电动力学：第1章 三维欧氏空间中的张量

1、1.1 正交坐标系的转动 1.2 物理量在空间转动变换下的分类 1.4 张量代数 1.5 张量分析,第一章 三维欧氏空间中的张量,标量：大小。密度，温度等,矢量：大小和方向。,基矢记为,1.1 正交坐标系的转动,1.1.1 直角坐标系,或记为 ；,基矢满足,右手系,矢量的表示：,的投影为,Einstein约定 哑指标,注：一对重复指标(哑指标)表示对从1到3求和,Einstein求和约定：,如,矢量的加减法:,矢量的运算：,1.点乘:,矢量的乘法:点乘(内积)、叉乘(外积)和并矢,满足交换律,有,或,2.叉乘:,方向:右手螺旋关系,大小：,显然,基矢的叉乘,满足,验证,叉乘可表示为：,易验证,

2、显然有,易得,即,记忆,3.并矢：,二阶张量,运算,一般地,运算过程简化为：,同理,又有,讨论绕原点的坐标系转动,1.1.2,转动变换矩阵,变换关系为,转动前 ，基矢为,转动后 ，基矢为,基矢的变换,(1.1),根据Einstein求和约定，（1.1)式可表示为,其矩阵表示形式为,(1.3)式可简写为,记,(1.2),(1.3),(1.4),这里,坐标的变换,考虑空间某P点,在S系中坐标为,位矢,在 系中坐标为 ，,位矢,有,得,满足,简写为,(1.5),(1.6),1.1.3 变换矩阵的特性,的距离,与坐标系转动无关，故,故有,(1.7),代入(1.5)式得,写成矩阵形式,有,故a 是正交矩

3、阵,(1.8),因而,即有,又由(1.8)式有,(1.9),(1.10),对(1.6)式转置，有,右乘a，得,其分量形式,(1.13),(1.14),正交关系(1.7)式写成,(1.15),对 和 式两边微商后可得,1.2 物理量在空间转动变换下的分类,场：物理量是空间坐标的函数，如,(2.1),标量(场): 一个量 且空间转动变换下不变,像坐标 一样变换,即,(2.2),矢量(场):三个量 在空间转动变换下,构成矢量,记为,:第i个分量,即满足,注：两个坐标分量乘积的变换为,二阶张量(场): 九个量,在空间转动变换下像两个坐标分量的乘积一样变换,即,(2.3),记为,:第 个分量,可用3*3

4、矩阵表示,基矢表示,可记为,运算,一般地,个量,在转动变换下像n个坐标分量乘积一样的变换,即,称为n阶张量,(2.4),是分量,故知：标量是零阶张量,矢量为一阶张量,四维空间：n阶张量: 个分量,例2.1 试证 构成三维矢量,证明:由,张量的判断,即得,相同于,例2.2 试证 是二阶张量,证明: 由,点乘得,即,有,证毕,若张量,满足,则分别称张量T相当于指标 是对称的和反对称的,对于二阶张量，有,即二阶张量的表示矩阵分别为对称矩阵或反对称矩阵,构造张量T关于指标 的对称部分和反对称部分,对称部分,反对称部分,则,(2.6),(2.7),对于二阶张量，其对称部分,反对称部分,则,故任意二阶张量

5、都可以表示为一个对称张量(矩阵） 和一个反对称张量(矩阵)之和,1.3 物理量在空间反演变换下的分类,空间反演 定义为,特点： 改变了坐标系 的左、右旋,左旋,(3.1),1.3.1,变换矩阵,即,则为真正的张量,简称张量,若n阶张量T的分量按照下式变换,(3.3),称为赝张量,在空间反演下,若 的分量按n个坐标乘积的,反演变换规律变换,即,(3.2),赝张量，赝矢量，赝标量,1.3.2,称为场的空间宇称,赝标量,(轴)矢量,二阶赝张量,标量,(极)矢量,二阶张量,常见的空间宇称为,标量,坐标系反演时数量和符号不变,如质量，电荷，温度等,极矢量,在空间反演时矢量不变。,讨论,空间反演后有,故,

6、点乘,给出,赝矢量,反演时符号改变。如极矢量 的混合乘积,如,反演前,反演后,赝标量,例如 角动量,不变张量:,1.3.3,若张量 在坐标转动变换不变,(3.4),例3.1 不变矢量是零矢量,例3.2 是一个二阶对称张量,而且是不变张量,证明:,证明:,又二阶张量 为一单位矩阵,故,不变张量,二阶对称张量,共27个分量，6个不为零,i,j,k为(1,2,3)的正循环,i,j,k为(1,2,3)的逆循环,其它情况,1.3.4 符号 和 的关系,Levi-Civita 符号的定义,有,构成三阶全反对称张量,满足,和,有,证明：利用,例3.3 试证 的27个分量构成一个三阶赝张量,证明: 对于右手系

7、，有,对于左手系有,对于空间反演,右手系 变为左手系,赝张量,易证,关系式,证明：由等式左边知,故等式左边不为零的条件为,和,故,等式右边：,有,当,时（此时 ）,有,当,时（此时 ）,当,时，有,证毕,例3.4：证明恒等式,证：,例3.5：证明恒等式,证：,1.4 张量代数,代数运算,1.加减法:张量的和(差)为对应分量的和(差),2.数乘: 张量和标量的乘法,(4.1),(4.2),3.张量积: 若有张量 和张量 ,则 和 的张量积用 表示,定义为:,(4.3),m+n阶,一般地,并矢,二阶张量,4.缩阶: 运算,(4.4),表示指标 与 之间的收缩。,这里,5.二阶张量的迹:,(4.5)

8、,n阶张量的缩阶可以得到一个n-2阶张量,6.两个矢量 和 的点乘:,(4.6),7.两个张量点乘:,(4.7),一次点乘,如,不满足交换律,二次点乘,(4.8),多次点乘依此类推,若 均为矢量,有,标量,8.度规(单位)张量:,或表为,如,1)与任何矢量 点乘:,(4.9a),2)与任何张量点乘,(4.9b),3),(4.9c),特点:,例,例,1.5 张量分析,微分算子 定义为,(5.1),微分算子对张量场 的作用,(5.2-1),(5.2-2),(5.2-3),(5.2-4),(5.2-1),(5.2-2),例:,例:,(5.2-3)式展开为,张量运算:,(5.3-1),(5.3-2),设 和 为标量场, 和 为矢量场,有,证明,或直接给出,证明：,利用 公式,有,具体运算：,使用公式,证明恒等式,记,(5.6),有,注意：,而,对x微分,例：证明等式,证明：,或,或,或,微分算子在柱坐标和球坐标下的运算公式,柱坐标：,球坐标：,两个定理：积分变换公式,Gauss定理,Stokes定理,体积分面积分变换公式:,替换法则,(5.8),(5.7),面积分线积分变换公式:,替换法则,(5.9),