幂函数、零点与函数的应用.板块二.函数的零点.学生版

1、板块二 .函数的零点典例分析题型一：函数的零点【例 1】 若 f ( x)x1 ，则方程 f (4 x)x 的根是 ()x11C 2D2A B 22【考点】函数的零点【难度】 1 星【题型】选择【关键词】无【解析】【答案】 A【例 2】 若函数 yax1在 (0,1) 内恰有一解，则实数a 的取值范围是（）.A. a1B. a 1C. a 1D. a 1【考点】函数的零点【难度】 2 星【题型】选择【关键词】无【解析】【答案】 B【例 3】 已知函数f ( x)3mx 4 ，若在 2,0 上存在 x0，使 f ( x0)0 ，则实数 m 的取值范围是.【考点】函数的零点【难度】 2 星【题型】

2、填空【关键词】无【解析】 在 2,0上存在 x0 ，使 f (x0 )0 ， 则 f ( 2)f (0) 0 ， ( 6m4) (4) 0 ，解得 m2 .31所以， 实数 m 的取值范围是 ( ,2 .3点评：根的分布问题，实质就是函数零点所在区间的讨论，需要逆用零点存在性定理，转化得到有关参数的不等式2【答案】(,【例 4】 函数 f ( x)2 x3 的零点所在区间为（）A. （1，0）B. （ 0，1）C. （1，2）D. （ 2，3）【考点】函数的零点【难度】 2 星【题型】选择【关键词】无【解析】【答案】 C【例 5】 函数 f ( x)ln x2x 6的零点一定位于区间（） .A

3、. (1, 2)B.(2,3)C.(3, 4)D. (4, 5)【考点】函数的零点【难度】 2 星【题型】选择【关键词】无【解析】 易知函数 f ( x) 在定义域 (0,) 内是增函数 . f (1)ln12640 ， f (2) ln 24 6 ln 22 0 ，f (3)ln366ln30 . f (2) f (3)0 ，即函数f (x) 的零点在区间(2,3). 所以选 B.【答案】 B【例 6】函数 f xlog 2 x 2 x 1 的零点必落在区间（）A.1 , 1B. 1, 1C. 1,1D.(1,2)844222【考点】函数的零点【难度】 2 星【题型】选择【关键词】 2009

4、 年，泉州市，高考模拟【解析】【答案】C【例 7】 函数 f ( x)xln x 的零点所在的区间为（）.A （ 1， 0）B（ 0， 1）C（ 1， 2）D（ 1， e）【考点】函数的零点【难度】 2 星【题型】选择【关键词】无【解析】【答案】 B【例 8】 若 函 数 fxa xxa a0且a1有 两个 零点， 则实 数a 的取 值范围是.【考点】函数的零点【难度】 2 星【题型】填空【关键词】 2009 年，山东文，高考【解析】 设函数 yax ( a0, 且 a1 和函数 yxa ,则函数fxaxxa a0且 a1 有两个零点, 就是函数ya x (a0, 且 a1 与函数 yxa 有

5、两个交点 ,由图象可知当0a1时两函数只有一个交点,不符,a 1,因为函数ya(a 1)的图象过点(0,1),而直线 yx a 所过的合 当时x点（0，a）一定在点 (0,1) 的上方 ,所以一定有两个交点 .所以实数 a 的取值范围是 a | a1 .【答案】 a | a1【例 9】 利用函数的图象，指出下列函数零点所在的大致区间：（1） f (x)x32x 1 ； （ 2） f ( x) e1 x3x 2 .【考点】函数的零点【难度】 2 星【题型】解答【关键词】无3【解析】 （ 1）易知函数 f (x)x32x1 在定义域 R 上是减函数 .用计算器或计算机作出x, f (x) 的对应值

6、表或图象 .x-3-2-10123f ( x)341341-2-11-32由列表或图象可知，f (0)0 ， f (1) 0 ，即 f (0) f (1) 0 ，说明函数f ( x) 在区间 (0,1) 内有零点，且仅有一个. 所以函数 f ( x) 的零点所在大致区间为(0,1) .（2）易知函数 f (x)e1 x3 x2 在定义域 R 上是增函数 .用图形计算器或计算机作出图象 .由图象可知， f ( 2)0 ， f (1) 0 ，即 f ( 2) f ( 1) 0 ，说明函数 f ( x) 在区间( 2, 1) 内有零点，且仅有一个. 所以函数 f (x) 的零点所在大致区间为( 2,

7、 1).【答案】（ 1） (0,1) （2） ( 2,1)【例 10】 已知函数 f ( x) 图象是连续的，有如下表格，判断函数在哪几个区间上有零点.x 2 1.5 1 0.500.511.52f x 3.511.022.371.56 0.381.232.773.454.89【考点】函数的零点【难度】 2 星【题型】解答【关键词】无【解析】【答案】（ 2， 1.5）、（ 0.5， 0）、（0， 0.5）内有零点3【例 11】 画出函数 f ( x)2 x3x1 的图象，判断函数在以下区间(-1.5， -1)， (0， 0.5)，(0.8，1.5)内有无零点，并判断零点的个数.【考点】函数的零

8、点【难度】 2 星【题型】解答【关键词】无【解析】 通过作出 x 、 fx 的对应值表 (如下 ).x-1.5-1-0.500.511.54f x-1.2522.251-0.2503.25所以图象为由上表和上图可知，f 1.5 0 ， f 10 ，即 f 1.5 f10，说明这个函数在区间1.5,1 内有零点 .同样，它在区间 (0， 0.5)内也有零点 .另外，f 1 0 ，所以1 也是它的零点 .由于函数 fx 在定义域, 1.5和(1，)内是增函数，所以它共有3 个零点 .【答案】共有3 个零点【例 12】 求函数 yx32x2x2 的零点，并画出它的图象 .【考点】函数的零点【难度】

9、2 星【题型】解答【关键词】无【解析】 因为 y x32 x2x2x2 (x 2) (x 2)(x 2)( x 1)(x 1)所以函数的零点为-1， 1，23 个零点把 x 轴分成 4 个区间： (-，-1)、 (-1， 1)、 (1， 2)、(2，+).在这四个区间内，取x 的一些值，以及零点，列出这个函数的对应值表：x-1.5-1-0.500.511.522.5y-4.3801.8821.132-0.6302.63在直角坐标系内描点连线，这个函数的图象如图所示.5【答案】零点为-1， 1，2【例 13】 函数 yf ( x) 的图象是在R 上连续不断的曲线，且 f (1) f (2)0 ，

10、则 yf ( x) 在区间 1,2 上（）.A. 没有零点B. 有 2 个零点C. 零点个数为偶数D. 零点个数为k， kN【考点】函数的零点【难度】 3 星【题型】选择【关键词】无【解析】【答案】 D【例 14】 已知函数 yf ( x) 和 yg ( x) 在 2,2 的图象如下所示：6给出下列四个命题：方程 f g(x)0 有且仅有 6 个根方程 g f (x)0 有且仅有 3 个根方程 f f (x)0 有且仅有 5 个根方程 g g(x)0 有且仅有 4 个根其中正确的命题是（将所有正确的命题序号填在横线上）.【考点】函数的零点【难度】 3 星【题型】填空【关键词】 2009 年，北

11、京市石景山，高考一模【解析】【答案】 【例 15】 若函数 fx 的零点与 g x4x2x2 的零点之差的绝对值不超过0.25，则fx可以是A.fx4x1B.fx( x1) 2C.f xex1D. f xln x12【考点】函数的零点【难度】 3 星【题型】选择【关键词】 2009 年，福建文，高考【解析】 fx4x 1的零点为 x1 , fx(x1)2 的零点为 x 1 , f xex1 的4零 点 为x 0 ,f xln x1的 零 点 为 x3 .现在我们来估算22g xx2x2 的零点，因为g01 g11,所以 g(x) 的零点 x(0,14,2),2又函数 fx的零点与 gx 4x2

12、x2 的零点之差的绝对值不超过0.25，只有 fx4x1的零点适合，故选 A 。7【答案】 A题型二：二次函数的零点与方程函数在方程中的应用主要是构造函数，确定方程的实根的个数、讨论方程的实根的存在性和唯一性问题以及讨论方程的实根的范围问题.主要方法是构造各种函数，利用数形结合，观察函数图象的交点等等.【例 16】 函数 y2 x24 x3的零点个数（） .A.0个B.1个C.2个D. 不能确定【考点】二次函数的零点与方程【难度】 1 星【题型】选择【关键词】无【解析】【答案】 C【例 17】 函数 f ( x) x26 的零点是.5 x【考点】 二次函数的零点与方程【难度】 1 星【题型】填

13、空【关键词】无【解析】【答案】 2或 3【例 18】 方程 x2m2 x5m0 的两根都大于2，求实数 a 的取值范围【考点】二次函数的零点与方程【难度】 2 星【题型】解答【关键词】无【解析】 令 f x2m2x5m ，要使 fx0 的两根都大于2，则应满足x8(m2)24(5m) 0m216 0f (2)0解得42(m2) 5 m 02m2m22或4m 4 m m5即5 m 4.m2【答案】 5m4【例 19】 若方程 (m 1)x22(m1)x m0 的根都为正数，求m 的取值范围 .【考点】二次函数的零点与方程【难度】 2 星【题型】解答【关键词】无【解析】 (1)当此方程为一次方程时

14、，即m1 时，方程的根为x10 ，满足题意44( m1)24m(m 1) 02( m1)，解得 0 m 1(2)当 m1 时，依题意有m10m0m1综上， m 的取值范围是 (0,1.【答案】 (0,1.【例 20】 若一元二次方程 kx23kx k30的两根都是负数，求k 的取值范围 .【考点】二次函数的零点与方程【难度】 2 星【题型】解答【关键词】无(3k)24k( k3)0【解析】 由题意， k0，3k0kk 30k解得 k12 或 k3.59【答案】 k12 或 k 35【例 21】 关于 x 的方程2(2 m8) x2160 的两个实根 x1 、 x2满足x13，xmx22则实数

15、m 的取值范围。【考点】二次函数的零点与方程【难度】 2 星【题型】填空【关键词】无【解析】 设 f ( x)x2(2 m8) xm216 ，则 f ( 3 )93(m 4) m216 0，216即： 4m212m 70 ，解得：1m7 1722【答案】 (,2)2【例 22】 已 知 关 于 x的方程 x2(2 m 8) xm216 0 的 两 个实 根 x 和 x2，满足1x231 ，求实数m的取值范围 .2x【考点】二次函数的零点与方程【难度】 2 星【题型】解答【关键词】无【解析】 本题根据根的判别式和韦达定理也可以求出，但比较麻烦，现在利用函数以及函数的图象来解，非常容易.令 f (

16、 x) x2(2 m 8) x m2162(2m2160 的两个实根满足 x23要使方程 x8) x mx12 f (x) 的开口向上，只需f ( 3 )0 即可2即： f ( 3 ) ( 3)2(2 m 8) 3m216 0222即 4m212m70 ，解得1m7 ，22即 m 的取值范围为1m7m |221 7【答案】( , )222【例 23】 已知二次方程( m2) x3mx10 的两个根分别属于(-1,0) 和 (0,2),求 m 的取值10范围 .【考点】二次函数的零点与方程【难度】 2星【题型】解答【关键词】无【解析】 设 f ( x) = (m2) x23mx1 ，则 f (x

17、) =0 的两个根分别属于 (-1,0) 和 (1,2).所以f ( 1)f (0)0 ，即( 2m1)10 ，1m7 f (2)f (0)0(10m7)10210【答案】172m10【例 24】 已知 mR，函数 fxm x2 1xa 恒有零点，求实数a 的取值范围。【考点】二次函数的零点与方程【难度】 3 星【题型】解答【关键词】无【解析】 (1)当 m0 时， f xx a 0 解得 xa 恒有解，此时 aR ；(2)当 m0 时， fx0 ，即 mx2xm a 0 恒有解，1120恒成立，4m 4 am2令 g m 4m 4am 1g m0 恒成立，2，解得 1a 1 ,综上所述知，当

18、 m0 时， aR ；当 m0时， 1a 1 .【答案】当 m0 时， aR ；当 m0时， 1a1【例 25】 若函数 f (x)1x13 在区间 a，b 上的最小值为 2a，最大值为 2b，求区间 a，222b.【考点】二次函数的零点与方程【难度】 3 星【题型】解答11【关键词】无【解析】fx 的最大值只能是f (0)13 ，或 f(a) ，或 f(b)， f(x)的最小值只能是 f a 或2fb 其中之一， 令 ymin2a ，且 ymax2b ，即可得关于a、b 的方程组， 解出 a、b 的值 .当 a 值由负值增大到正值时，区间 a，b在 x 轴上自左向右移动， 因此在求 fx的最

19、值时，须按区间a，b 的位置分类求解 .f x 图象顶点坐标为(0,13) ， f (a)1213， f (b )1213.2a22b22（ 1）当 ab0)，再在同一坐标系中分别也作出抛物线y = x2 +12 x +3 和直线 y =6 a ，如图，显然当3 6 a 163， 163a1 时，62直线 y = 6 a 与抛物线有且只有一个公共点 .【答案】163 a162题型三：函数的图像与方程【例 30】 方程 lg x x0 在下列的哪个区间内有实数解（） .A.10， 0.1B.0.1，1C. 1，10D.，0【考点】函数的图象与方程【难度】 1 星【题型】选择【关键词】无【解析】【

20、答案】 B【例 31】 lg x10有解的区域是（）xA (0,1B (1, 10C (10, 100D (100,)【考点】函数的图象与方程【难度】 1 星【题型】选择【关键词】无【解析】【答案】 B16|x 1 |m 的图象与 x 轴有交点，则实数m 的取值范围是（）【例 32】 若函数 f (x) 2A 0 m 1B 0 m 1C m 1或 m 0D m 1或 m 0【考点】函数的图象与方程【难度】 1 星【题型】选择【关键词】无【解析】 令 f ( x) 0 ，得： m( 1 )| x 1 | ， | x1| 0， 0( 1 )| x 1 |1，即 0m 1 22【答案】 A【例 33

21、】 函数 f ( x)2 x33x1 零点的个数为.【考点】函数的图象与方程【难度】 2 星【题型】选择【关键词】无【解析】【答案】 3【例 34】当 0x1时，函数 yax a 1 的值有正值也有负值，则实数a 的取值范围是（）A a1B a 1C a1 或 a 1D 1a 1222【考点】函数的图象与方程【难度】 2 星【题型】选择【关键词】无【解析】【答案】 D【例 35】 关于 x 的方程 lg( ax1)lg( x3)1 有解，则 a 的取值范围是。【考点】函数的图象与方程【难度】 2 星【题型】选择【关键词】无17ax110( x 3)a )x 29【解析】 显然有x3 ，原方程可化为 ax1(1003x3x0293110aa 10 10a03【答案】 1a103【例 36】 已知函数f ( x)32cx d 的图象如下，则（）axbxA b(, 0)B b(0,1)C b(1,2)D b(2,)【考点】函数的图象与方程【难度】 2 星【题型】选择【关键词】无【解析】 f ( x) ax( x1)(x2)ax33ax22ax ， b2a 当 x 2 时， f ( x)0 ，当 x0 时， f (