成绩为：(737172

10、)372，丙的平均成绩为：(736584)374，候选人丙将被录用(2)甲的测试成绩为：(855703642)(532)76.3，乙的测试成绩为：(735713722)(532)72.2，丙的测试成绩为：(735653842)(532)72.8，候选人甲将被录用【总结升华】5、3、2即各个数据的“权”，反映了各个数据在这组数据中的重要程度，按加权平均数来录用举一反三：【高清课堂数据的分析例10】【变式】小王在八年级第一学期的数学成绩分别为：测验一得89分，测验二得78分，测验三得85分，期中考试得90分，期末考试得87分，如果按照平时、期中、期末的10、30、60量分，那么小王该学期的总评成绩

11、应该为多少?【答案】解：小王平时测试的平均成绩x=89+78+853=84（分）所以8410%+9030%+8760%10%+30%+60%=87.6（分）答：小王该学期的总评成绩应该为87.6分3、（2015春东莞期末）一家鞋店在一段时间内销售了某种女鞋20双，各种尺码鞋的销售量如表：鞋号23.52424.52525.526人数344711（1）求出这些尺码鞋的平均数，中位数，众数（2）如果你是老板，去鞋厂进货时哪个尺码的鞋子可以多进一些.为什么？（【思路点拨】1）直接利用平均数公式求出即可，再利用中位数以及众数的定义得出答案；（2）利用众数的意义得出答案【答案与解析】解：（1）这组数据的平

12、均数是：=（23.53+244+24.54+257+25.5+26）=24.55，中位数是：24.5，众数是25；（2）去鞋厂进货时25尺码型号的鞋子可以多进一些，原因是这组数据中的众数是25，故销售的女鞋中25尺码型号的鞋卖的最好【总结升华】此题主要考查了众数、中位数的定义以及平均数求法，正确掌握中位数的定义是解题关键举一反三：【变式】某教师为了对学生零花钱的使用进行教育指导，对全班50名学生每人一周内的零花钱数额进行了调查统计，并绘制了统计图表如图所示的统计图零花钱数额（元）学生个数（个）5a10151520205请根据图表中的信息，回答以下问题.(1)求a的值；(2)求这50名学生每人一

13、周内的零花钱额的众数和平均数【答案】解：(1)a501520510(2)众数是15平均数为150(51010151520205)12类型三、方差4.（2016巴彦淖尔）某射击队为从甲、乙两名运动员中选拔一人参加全国比赛，对他们进行了8次测试，测试成绩（单位：环）如下表：第一次第二次第三次第四次第五次第六次第七次第八次甲乙10108791081010998108810（1）根据表格中的数据，计算出甲的平均成绩是环，乙的平均成绩是环；（2）分别计算甲、乙两名运动员8次测试成绩的方差；（3）根据（1）（2）计算的结果，你认为推荐谁参加全国比赛更合适，并说明理由（【思路点拨】1）根据平均数的计算公式计

14、算即可；（2）利用方差公式计算；（3）根据方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大解答即可【答案与解析】解：（1）甲的平均成绩为：（10+8+9+8+10+9+10+8）=9，乙的平均成绩为：（10+7+10+10+9+8+8+10）=9，故答案为：9；9；（2）甲的方差为：（109）2+（89）2+（99）2+（89）2+（109）2+（99）2+（109）2+（89）2=0.75，乙的方差为：（109）2+（79）2+（109）2+（109）2+（99）2+（89）2+（89）2+（109）2=1.25，（3）0.751.25，甲的方差小，甲比较稳定，故选甲参加全国比赛更合适【总

15、结升华】本题考查的是方差的概念和性质，一般地设n个数据，x1，x2，xn的平均数为，方差s2=（x1）2+（x2）2+（xn）2，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立举一反三：【变式】甲、乙两人各射击6次，甲所中的环数是8，5，5，a，b，c,且甲所中的环数的平均数是6，众数是8；乙所中的环数的平均数是6，方差是4根据以上数据，对甲、乙射击成绩的正确判断是（）a甲射击成绩比乙稳定b乙射击成绩比甲稳定c甲、乙射击成绩稳定性相同d甲、乙射击成绩稳定性无法比较【答案】b.类型四、用样本估计总体5、我国是世界上严重缺水的国家之一为了倡导“节约用水从我做起”，小刚在他所在班的50

16、名同学中，随机调查了10名同学家庭中一年的月均用水量(单位：t)，并将调查结果绘成了如图所示的条形统计图(1)求这10个样本数据的平均数、众数和中位数；(2)根据样本数据，估计小刚所在班50名同学家庭中月均用水量不超过7t的约有多少户【思路点拨】（1）根据条形统计图，即可知道每一名同学家庭中一年的月均用水量再根据加权平均数的计算方法、中位数和众数的概念进行求解；（2）首先计算样本中家庭月均用水量不超过7t的用户所占的百分比，再进一步估计总体【答案与解析】解：(1)观察条形图，可知这组样本数据的平均数是x=62+6.54+71+7.52+81=6.810这组样本数据的平均数为6.8在这组样本数据

17、中，6.5出现了4次，出现的次数最多这组数据的众数是6.5将这组样本数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数都是6.5，有6.5+6.5=6.52这组数据的中位数是6.5(2)10户中月均用水量不超过7t的有7户，有507=3510根据样本数据，可以估计出小刚所在班50名同学家庭中月均用水量不超过7t的约有35户【总结升华】本题考查的是条形统计图的运用读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据掌握平均数、中位数和众数的计算方法举一反三：【变式】（2014清河区二模）4月23日是“世界读书日”，向阳中学对在校学生课外阅读情况进行了随机问卷调查

18、，共发放100份调查问卷，并全部收回根据调查问卷，将课外阅读情况整理后，制成表格如下：月阅读册数（本）12345被调查的学生数（人）205015105请你根据以上信息，解答下列问题：（1）被调查的学生月平均阅读册数为本；（2）被调查的学生月阅读册数的中位数是；（3）在平均数、中位数这两个统计量中，更能反映被调查学生月阅读的一般水平；（4）若向阳中学共有学生1600人，求四月份该校学生共阅读课外书籍多少本？【答案】解：（1）平均阅读册数为：=2.3（本）；10（2）共有100名学生，第50和51为同学的阅读量的平均数为中位数：=2；（3）在平均数、中位数这两个统计量中，中位数更能反映被调查学生月阅读的一般水平；（4）2.31600=3680（本）6.从甲、乙两种玉米苗中各抽10株，分别测得它们的株高如下：（单位：