九年级数学下册27.4正多边形和圆测试卷(含解析)(新版)华东师大版

1、27.4 正多边形和圆一选择题（共 10 小题）1正六边形的边心距是 ，则它的边长是（ ）A B2 C D2连接正八边形的三个顶点，得到如图所示的图形，下列说法错误的是（ ）AACF是等边三角形B连接 BF，则 BF分别平分 AFC和ABCC整个图形是轴对称图形，但不是中心对称图形D四边形 AFGH与四边形 CFED的面积相等3用一枚直径为 25mm的硬币完全覆盖一个正六边形， 则这个正六边形的最大边长是 （ ）A mm B mm C mm D mm4如图，用若干个全等的正五边形可以拼成一个环状，图中所示的是前 3 个正五边形的拼接情况，要完全拼成一个圆环还需要的正五边形个数是（ ）A5 B6

2、 C7 D85如图， AB是半径为 R的O内接正 n 边形的边长，则阴影部分的面积为（ ）A R 2sin B R2sinC R 2sin D R2sin6已知 O的半径为 r ，其内接正六边形，正四边形，正三角形的边长分别为 a，b，c，则a：b：c 的值为（ ）A1：2：3 B3：2：1 C1： ： D ： ： 17如图为我国国旗上的五角星（即点 A、B、C、D、E 为圆的五等分点） ，已知 AC=a，则此五角星的外接圆直径可表示为（ ）Aa?sin72 B C D8如图，正五边形 ABCDE内接于 O，点 M为 BC中点，点 N为 DE中点，则 MON的大小为（ ）A108 B144 C

3、150 D1669如图，正六边形 DEFGHI的顶点分别在等边 ABC各边上，则 =（ ）A B C D10如图，半径为 1cm的O中，AB为O内接正九边形的一边，点 C、D分别在优弧与劣2弧上 则下列结论： S 扇形 AOB= cm； ；ACB=20 ； ADB=140 错误的有（ ）A0 个 B1 个 C2 个 D3 个二填空题（共 4 小题）11如图，正六边形 ABCDEF的边长为 2，则对角线 AF= 212如图，正六边形 ABCDEF内接于 O，若 O的半径为 3，则阴影部分的面积为 （结果保留 ）13如图， 等边三角形 ABC内接于半径为 1 的O，以 BC为一边作 O的内接矩形

4、BCDE，则矩形 BCDE的面积为 14半径为 4 的正 n 边形边心距为 2 ，则此正 n 边形的边数为 三解答题（共 6 小题）15如图，以正六边形 ABCDEF的边 AB为边，在形内作正方形 ABMN，连接 MC求 BCM的大小16如图， O是正六边形 ABCDEF的中心，连接 BD、DF、FB，（1）设 BDF的面积为 S1，正六边形 ABCDEF的面积为 S2，则 S1 与 S2 的数量关系是 ；（2）ABF通过旋转可与 CBD重合，请指出旋转中心和最小旋转角的度数17如图，等腰直角 ABC和等边 AEF都是半径为 R的圆的内接三角形（1）求 AF的长；（2）通过对 ABC和AEF的

5、观察，请你先猜想谁的面积大，再证明你的猜想18（1）如图 1，已知 PAC是圆 O的内接正三角形，那么 OAC ；（2）如图 2，设 AB是圆 O的直径， AC是圆的任意一条弦， OAC如果 45 ，那么 AC能否成为圆内接正多边形的一条边？若有可能，那么此多边形是几边形？请说明理由若 AC是圆的内接正 n 边形的一边，则用含 n 的代数式表示 应为 19如图，在 O的内接四边形 ABCD中，AB=AD，C=120 ，点 E 在 上（1）求 AED的度数；（2）若 O的半径为 2，则 的长为多少？（3）连接 O D，O E，当DOE=90 时， AE恰好是 O的内接正 n 边形的一边，求 n

6、的值20在直角坐标系中，正方形 OABC的两边 O C、OA分别在 x 轴、y 轴上， A 点的坐标为（ 0、4）4（1）将正方形 OABC绕点 O顺时针旋转 30 ，得到正方形 ODEF，边 DE交 BC于 G求 G点的坐标；（2）如图， O1 与正方形 ABCO四边都相切，直线 MQ切O1 于点 P，分别交 y 轴、x 轴、线段 BC于点 M、N、Q求证： O1N平分 M O1Q（3）若 H（4、4），T 为 CA延长线上一动点， 过 T、H、A 三点作 O2，ASAC交 O2 于 F当T 运动时（不包括 A点），ATAS是否为定值？若是，求其值；若不是，说明理由参考答案与试题解析一选择题

7、（共 10 小题）1（2016?东丽区二模）正六边形的边心距是 ，则它的边长是（ ）A B2 C D【分析】 运用正六边形的性质，正六边形边长等于外接圆的半径，再利用勾股定理解决【解答】 解：正六边形的边心距为 ，OB= ，AB= O A，OA2=AB2+OB2，OA 2=（ O A）2=（ O A）2+（ ）2 ，解得： OA=2故选 B【点评】本题考查了正六边形和圆， 掌握外接圆的半径等于正六边形的边长是解此题的关键2（2016?石家庄二模）连接正八边形的三个顶点，得到如图所示的图形，下列说法错误的是（ ）AACF是等边三角形B连接 BF，则 BF分别平分 AFC和ABCC整个图形是轴对称

8、图形，但不是中心对称图形D四边形 AFGH与四边形 CFED的面积相等【分析】 由正八边形的性质得出 A 不正确， B、C、D正确，即可得出结论【解答】 解：八边形 ABCDEFG是H 正八边形，AB=CB=AH=GH=GF=EF=DE，=CADF=CF，AFC=90 45 =45 ，FAC=FCA=（180 45 ）=67.5 ，ACF不是等边三角形，选项 A 错误；正八边形是轴对称图形，直线 BF是对称轴，连接 BF，则 BF分别平分 AFC和ABC，选项 B、C正确；四边形 AFGH与四边形 CFED的面积相等，6选项 D正确；故选： A【点评】 本题考查了正八边形的性质、 等腰三角形的

9、性质； 熟记正八边形的性质是解决问题的关键3（2016?贵阳模拟） 用一枚直径为 25mm的硬币完全覆盖一个正六边形， 则这个正六边形的最大边长是（ ）A mm B mm C mm D mm【分析】 根据题意得出圆内接半径 r 为 mm，求出 OB，得出 BD=OB?sin30 ，则 BC=2BD，即可得出结果【解答】 解：根据题意得：圆内接半径 r 为 mm，如图所示：则 OB= ，BD=OB?sin30 = = （mm），则 BC=2 = （cm），完全覆盖住的正六边形的边长最大为 mm故选： A【点评】 本题考查了正多边形和圆、 正六边形的性质、 三角函数、 等腰三角形的性质等知识；运用

10、三角函数求出圆内接正六边形的边长是解决问题的关键4（2016?高邮市三模）如图，用若干个全等的正五边形可以拼成一个环状，图中所示的是前 3 个正五边形的拼接情况，要完全拼成一个圆环还需要的正五边形个数是（ ）A5 B6 C7 D8【分析】 首先求得正五边形的每一个内角的度数， 即可求得其对的圆心角度数， 继而求得答案【解答】 解：如图，圆心角为 1，五边形的内角和为： （52） 180 =3 180 =540 ，五边形的每一个内角为： 540 5=108 ，1=108 2180 =216 180 =36 ，360 36 =10，360 36 =10，他要完成这一圆环共需 10 个全等的五边形要

11、完全拼成一个圆环还需要的正五边形个数是： 103=7故选 C【点评】 此题考查了正多边形与圆的知识注意求得圆心角的度数是关键5（2016?阜阳校级一模）如图， AB是半径为 R的O内接正 n 边形的边长，则阴影部分的面积为（ ）A R 2sin B R2sinC R 2sin D R2sin【分析】 首先连接 O A，O B，过点 O作 O CAB于点 C，由 AB是半径为 R的O内接正 n 边形的边长，利用三角形函数的性质，可求得 OAB的面积，继而求得扇形 OAB的面积，即可求得答案【解答】 解：连接 O A，O B，过点 O作 O CAB于点 C，则AOB= ，AOC= AOB= ，OC

12、=OA?cos AOC=R?cos ，AC=OC?sinAOC=R?sin ，AB=2AC=2Rsin ，SOAB= AB?OC= R?cos 2Rsin = R 2 sin ，S扇形 OAB= ，S阴影 = R 2sin 2sin 8故选 A【点评】 此题考查了正多边形与圆的知识以及三角函数等知识 注意准确作出辅助线是解此题的关键6（2016?兰州模拟）已知 O的半径为 r ，其内接正六边形，正四边形，正三角形的边长分别为 a，b，c，则 a：b：c 的值为（ ）A1：2：3 B3：2：1 C1： ： D ： ： 1【分析】 根据题意画出图形，再由正多边形的性质及直角三角形的性质求解即可【解

13、答】 解：如图 1 所示，在正三角形 ABC中，连接 O B，过 O作 O DBC于 D，则OBC=30 ，BD=OB?cos30 = r ，故 a=BC=2BD= r；如图 2 所示，在正方形 ABCD中，连接 O B、O C，过 O作 O EBC于 E，则OBE是等腰直角三角形，2BE 2=OB2，即 BE= r ，故 b=BC= r ；如图 3 所示，在正六边形 ABCDEF中，连接 O A、O B，过 O作 OGAB，则 OAB是等边三角形，故 AG=OA?cos60 = r ，c=AB=2AG=r，圆内接正三角形、正方形、正六边形的边长之比 r ： r ：r= ： ：1故选： C【点

14、评】 本题考查的是圆内接正三角形、 正方形及正六边形的性质；根据题意画出图形，作出辅助线构造出直角三角形是解答此题的关键7（2016?萧山区二模） 如图为我国国旗上的五角星 （即点 A、B、C、D、E 为圆的五等分点） ，已知 AC=a，则此五角星的外接圆直径可表示为（ ）Aa?sin72 B C D【分析】 连 AO，并延长交圆 O于点 F，连接 CF根据直径所对的圆周角是直角，得到直角三角形 ACF根据锐角三角函数进行求解【解答】 解：连 AO，并延长交圆 O于点 F，连接 CF，则ACF=90 ；A，B，C，D，E 是圆 O的五等分点CAD=DBE=ACE=ADB=BEC，又CAD+DB

15、E+ACE+ADB+BEC=180 ，CAD= 180 =36 ，CAF= CAD=18 ，在 RtACF中，AC=a，AF= ；故选： C10【点评】 本题考查了了圆周角定理的推论和正五边形的性质 熟练运用锐角三角函数进行求解是解决问题的关键8（2016?江东区一模） 如图， 正五边形 ABCDE内接于 O，点 M为 BC中点， 点 N为 DE中点，则MON的大小为（ ）A108 B144 C150 D166【分析】 由垂径定理得出 OMC= OND=90 ，由正五边形的性质得出 C=D=108 ，由五边形内角和即可求出结果【解答】 解：点 M为 BC中点，点 N为 DE中点，OMBC，O

16、ND E，OMC= OND=90 ，五边形 ABCDE是正五边形，C=D =（52） 180 5=108 ，MON（= 52） 180 2 90 2 108 =144 ；故选： B【点评】 本题考查了正五边形的性质、垂径定理； 熟练掌握正五边形的性质，由垂径定理得出OMC= OND=90 是解决问题的关键9（2016?乐亭县一模）如图，正六边形 DEFGHI的顶点分别在等边 ABC各边上，则=（ ）A B C D【分析】 根据正六边形的每一个内角是 120 得到 ADI 是等边三角形，得到 = ，根据相似三角形的性质得到 SADI= S ABC，计算即可【解答】 解：六边形 DEFGHI是正六

17、边形，EDI=120 ，ADI=60 ，ADI 是等边三角形，AD=DE，同理， BE=DE，AD=DE=E，B = ，SADI= SABC，同理 SBEF= SABC，SCGH= SABC， = ，故选： C【点评】 本题考查的是正多边形和圆， 掌握正多边形的概念和性质以及相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键10（2016?海曙区一模）如图，半径为 1cm的O中，AB为O内接正九边形的一边，点 C、D分别在优弧与劣弧上则下列结论：S扇形 AOB= cm 2； ；ACB=20 ；2； ；ACB=20 ；ADB=140 错误的有（ ）A0 个 B1 个 C2 个 D3 个【分析】 由正

18、九边形的性质求出中心角的度数， 再由扇形面积公式和弧长公式、 圆周角定理以及圆内接四边形的性质即可得出正确，错误，即可得出结果【解答】 解： AB为O内接正九边形的一边，AOB= =40 ，S2扇形 AOB= = （cm）， 的长= = （cm）；ACB= AOB=20 ；正确； ADB=180 20 =160 ；错误；错误的有 1 个，故选： B【点评】 本题考查了正九边形的性质、 扇形面积公式和弧长公式、 圆周角定理以及圆内接四边形的性质；求出正九边形的性质是解决问题的关键二填空题（共 4 小题）11（2016?姜堰区校级模拟）如图，正六边形 ABCDEF的边长为 2，则对角线 AF= 2

19、 12【分析】 作 BGAF，垂足为 G构造等腰三角形 ABF，在直角三角形 ABG中，求出 AG的长，即可得出 AF【解答】 解：作 BGAF，垂足为 G如图所示：AB=BF=2，AG=FG，ABF=120 ，BAF=30 ，AG=AB?cos30 =2 = ，AC=2AG=2 ；故答案为 2 【点评】 本题考查了正多边形和圆、正六边形的性质、等腰三角形的性质、三角函数；熟练掌握正六边形的性质，由三角函数求出 AG是解决问题的关键12（2016?长春模拟）如图，正六边形 ABCDEF内接于 O，若 O的半径为 3，则阴影部分的面积为 3 （结果保留 ）【分析】 首先连接 O C，O E，分别

20、交 BD，DF于点 M，N，易证得 SOBM=SDCM，同理： SOFN=SDEN，则可得 S 阴影=S扇形 OCE【解答】 解：连接 O C，O E，分别交 BD，DF于点 M，N，正六边形 ABCDEF内接于 O，BOC=60 ， BCD=COE=120 ，OB=OC，OBC是等边三角形，OBC=OCB=60 ，OCD=OCB，BC=CD，CBD=CDM=30 ， BM=D，MOBM=30 ， SDCM=SBCM，OBM= CBD，OM=C，MSOBM=SBCM，SOBM=SDCM，同理： SOFN=SDEN，S 阴影 =S扇形 OCE= =3故答案为： 3【点评】 此题考查了正多边形与圆

21、的知识以及扇形的面积公式注意证得 S 阴影=S扇形 OCE是关键13（2016?江西模拟）如图，等边三角形 ABC内接于半径为 1 的O，以 BC为一边作 O的内接矩形 BCDE，则矩形 BCDE的面积为 【分析】 连接 BD，由等边三角形的性质和圆周角定理得出 BDC=BAC=60 ，由矩形的性质和圆周角定理证出 BD是O的直径，得出 BD=2，CD= BD=1，由勾股定理得出 = ，即可求出矩形 BCDE的面积【解答】 解：连接 BD，如图所示：ABC是等边三角形，BAC=60 ，BDC=BAC=60 ，四边形 BCDE是矩形，BCD=90 ，BD是O的直径， CBD=90 60 =30

22、，14BD=2，CD= BD=1，BC= = ，矩形 BCDE的面积=BC?CD= 1= ；故答案为： 【点评】 本题考查了正多边形和圆、等边三角形的性质、含 30 角的直角三角形的性质、勾股定理、圆周角定理等知识；熟练掌握等边三角形的性质，由圆周角定理证出 BD是直径是解决问题的关键14（2016?南江县校级模拟）半径为 4 的正 n 边形边心距为 2 ，则此正 n 边形的边数为6 【分析】 由三角函数求出 DAO=60 ，得出 AOD=30 ， 求出中心角 AOB=60 ，即可得出答案【解答】 解：如图所示 AB为正 n 边形的边长， OA为半径， OD为边心距，半径为 4 的正 n 边形

23、边心距为 2 ，sin DAO= = = ，DAO=60 ，AOD=30 ，AOB=60 ，n= =6故答案为： 6【点评】 此题主要考查了正多边形和圆的有关计算， 根据已知得出中心角 AOB=60 是解题关键三解答题（共 6 小题）15（2012?长春模拟）如图，以正六边形 ABCDEF的边 AB为边，在形内作正方形 ABMN，连接 MC求 BCM的大小【分析】 BCM是等腰三角形，只要求出顶角 CBM就可以，这个角是正六边形与正方形内角的差【解答】 解：六边形 ABCDEF为正六边形，ABC=120 ， AB=BC四边形 ABMN为正方形，ABM=90 ， AB=BM（2 分）MBC=12

24、0 90 =30 ， BM=BCBCM=BMCBCM= （180 30 ）=75 （5 分）【点评】 本题就是一个求正多边形的内角的问题，注意到 BCM是等腰三角形是解决本题的关键16（2012?安徽模拟）如图， O是正六边形 ABCDEF的中心，连接 BD、DF、FB，（1）设BDF的面积为 S1，正六边形 ABCDEF的面积为 S2，则 S1 与 S2 的数量关系是 S2=2S1 ；（2）ABF通过旋转可与 CBD重合，请指出旋转中心和最小旋转角的度数【分析】（1）先连接 O D、OF、OB，根据正六边形、正三角形的性质可知 ABF、BDC、DEF、DOF、BOF、BOD都是全等的，易求

25、S2 =2S1；（2）由于正 n 边形关于对称中心 O旋转 与自身重合，易求旋转角度【解答】 解：（1）S2=2S1，如右图所示，连接 O D、OF、OB，六边形 ABCDEF是正六边形，BDF是正三角形，ABF、BDC、DEF、DOF、 BOF、 BOD都是全等的，S2=2S1；（2）旋转中心是 O，最小旋转角是 120 ，16由于正 n 边形关于对称中心 O旋转 与自身重合， 而通过观察可知 ABF必须逆时针旋转才可以与 CBD重合，故旋转的角度 = =120 【点评】 本题考查了正多边形的定义、 性质和旋转的性质 正三边形的中心与顶点的连线构成的 3 个三角形全等，正 n 边形关于对称中

26、心 O旋转 与自身重合17（2012?安徽模拟） 如图， 等腰直角 ABC和等边 AEF都是半径为 R的圆的内接三角形（1）求 AF的长；（2）通过对 ABC和AEF的观察，请你先猜想谁的面积大，再证明你的猜想【分析】（1）连接 O F，过 O作 OGAF于 G，在直角 OGF中，利用三角函数即可求解；（2）根据外接圆的半径是 R，即可求得等腰直角 ABC和等边 AEF的面积， 即可作出比较【解答】 解：（1）连接 OF，过 O作 OGAF 于 G，OF=R，又 AEF为等边三角形，AOF=120 ，GOF=60 ，GF= R，则 AF= R（2）SABCSAEF，直角 ABC是等腰直角三角形

27、AB=2R，AC= R，2SABC=R， ，SABCSAEF【点评】 本题主要考查了正多边形与圆的计算， 正确理解等腰直角三角形的斜边就是外接圆的直径，正多边形的计算可以转化为直角三角形的计算18（2011?婺城区模拟）（1）如图 1，已知 PAC是圆 O的内接正三角形， 那么 OAC 30 ；（2）如图 2，设 AB是圆 O的直径， AC是圆的任意一条弦， OAC如果 45 ，那么 AC能否成为圆内接正多边形的一条边？若有可能，那么此多边形是几边形？请说明理由若 AC是圆的内接正 n 边形的一边，则用含 n 的代数式表示 应为 90 【分析】（1）先根据圆周角定理求出 AOC的度数，再根据三

28、角形内角和定理及等腰三角形的性质即可解答；（2）假设 AC是圆内接多边形的一条边，则此多边形的内角为 45 2=90 ，故此多边形是正方形；根据正多边形内角和定理即可求出答案【解答】 解：（1） PAC是圆 O的内接正三角形，AOC=2 APC=2 60 =120 ，OA=OC，OAC= = =30 ；（2）能=45 ，圆内接正多边形的一个内角为 90 ，是正方形AC是圆的内接正 n 边形的一边，2= ，=90 【点评】 本题考查的是正多边形和圆，涉及到的知识点为：圆周角定理、正多边形的性质及内角和定理，难度适中1819（2015 秋?连云港期中）如图，在 O的内接四边形 ABCD中，AB=A

29、D，C=120 ，点 E在 上（1）求 AED的度数；（2）若 O的半径为 2，则 的长为多少？（3）连接 O D，O E，当DOE=90 时， AE恰好是 O的内接正 n 边形的一边，求 n 的值【分析】（1）连接 BD，根据圆的内接四边形的性质得出 BAD的度数，由 AB=AD，可证得ABD是等边三角形， 求得ABD=60 ， 再利用圆的内接四边形的性质， 即可求得 E 的度数；（2）连接 O A，由圆周角定理求出 AOD的度数，由弧长公式即可得出 的长；（3）首先连接 O A，由ABD=60 ，利用圆周角定理，即可求得 AOD的度数，继而求得AOE的度数，即可得出结果【解答】 解：（1）连接 BD，如图 1 所示：四边形 ABCD是O的内接四边形，BAD+C=180 ，C=120 ，BAD=60 ，AB=AD，ABD是等边三角形，ABD=60 ，四边形 ABDE是O的内接四边形， AED+ABD=180 ，AED=120 ；（2） AOD=2ABD=120 ， 的长= = ；（3）连接 O A，如图 2 所示：ABD=60 ，AOD=2 ABD=120 ，DOE=90 ，AOE=AODDOE=30 ，n= =12【点评】 此题考查了圆的内接四边形的性质、 圆周角定理以及等边三