高中数学 立体几何2.(第二次修订版)八个有趣模型——搞定空间几何体的外接球与内切球(教师版)

1、八个有趣模型搞定空间几何体的外接球与内切球当讲到付雨楼老师于 2018 年 1 月 14 日 总第 539 期微文章，我如获至宝.为有了教学的实施，我以付 老师的文章主基石、框架，增加了我个人的理解及例题，形成此文，仍用文原名，与各位同行分享.不当之 处，敬请大家批评指正.一、有关定义1 球的定义：空间中到定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）叫球面，简称球.2 外接球的定义：若一个多面体的各个顶点都在一个球的球面上， 则称这个多面体是这个球的内接多面 体，这个球是这个多面体的外接球.3 内切球的定义：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切， 则称这个多面体是这个球的外切多面体， 这个球是这个多

2、面体的内切球.二、外接球的有关知识与方法1性质：性质 1：过球心的平面截球面所得圆是大圆，大圆的半径与球的半径相等；性质 2：经过小圆的直径与小圆面垂直的平面必过球心，该平面截球所得圆是大圆；性质 3：过球心与小圆圆心的直线垂直于小圆所在的平面（类比：圆的垂径定理）；性质 4：球心在大圆面和小圆面上的射影是相应圆的圆心；性质 5：在同一球中，过两相交圆的圆心垂直于相应的圆面的直线相交，交点是球心（类比：在同圆中， 两相交弦的中垂线交点是圆心）.a1d1po2b1c1co obaao1bdec mo1nf初图1初图22结论：结论 1：长方体的外接球的球心在体对角线的交点处，即长方体的体对角线的中

3、点是球心；结论 2：若由长方体切得的多面体的所有顶点是原长方体的顶点，则所得多面体与原长方体的外接球相同； 结论 3：长方体的外接球直径就是面对角线及与此面垂直的棱构成的直角三角形的外接圆圆心，换言之，就是：底面的一条对角线与一条高（棱）构成的直角三角形的外接圆是大圆；结论 4：圆柱体的外接球球心在上下两底面圆的圆心连一段中点处；结论 5：圆柱体轴截面矩形的外接圆是大圆，该矩形的对角线（外接圆直径）是球的直径；结论 6：直棱柱的外接球与该棱柱外接圆柱体有相同的外接球；结论 7：圆锥体的外接球球心在圆锥的高所在的直线上；结论 8：圆锥体轴截面等腰三角形的外接圆是大圆，该三角形的外接圆直径是球的直

4、径；结论 9：侧棱相等的棱锥的外接球与该棱锥外接圆锥有相同的外接球.3终极利器：勾股定理、正定理及余弦定理（解三角形求线段长度）；三、内切球的有关知识与方法1 若球与平面相切，则切点与球心连线与切面垂直.（与直线切圆的结论有一致性）.2 内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等.（类比：与多边形 的内切圆）.3 正多面体的内切球和外接球的球心重合.4 正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不一定重合.5 基本方法：1162 2 2 2 2解： r4 3 3 3 9= + + = ， s =4pr（1） 构造三角形利用相似比和勾股定理；（2） 体积分割是求内切球

5、半径的通用做法（等体积法）.4、 与台体相关的，此略.5、 八大模型第一讲 柱体背景的模型类型一、墙角模型（三条棱两两垂直，不找球心的位置即可求出球半径）ppppccccbaabcaa bbcaabbcaabbc图1-1图1-2图1-3图1-4方法：找三条两两垂直的线段，直接用公式 ( 2r ) 2 =a 2 +b 2 +c 2，即2r =a2 +b 2 +c 2，求出r例 1 （1）已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为 4 ，体积为16 ，则这个球的表面积是（ c ）a16pb20pc24pd32p解： v =a h = ， a =2 ， 4 r =a +a +h =4 +4 +16 =

6、24，s =24p，选 c；（2）若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为2 2=9p；3，则其外接球的表面积是9p（3 ）在正三棱锥 s -abc 中， m 、n 分别是棱 sc、bc 的中点，且 am mn ,若侧棱 sa =2 3,则正三棱锥 s -abc 外接球的表面积是 .36ps解：引理：正三棱锥的对棱互相垂直.证明如下：如图（3）-1，取ab, bc的中点d, e，连接ae , cd，ae , cd交于h，连接sh，则 h 是底面正三角形 abc 的中心，ac sh 平面abc， sh ab，dheq ac =bc，ad =bd， cd ab， ab 平面scd，b(3)题-1(

7、引理） ab sc ，同理：bc sa ， ac sb ，即正三棱锥的对棱互垂直，s本题图如图（3）-2，q am mn ， sb / mn ， am sb，q ac sb， sb 平面sac，m sb sa，sb sc，q sb sa，bc sa， sa 平面sbc， sa sc，ac故三棱锥 s -abc 的三棱条侧棱两两互相垂直，bn(3)题-2（解答图）22(2 )(2 )球 (2 r ) 2 =(2 3) 2 +(2 3) 2 +(2 3) 2 =36，即4 r 2 =36，正三棱锥s -abc外接球的表面积是36p.（4）在四面体 s -abc 中， sa 平面abc ， bac

8、=120 , sa =ac =2, ab =1, 球的表面积为（ d ）则该四面体的外接a.11pb.7pc .10 40p d.3 3p解：在 dabc 中， bc 2 =ac 2 +ab 2 -2 ab bc cos120o=7，bc =7，dabc的外接球直径为2 r =bc 7 2 7= =sin bac 3 3， (2 r )2=(2r )2+sa2=(2 7 40 40p) +4 = ， s = ，选 d 3 3 32（5）如果三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为6、4、3，那么它的外接球的表面积是解：由已知得三条侧棱两两垂直，设三条侧棱长分别为a , b, c（ a , b

9、 , c r+），则ab =12bc =8， abc =24， a =3，b =4，c =2， r 2 =a 2 +b 2 +c 2 =29，s =4pr2 =29p，ac =6（6）已知某几何体的三视图如图所示，三视图是腰长为1 的等腰直角三角形和边长为1 的正方形，则该几 何体外接球的体积为解： r2 =a 2 +b 2 +c 2=3，r2=3 3， r =4 24 4 3 3 3 v = pr3 = p = p，3 3 8 2p(6)题图acb（6）题直观图类型二、对棱相等模型（补形为长方体）题设：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径（ab =cd，ad =bc，ac

10、 =bd）第一步：画出一个长方体，标出三组互为异面直线的对棱；第二步：设出长方体的长宽高分别为a , b, c ， ad =bc =x，axab =cd =y，ac =bd =z，列方程组，yzzdyca2 +b 2 =x 2 b2 +c 2 =y 2 c 2 +a 2 =z 2 (2 r )2=a2+b2+c2=x2+y 22+z2，bxa b图2-1c3abc1 14 =2， a +b +c = + + =2补充：图 2-1 中，va -bcd= -abc abc6 3.第三步：根据墙角模型，2 r = a 2 +b 2 +c 2 =x 2 +y 2 +z 22，r =x 2 +y 2 +

11、z 28，r =x 2 +y 2 +z 28，求出r.思考：如何求棱长为a的正四面体体积，如何求其外接球体积？例 2（1）如下图所示三棱锥 a -bcd ，其中 ab =cd =5, ac =bd =6, ad =bc =7, 球的表面积为 .则该三棱锥外接解：对棱相等，补形为长方体，如图2-1，设长宽高分别为a , b, c2( 2 2 2 ) 25 36 49 110，a2+b2+c2=55 ， 4 r2=55 ， s =55pabdc(1)题图（2 ）在三棱锥 a -bcd 中， ab =cd =2 ， ad =bc =3 ， ac =bd =4，则三棱锥 a -bcd 外接29p球的表

12、面积为 .2解：如图 2-1，设补形为长方体，三个长度为三对面的对角线长，设长宽高分别为a , b, c，则 a 2 +b 2 =9，b2+c2=4 ， c2+a 2 =16 2( a2+b2+c2) =9 +4 +16 =29 ， 2( a2+b2+c2) =9 +4 +16 =29，a2+b2+c2=29 29 29 ， 4 r = ， s = p2 2 2（3）正四面体的各条棱长都为2，则该正面体外接球的体积为pacb（3）解答题解：正四面体对棱相等的模式，放入正方体中，2 r = 3，r =3 4 3 3 3 ， v = p = p2 3 8 2（4）棱长为2的正四面体的四个顶点都在同

13、一个球面上，若过该球球心的一个截面如下图，则图中三4ooaa h113a h r2柱)角形(正四面体的截面)的面积是 .o2cpoao1b(4)题(4)题解答图解：如解答图，将正四面体放入正方体中，截面为 dpco ，面积是 2 .1类型三、汉堡模型（直棱柱的外接球、圆柱的外接球）c1c1c1a1o2b1fa1o2b1a1b1o2foooccca o1beao1babo1e图3-1图3-2图3-3题设：如图 3-1，图 3-2，图 3-3,直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任 意三角形）第一步：确定球心o的位置， o 是 dabc 的外心，则 oo 平面 abc ；

14、 1 1第二步：算出小圆 o 的半径 ao =r1 1， =11 1= （ aa =h 2 2也是圆柱的高）；第三步：勾股定理： oa2=o a12+o o12 r2h=( )22+r2 r =r2h+( )22，解出r例 3（1）一个正六棱柱的底面上正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，9且该六棱柱的体积为 ，底面周长为 ，则这个球的体积为8解：设正六边形边长为 ，正六棱柱的高为 ，底面外接圆的半径为 ，则 a =12，正六棱柱的底面积为 s =6 3 1 3 3 3 3 9 ( ) = ，v =sh = h =4 2 8 8 8， h = 3 ， 4 r 2 =1

15、2 +( 3) 2 =4也可 r 2 =(3 1 ) 2 +( 2 =2 21），r =1，球的体积为v =球4p3；（2）直三棱柱 abc -a b c1 1 1的各顶点都在同一球面上，若ab =ac =aa =21,bac =120，则此球52 2表= s(2 ) (2 3) 2 1622228表ooo的表面积等于 .解：bc =2 3，2 32 r = =sin120 o4，r =2，r = 5，s =20p；e（3 ）已知 deab 所在的平面与矩形 abcd 所在的平面互相垂直，ea =eb =3, ad =2, aeb =60，则多面体 e -abcd 的外接球 的表面积为 . 1

16、6po1mr1r1aroo2rr2d解：折叠型，b（3）题c法一： deab 的外接圆半径为 r =13，oo =1 ， r = 1 +3 =2 1；法二： o m = 13 13 3 13， r =o d = ， r 2 = + =4 ， r =2 ， s =16p 2 2 4 4；法三：补形为直三棱柱，可改变直三棱柱的放置方式为立式，算法可同上，略.换一种方式，通过算圆柱的轴截面的对角线长来求球的直径： r = + ，表=16p；（4）在直三棱柱 abc -a b c1 1 1中，ab =4, ac =6, a =p3, aa =41，则直三棱柱 abc -a b c1 1 1的外接球的表

17、面积为 .1603p解：法一： bc2=16 +36 -2 46122 7 4 7 2 7= ， bc =2 7 ， 2r = = ， r = ，3 3 32r 2 =r 2 +(aa 28 40 160 1 ) 2 = +4 = ， s =2 3 3 3p；法二：求圆柱的轴截面的对角线长得球直径，此略.第二讲 锥体背景的模型类型四、切瓜模型（两个大小圆面互相垂直且交于小圆直径正弦定理求大圆直径是通法）ppppoooa1ca1ca1cacbbbb图4-1图4-2图4-3图4-41如图 4-1，平面pac 平面abc，且ab bc（即ac为小圆的直径），且p的射影是dabc的外心 三棱锥 p -

18、abc的三条侧棱相等 三棱 p -abc的底面dabc在圆锥的底上，顶点p点也是圆锥的顶点. 解题步骤：第一步：确定球心 o 的位置，取 dabc 的外心 o1，则p, o , o 1三点共线；第二步：先算出小圆 o1的半径ao =r1，再算出棱锥的高po =h1（也是圆锥的高）；622r4pb c dap第三步：勾股定理： oa 2 =o a 2 +o o 2 r 2 =( h -r ) 2 +r 21 1，解出 r；事实上， dacp 的外接圆就是大圆，直接用正弦定理也可求解出 r .2如图 4-2，平面 pac 平面 abc ，且 ab bc （即 ac 为小圆的直径），且 pa ac

19、，则利用勾股定理求三棱锥的外接球半径： (2 r )2 =pa 2 +(2 r ) 2 2 r =pa2+(2 r )2； r2=r2+oo r = 1r2+oo13如图 4-3，平面 pac 平面 abc ，且 ab bc （即 ac 为小圆的直径）oc 2 =o c 2 +o o 2 r 2 =r 2 +o o 2 ac =2 r 2 -o o 1 1 1 124题设：如图 4-4，平面pac 平面abc，且ab bc（即ac为小圆的直径）第一步：易知球心o必是dpac的外心，即dpac的外接圆是大圆，先求出小圆的直径ac =2r；第二步：在 dpac 中，可根据正弦定理a b c= =

20、=2 ，求出 r . sin a sin b sin c例 4 （1）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为1，底面边长为2 3，则该球的表面积为 .解：法一：由正弦定理（用大圆求外接球直径）；法二：找球心联合勾股定理，2 r =7，s =4pr2=49p；（2）正四棱锥 s -abcd 的底面边长和各侧棱长都为 2 ，各顶点都在同一球面上，则此球体积为 解：方法一：找球心的位置，易知 r =1 ，h =1 ，h =r ，故球心在正方形的中心 abcd 处，r =1 ，v =3方法二：大圆是轴截面所的外接圆，即大圆是 dsac 的外接圆，此处特殊， rtdsac 的斜边是球半径，2 r

21、=2，r =1，v =4p3.（3）一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1 的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正 三棱锥的体积是（ ）a3 3 3 3 3解：高4 3h =r =1 ，底面外接圆的半径为r =14，直径为2 r =212，设底面边长为 ，则 2 r =asin 60o=23 3 3 1 3， a = 3 ， s = a 2 = ，三棱锥的体积为 v = sh = ；4 4 3 4（4）在三棱锥p -abc中，pa =pb =pc = 3,侧棱pa与底面 abc 所成的角为 60 o，则该三棱锥外接球的体积为（ ）apb.p 4pc. 4 d.3 3解：选 d，由线

22、面角的知识，得dabc的顶点a, b, c在以r =32为半径的圆上，在圆锥中求解，r =1；（5）已知三棱锥 s -abc 的所有顶点都在球 o 的求面上 , dabc 是边长为 1 的正三角形 , sc 为球 o 的直径,且sc =2，则此棱锥的体积为（ ）a7球or122ooa2 3 2 2b c d6 6 3 2解：oo = r 2 -r 2 = 1 -( 13 6) 2 =3 3，h =2 6 1 1 3 2 6 2， v = sh = = 3 3 3 4 3 6类型五、垂面模型（一条直线垂直于一个平面） 1题设：如图 5， pa 平面 abc ，求外接球半径.poca1db图5解题

23、步骤：第一步：将dabc画在小圆面上，a为小圆直径的一个端点，作小圆的直径ad，连接pd，则pd必过球心o；第二步： o 为 dabc 的外心，所以 oo 平面 abc ，算出小圆 o 的半径 o d =r 1 1 1 1（三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得a b c 1 = = =2 ），oo = pasin a sin b sin c 2；第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径： (2 r )222 rr=r+oo+oo r =.112=pa2+(2 r )2 2 r =pa2+(2 r )2；2题设：如图 5-1 至 5-8 这七个图形， p 的射影是 dabc 的外心 三棱锥

24、p -abc 的 三条侧棱相等 三棱锥 p -abc 的底面 dabc 在圆锥的底上，顶点 p 点也是圆锥的 顶点.ppppooooccccao1ba1bab1ao1bd图5-1图5-2图5-3图5-48o1p ppbao2dcbao2cab2do图5-6o图5-7o图5-8解题步骤：第一步：确定球心 o 的位置，取 dabc 的外心 o1，则p, o , o 1三点共线；第二步：先算出小圆 o1的半径ao =r1，再算出棱锥的高po =h1（也是圆锥的高）；第三步：勾股定理： oa 2 =o a 2 +o o 2 r 2 =( h -r ) 2 +r 21 1，解出r方法二：小圆直径参与构造

25、大圆，用正弦定理求大圆直径得球的直径.例 5 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为( )ca3pb2pc16p3d以上都不对2 22 22 2pr正视图侧视图22orm1 o1n俯视图解答图解：选 c，法一：（勾股定理）利用球心的位置求球半径，球心在圆锥的高线上，( 3 -r )2+1 =r2,r =23,s =4pr216= p3；法二：（大圆法求外接球直径）如图，球心在圆锥的高线上，故圆锥的轴截面三角形 pmn 的外接圆是大2 4圆，于是 2 r = =sin 60 o 3，下略；第三讲 二面角背景的模型类型六、折叠模型题设：两个全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折叠

26、(如图 6)91 22o21， c =45aoh2daeh1cb图6第一步：先画出如图 6 所示的图形，将 dbcd 画在小圆上，找出 dbcd 和 dabd的外心 h1和h2；第二步：过 h1和h2分别作平面bcd 和平面 abd的垂线，两垂线的交点即为球心o，连接oe , oc；第三步：解 doeh1，算出oh1，在rtdoch1中，勾股定理：oh 2 +ch 2 =oc 2 1 1注：易知 o, h , e , h12四点共面且四点共圆，证略.例 6（1）三棱锥p -abc中，平面pac 平面abc，pac和abc均为边长为2的正三角形，则三棱锥 p -abc 外接球的半径为 .解：如图

27、， 2 r =2 r =1 22 4 2 1 = ， r =r = ， o h = ，sin 60 3 3 3pr2=o h221 4 5 15 +r = + = ， r =3 3 3 3；o2ao法二：o h =213，o h =113，ah =1，bho1（1）题cr2=ao2=ah2+o h12+o o125 15= ， r =3 3；（2 ）在直角梯形abcd中，ab / cd， a =90o o，ab =ad =1，沿对角线bd折成四面体a-bcd ，使平面 abd 平面 bcd ，若四面体 a-bcd的顶点在同一个球面上，则该项球的表面积为4psa2ad2r2ddo2or1cb(2

28、)题-1cbm(2)题-2oca12(3)题o1r1b2解：如图，易知球心在 bc 的中点处， s表=4p；101 21abcdbd m dabd dcbd 2abcd（3）在四面体s -abc中，ab bc，ab =bc =2，二面角s -ac -b的余弦值为-33，则四面体 s -abc 的外接球表面积为6p解：如图，法一： cos so b =cos( oo o +1 1 23 6sin oo o =， cos oo o =，1 23 3p2) =-33，o o 2 oo = 1 2 =cos oo o 21 2，1 3 r 2 =1 + =2 2，s =4pr2 =6p；法二：延长 b

29、o1到d使do =bo =r 1 1 1，由余弦定理得sb =6，sd = 2，大圆直径为2 r =sb = 6；（4）在边长为2 3的菱形 中， bad =60o，沿对角线bd折成二面角a -bd -c为120o的四面体 abcd ，则此四面体的外接球表面积为28par2oo2rd2drebm d1o1r1c(4)题图解：如图，取 的中点 ， 和 的外接圆半径为 r =r = ，dabd 和 dcbd 的外心 o , o1 2 1 2到弦bd的距离（弦心距）为 d =d =1 21，法一：四边形 oo mo1 2的外接圆直径om =2，r =7，s =28p；法二： oo = 13，r =

30、7；法三：作出dcbd的外接圆直径ce,则am =cm =3，ce =4，me =1，ae =7，ac =3 3，cos aec =7 +16 -27 1=- 2 7 4 2 7，sin aec =3 32 7，2r =ac 3 3= =2 7 ， r = 7 ；sin aec 3 32 7(5)在四棱锥 中，bda =120o，bdc =150o，ad =bd =2 ，cd =3 ，二面角 a -bd -c11252 2 2 2 2 2 21op, oc oa ob oc op abppp2 r =ac =53s =r .=的平面角的大小为 120 o，则此四面体的外接球的体积为解：如图，过

31、两小圆圆心作相应小圆所在平面的垂线确定球心，ooao2dc抽象化o2dmmbo1bo1(5)题解答图 -1(5)题解答图 -2ab =2 3 ， r =2 ，弦心距 o m = 3 ， bc = 13 ， r = 13 ，弦心距 o m =2 32 2 1 1， o o =1 221 ， om =o o1 2sin120o=2 7，法一：r 2 =od 2 =md 2 +om 2 =29，r = 29， v =球116 29p3；法二： oo =om -o m = ， r =od =r +oo 2 2 2 2=29 ， r =29 ， v = 球116 29p3.类型七、两直角三角形拼接在一起

32、(斜边相同,也可看作矩形沿对角线折起所得三棱锥)模型pa题设：如图 7， apb =acb =90obco图7，求三棱锥 p -abc 外接球半径（分析：取公共的斜边的中点 o ，连接 ，则 = = = = ， o 为三棱锥 p -abc 外接球球心，然后在 ocp 中2求出半径），当看作矩形沿对角线折起所得三棱锥时与折起成的二面角大小无关，只要不是平角球半径都 为定值.例 7（1）在矩形 abcd 中， ab =4 ， bc =3 ，沿 ac 将矩形 abcd 折成一个直二面角b -ac -d，则四面体abcd的外接球的体积为（ ）a125 125 125 125b c d12 9 6 3p

33、5 4 4 125 125p解：（1） ， r = ， v = pr = p = ，选 c2 3 3 8 6（2）在矩形 abcd 中， ab =2 ， bc =3 ，沿 bd 将矩形 abcd 折叠，连接 ac ，所得三棱锥 的外接球的表面积为 a -bcd解：bd的中点是球心o，2 r =bd = 13 ， 4p 2 13p12oe po1fh bcdpfhdpogrdabcpabpacpbcdabc dpab pac dpbcr正方体sra r a r第四讲 多面体的内切球问题模型类型八、锥体的内切球问题p1题设：如图 8-1，三棱锥p -abc上正三棱锥，求其内切球的半径.第一步：先现

34、出内切球的截面图， e , h 分别是两个三角形的外心；e第二步：求dh=13bd，po =ph -r ， pd 是侧面 dabp 的高；adohc第三步：由 dpoe 相似于 dpdh ，建立等式： = ，解出 rdh pd2题设：如图 8-2，四棱锥 p -abc 是正四棱锥，求其内切球的半径b图8-1p第一步：先现出内切球的截面图，p , o, h三点共线；第二步：求 = ， po =ph -r ， pf 是侧面 dpcd 的高；2og po第三步：由 相似于 ，建立等式： = ，解出hf pfbeaohgcfd图8-23题设：三棱锥p -abc是任意三棱锥，求其的内切球半径方法：等体积

35、法，即内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和相等 第一步：先画出四个表面的面积和整个锥体体积；第二步：设内切球的半径为 ，建立等式： vp -abc=vo -abc+vo -pab+vo -pac+vo -pbcvp -abc1 1 1 1 1= s r+ s r+ s r+ s r = ( s +s +s +s ) r 3 3 3 3 3第三步：解出 r =so -abc+s3vp -abc+s o -pab o -pac+so -pbc例 8 （1）棱长为 a 的正四面体的内切球表面积是pa62，a解：设正四面体内切球的半径为 ，将正四面体放入棱长为 的正方体中（即补形为正方体），如

36、图，则2vp -abc1 1 a3 a 3 = v = =3 3 2 2 6 2，db又q vp -abc=4 1 1 3 3 =4 2 = 23 3 4 3，c3a32r =a 3 a， r = ， 内 切 球 的 表 面 积 为 6 2 2 6(1)题a13侧面斜高 2 2s r表hs r表(2 ) 4 16 16 6s =4pr2 = 表pa26（注：还有别的方法，此略）（2）正四棱锥 s -abcd 的底面边长为 2 ，侧棱长为 3 ，则其内切球的半径为71 +2 2解：如图，正四棱锥 s -abcd 的高 h =7，正四棱锥 s -abcd 的体积为 vs -abcd=4 73h = ，正四棱锥 s -abcd 的表面积为 s =4 +8 2 1 表，正四棱锥 s -abcd 的体积为 vs -abcd1 4 +8 2 = = 3 3r，s4 +8 2 4 7r =3 3，ah1d4 7 7 7