2021届高三数学复习：数列求通项公式及求和

1、本资料为共享资料 来自网络 如有相似概不负责专题补充：数列求通项公式和及求和一、 通项公式用于型已知条件 先写出数列前几项 观察数列变化规律猜测出通项后，用数学归纳法证明（“退一步”思想）即由已知推出相邻的递推式后将两式作差化简得出结论 构造等差等比数列等）公式法叠加法用于等差、等比数列相关公式递推方法猜想归纳法构造辅助数列叠乘法chengcheng 法观察法数列求通项的一般方法与的关系利用易漏n=1哟！用于型已知条件 二、数列求和 把一组需要求和的数列拆分成两组或两组以上的特殊数列来求和把通项公式是分子为非零常数，分母为非常数列的等差数列的两项积的形式拆成两个分式差的形式之后再求和倒序相加法

2、裂项相消法错位相减法分组求和法主要是针对等差等比数列，直接应用求和公式公 式 法数列求和的一般方法（五种）若某数列中，与首末两项等距离的两相和等于首末两项和，可采用把正着写的和倒着写的两个式子相加，就得到一个与常数数列求和相关的式子设数列的等比数列，数列是等差数列，求数列的前项和时，常常将的各项乘以的公比，并向后错一项与的同次项对应相减，即可转化为特殊数列求和补充：典型例题 一通项类型1：等差求通项思想：叠加求通项，用于型； 例1：（03全国19）已知数列|满足（I）求（II）证明：变式1：（08四川）设数列中，则通项 = 变式2：(08江西5)在数列中， ，则（ ） A B C D类型2：等

3、比求通项思想：叠乘求通项，用于型； 例2：在数列中，则变式1：设是首项为1的正项数列， 则它的通项公式是_变式2：在数列中，已知求通项；类型3： 已知求通项： 例3：（07福建21）数列的前项和为，（）求数列的通项；（）求数列的前项和变式1：(09全国 19）设数列的前n项和为，已知，（）设，证明数列是等比数列；（）求数列的通项公式； 变式2：(07重庆）已知各项均为正数的数列的前项和满足，（）求的通项公式；（）设数列满足，并记为的前项和，求证：变式3：若，则变式4:正项数列满足：是其前项之和，且，求；类型4：构造等比或等差数列（递归数列）类型一：用于型已知条件。转化方法：设，由km-m=b求

4、出m的值，则数列是以为公比的等比数列；通过求出间接求出通项.类型二：用于型已知条件。转化步骤：（1）等式两边同时除以：；（2）令，则；当时，是以1为公差的等差数列；当时，转化为类型一构造等比数列；类型三：用于型已知条件。转化步骤：设，由求出：，则是以为公比，为首项的等比数列；通过求出间接求出通项.例4：（06重庆）在数列中，若，则该数列的通项_变式1：（08四川21）已知数列的前n项和()求；()证明：数列是一个等比数列.()求的通项公式.变式2：(06福建22）已知数列满足,（I）证明：数列是等比数列；（II）求数列的通项公式；例5： （08全国19）在数列中，求数列的前项和变式1：（08四

5、川21）已知数列的前n项和()求；(2)求的通项公式.例6：（08全国19）在数列中，（）设证明：数列是等差数列；（）求数列的前项和变式1：（08天津20）已知数列中，且，（）设，证明是等比数列；（）求数列的通项公式；小结：先证明新数列为等差或等比再求通项问题，先从问题入手按证明等差或等比方法证明问题，再由等差或等比的通项公式间接解决问题。类型5：分式型递归数列解决办法；解决步骤：（1）两边颠倒分子分母,得到：；（2）令，则当时, 为等差数列；当时,转化为类型4中问题.例7：数列中，则变式1：.(08陕西22)已知数列的首项，（）求的通项公式；类型6：指数型递归数列（两边取对数）如：两边取对数

6、得到：，令，则，则转化为类型4；例，数列满足： ，求的通项；类型8：递推思想（升标或降标法）：据已知条件推出类似等量关系后两式再作差（用于知与或与相邻项之间的关系）；例7： (04全国卷)若数列满足,则的通项.变式1：数列满足,则?综合练习：1（05天津）在数列an中,a1=1,a2=2,且则=_2（07江西）已知数列对于任意，有，若，则_3（04全国19）数列an的前n项和记为Sn，已知a11，an1Sn（n1，2，3，）证明()数列是等比数列；()Sn14an4.(08四川20)设数列的前项为，已知（）证明：当时，是等比数列；（）求的通项公式5（09四川22）设数列的前项和为，对任意的正整

7、数，都有成立，记.（I）求数列的通项公式；6. (07福建）等差数列的前项和为（）求的通项与前项和；（）设，求证：数列中任不同的三项不可能成为等比数列；7.(07北京）数列中，（是常数，），且成公比不为的等比数列（I）求的值；（II）求的通项公式8.(07山东）设是公比大于1的等比数列，为数列的前项和已知，且构成等差数列（1）求数列的通项公式（2）令求数列的前项和9（06陕西) 已知正项数列an，其前n项和Sn满足10Sn=an2+5an+6且a1,a3,a15成等比数列，求数列an的通项an .二数列求和例1：求下列数列的前项和： 变式：数列为等差数列，（1）求通项公式；（2），求数列前项和

8、；小结求和方法： （1）公式法：用于等差与等比数列；（2）倒序相加法：若某数列中，与首末两项等距离的两相和等于首末两项和，可采用把正着写的和倒着写的两个式子相加，就得到一个与常数数列求和相关的式子（3）错位相减法：设数列的等比数列，数列是等差数列，则求数列的前项和时，常常将的各项乘以的公比，并向后错一项；（4）裂项相消法：把通项公式是分子为非零常数，分母为非常数列的等差数列的两项积的形式拆成两个分式差的形式之后再求和；， （5）分组求和法：把一组需要求和的数列拆分成两组或两组以上的特殊数列来求和练习：1(07福建)数列的前项和为，若，则 6等差数列前3项之和为12，后3项之和为132，所有各项

9、之和为240，则项数7求前n项和8函数求等差数列独有特点：1.若为等差数列,前项和分别为,若，则；2.判定等差数列何时取最大值：法1根据相应二次函数的对称性；法2判定何时开始为负；3判定等差数列何时开始或，由，即判定何时正负发生改变；补充:等差、等比数列中：利用对称性设出相邻几项：如等比相邻3项设为：，等比相邻4项设为：；等差相邻3项：数列清单：函数与数列比较一般函数：数列：自变量，对应法则项数，通项公式函数值（观察自变量与函数值变化关系）项，前项和（观察项的下标之间的关系）单调性判定：定义法、图象法、已有函数单调性、复合函数单调性（同增异减）单调性判定：（1）转化为相应函数的单调性；（2）作差或作商：比较或对任意数列成立的关系式：数列前项和,则见写出做差二等差与等比数列：五要素（， 知三求二）数列等差数列（一次函数型）等比数列（指数函数型）定义（判定方法）对任意，（常数）或，则称数列为等差数列；常数为公差；对任意，（常数）或则称数列为等比数列；常数为公比；等差中项成等差数列，则叫做的等差中项