数学建模范文

1、2007高教社杯全国大学生数学建模竞赛承 诺 书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： A 我们的参赛报名号为（如果赛区设置

2、报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）： 西南交通大学 参赛队员 (打印并签名) ：1. 陈会翠 2. 周远来 3. 乔文 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 王璐 日期： 2007 年 9 月 24 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2007高教社杯全国大学生数学建模竞赛编 号 专 用 页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：中国人口增长预测摘要本文结合回归分析、灰色预测及差分理论等模型，预测分析了中国中短期与长期的人口变

3、动。人口增长的主要制约因素是出生率、死亡率以及人口转移。文章首先对原始数据进行预处理，分别利用“插值法”和“散点法”对错误或缺失数据进行处理。由于中短期预测要求预测值可靠度高；而长期预测则着重分析模型中人口变化的内在机理，主要预测较长时间内的人口变化方向，因此要对人口预测分时间长短建模。对于中短期预测而言，本文结合中国人口发展的特点，通过老龄化、出生人口性别比、城市化及生育率等指标构造了中短期人口多元线性回归预测模型。在具体预测中采用两阶段方法，第一阶段利用实际数据估计出回归方程的参数，然后下一阶段利用灰色模型估计出出生人口性别比、老龄化等指标的预测值。主要结果是：老龄化指标、出生人口性别比、

4、城镇化指标和生育率指标逐年递增；全国人口增长速度在2006年2014年增长缓慢由0.475%增至0.48%，中短期全国总人口将于2010年和2020年分别达到万人和万人。在长期预测中，将人口变动模型分解为单区域和多区域的情形。在单区域中，由于只用考虑出生率和死亡率，故将二者简化为人口净增长率，建立了动态差分方程。而多区域中，在分别建立了城镇、乡村两个系统的差分方程后，加入人口转移率来刻画两系统间的动态演变过程，最终形成人口综合动态发展系统。主要结果是：单区域模型中，全国人口于2035年达到波峰万人；多区域模型中，全国人口增至 2035年达到峰值万人后缓慢下降，同时城镇人口将超过农村人口。本文考

5、虑到中国人口增长特点，将人口预测模型分为中短期预测和长期预测，并在数据量少的情况下采用灰色预测方法，在一定程度上减小了误差影响。在长期预测中考虑到人口的转移率，将长期模型分为了单区域和多区域情形，并将二者对比，使得长期预测结果更具合理性。最后，中短期和长期预测结果较好，对我国人口预测具有一定参考作用。 关键词：多元线性回归 灰色预测 差分方程 函数拟合问题重述中国是一个人口大国，人口问题始终制约我国经济的发展关键因素之一，因此人口增长的分析和预测是一个重要问题。近年来中国人口发展出现了新的特点，例如，老龄化进程加快、出生人口性别比持续升高，以及乡村人口城镇化等，这些都影响中国人口的增长。附录一

6、中的国家人口发展战略研究报告对此做了进一步的分析。关于中国人口问题已有多方面的研究和大量的数据资料，附录二给出了从中国人口统计年鉴上收集的部分数据。问题要求结合中国的实际情况和人口增长的上述特点，参考附录二的相关数据（也可以搜索相关文献补充新的数据），建立中国人口增长的数学模型，并由此对中国人口增长的中短期和长期趋势做出预测；并指出模型的优缺点和不足。基本假设1、将社会人口作为一个整体系统考虑，即不单独考虑具体的某一个社会成员的状态变化。2、在研究的预测样本期间内没有发生突发时件，如大规模人口迁移、自然灾难等。3、每个人之间的出生和死亡是相对独立的，即群体总数不会影响个人的生死状态。4、人口的

7、增长过程是平稳连续的，没有突变情况出现。5、性别比、老龄化及城镇化等这些因素的影响是相互独立的。6、国家有关生育政策不会发生过大变动从而影响生育率。7、认为在稳定低生育水平和未来社会经济发展的条件下,生育率不会出现大的波动。8、国际净转移率为0，即全国的人口没有迁入迁出。符号说明1、表示年的人口总数2、表示年的老龄化指数3、表示年的新出生人口性别比4、表示年的乡村城镇化程度5、表示年的人口增长的速度6、表示年的育龄妇女的平均生育率7、第年的人口出生率；8、第年的人口死亡率问题分析1、 对人口增长模型的基本理解。人口是社会经济活动的主体，由于人口的发展变动趋势对社会经济发展的具有重要的影响，因此

8、人口预测在社会实践中占有十分重要的地位。由于人口预测模型主要是用来刻画和反映某一国或某一地区人口随时间的波动变化趋势，它能够对人类自身发展繁衍的数量变化趋势作出预测，因此建立的模型要符合人类发展的自然特征。通过查阅相关文献资料，未来的人口变化是由生育、死亡和人口迁移三大基本要素所决定的，那么，人口预测模型的研制与设计的关键在于以这三大因素作为评价指标来构建数学模型。例如考虑A、B两地的人口变动情况，它们受生育、死亡和迁移因素影响会产生如下交互变化：出生出生人口迁移BA死亡死亡（图1 A、B两地的人口变动情况）正是考虑到上述因素对人口变化的影响，并通过对题目进行初步的描述性统计分析，我们可以得到

9、诸如老龄化进程加速、出生人口性别比持续升高，以及乡村人口城镇化等初步信息。在充分理解题意后，我们首先定义了人口老龄化、出生人口性别比、生育率和人口城镇化等指标的含义来解释和刻画中国人口的变动情况，然后分别针对中短期和长期这两种不同特征，建立了初步的人口预测模型。多元回归分析能够通过研究人口数量的变化规律，预测人口的变化趋势，将中国人口增长的特点添加到模型中考虑。对于中短期预测我们构造多元线性回归方程，通过统计数据得到各指标的值。灰色系统预测适应于多个因素组成系统发展变化的预测。长期预测模型采用曲线拟合法，适合于对历史数据的规律进行研究，选择最能描述观察数据的规律的曲线作为预测模型。能够最好的反

10、应资料的变化趋势，预测准确性高，故采用灰色预测得到指标的预测值。利用各个指标的预测值拟合人口增长率的函数即可得到增长率与各指标的函数关系。用该函数关系构造的曲线就可以进行短期的预测。对于长期预测，考虑到人口的转移，将人口变动模型分解为单区域和多区域的情形。对于单区域模型以国家为单位，此时不考虑区域间的迁入迁出，只考虑人口的出生与死亡之差；对于多区域模型，加入区域间的转移。两种模型均采用差分迭代的方法，逐步得到预测值。2、对抽样调查的理解 附件3的数据是来自中国人口抽样调查。抽样调查是根据部分实际调查结果来推断总体标志总量的一种统计调查方法。根据国家统计局对相关概念的严格定义，它是一种在全国范围

11、内分层、多阶段、整群概率比例的抽样方法。因此，按照抽样调查理论，我们认为这种抽样方式能充分反应中国人口结构和比例的变动趋势。抽样中所选取的男、女和城、乡和镇等人口比例和全国大体人口分布相同。3、中短期预测和长期预测的理解 预测按时间长短可以分为中短期和长期预测，对于中短期预测某些后作用因素对人口的影响不用考虑，而在长期预测中必须要考虑到。模型的建立与求解1、 模型数据的预处理由于首先要采用附件中的数据进行基本统计分析，但原始数据中存在数据缺失和错误的现象（附件也对这一现象作了明确说明）。因此，我们对原始数据进行如下的预处理：首先对于附件二中缺失和明显错误数据（如附件二中2003年各数据值）进行

12、调整和处理，对于缺失数据，采用插值法进行补齐：缺失数据；错误数据，对原始数据进行描述性统计，并通过散点图找出原始数据中的奇异点（outlier），并将其剔除。2、 中国人口发展趋势的基本分析由于要建立人口的发展预测模型，而影响人口数量的因素很多，例如出生率、死亡率等，所以首先利用初始数据进行基本描述分析。（1） 老龄化的基本分析定义：（老龄化指数）第t年年龄大于等于65岁的人数与年龄小于等于14岁的人数的比值：当较大时表明老年人的比例显著，社会人口增长必然缓慢、或零增长或减少；当其值较小时说明少年的比例显著，人口处于迅速增长阶段。所以将老龄化指数定义为老少比能真实的描述人口的增长类型。图2中老

13、龄化在年以前基本不变，年逐年递增，年增长速度突然加快。（2） 出生性别比的基本分析定义出生人口性别比为新出生人口中男性的人数与女性的人数的比值。图2（各年份的老龄化指数）图3（市、镇、乡男女出生比例）其比值越大，表明男女比例失衡现象加紧，我国人口性别结构趋于不合理。 （3）人口城镇化的基本分析 定义：乡村城镇化程度为该类人口中城镇人口与总人口的比值。其中，表示年龄为的城镇人口在时刻的人口总数，表示年龄为的所有人口在时刻的总数。图6（年城镇化指数）图6中可见城镇化指数逐年递增。从图5看出，城镇妇女的生育率远小于农村妇女，乡村城镇化程度越大，短时间内对人口的增长不很明显。但是长远看来，由于农村必将

14、适应城镇，生育率会降低，从而使人口增长速度降低。（4）妇女生育率的基本分析定义：妇女生育率为时刻单位时间内平均每个育龄妇女的生育率。其中表示年龄为的育龄妇女在时刻的人数，表示年龄为的育龄妇女在时刻的生育率。图4（年育龄妇女的平均生育率）从图4中可以看出，1999年以前育龄妇女生育率较高，且波动较大。2000年呈现略微下降趋势，02、03、04年趋于稳定，到05年又略微下降。生育率趋向于平稳下降将使人口增长的速度逐渐降低。图5（各年龄城、镇、乡育龄妇女的生育率）从图5分析可知，乡村育龄妇女的生育率远高于城镇，且乡村育龄妇女的生育高峰的年龄超前于城镇妇女，妇女的生育高峰期约在岁。由图可见农村人口城

15、镇化可推迟其婚育的时间，降低生育率。从而降低人口增长的速度。（5）人口死亡率的基本分析定义：人口死亡率为第年死亡人数与总人数的比值：其中表示年龄为的人在时刻的人数，表示年龄为的人在第年的死亡率。图6（1995-2005年的死亡率变化） 综上所述，对人口统计数据的基本分析可以得到如下结论：老龄化指数的增长，男女性别比例的增大，妇女生育率 的降低，城镇化指数的加大，都将限制人口的增长，使人口增长逐渐变缓。但由于这四个因素的变化均存在实际的极限值，不会无限制的增大或减小，如据专家预测男女的比例最大值不会超过。故人口数目不会走向峰值后大规模的减少，而会趋向于稳定值。3、 中短期预测模型（1）问题基本分

16、析 根据题目给出的中国人口增长的特点：老龄化、乡村人口城市化、出生人口性别比例等因素。而在人口模型中限制人口增长的主要因素是出生率、死亡率和迁移率。（2）变量的选择首先对生育率和出生率、死亡率和老龄化做简单相关性分析，其相关性如下：出生率生育率出生率 Pearson Correlation Sig.(2-tailed) N1110.8200.00211生育率 Pearson Correlation Sig.(2-tailed) N0.8200.00211111表1出生率与生育率相关性死亡率老龄化死亡率 Pearson Correlation Sig.(2-tailed) N111-0.3410

17、.30411老龄化 Pearson Correlation Sig.(2-tailed) N-0.7560.30411111表2死亡率与老龄化相关性从表1可以看出出生率和育龄妇女的生育率成较强的正线性相关，即出生率随育龄妇女的生育率的增加而增加。表2中死亡率和老龄化指数成较强的负线性相关，即死亡率随老龄化指数的增加而降低。而主要影响因素的转移率即为乡村人口城市化指数，即二者相关。根据我们的分析，可以利用老龄化指数、出生人口性别比、乡村人口城市化、以及育龄妇女的生育率来预测人口的变化。 所以我们模型中变量为老龄化指数、出生人口性别比、乡村人口城镇化指数、育龄妇女的生育率。由于建立的是线性回归模型

18、，所以回归方程中含有随机变量。 （3）基本关系初探 我们采用理论分析法初探这些变量和人口总数的基本关系：1、 当出生人口性别比增大时，将引起性别比例失衡。未来的育龄妇女的人数减少，将使人口增长速率减缓。2、 当乡村人口城市化指数增大时，农村人口将涌入城市，迁移人口的育龄妇女的生育率会下降，这将降低人口的增长速度。3、 当老龄化指数增大的前提是出生率和死亡率的同时降低，老龄化对人口增长的具体影响我们无法判断。4、 当育龄妇女的生育率提高时，新出生人口增加，在基数不变的情况下，人口增长速度提高。综上所述：出生人口性别比例增大和乡村人口城市化会阻碍人口的增长；育龄妇女的生育率提高会促进人口的增长；老

19、龄化对人口的影响比较复杂，我们理论分析无法实现，应该放到具体问题中去判断。（2）模型的建立1、定义：（老龄化指数）时刻时年龄大于等于65岁的人数与年龄小于等于14岁的人数的比值：2、定义：出生人口性别比为新出生人口中男性的人数与女性的人数的比值。3、定义：妇女生育率为时刻单位时间内平均每个育龄妇女的生育率。4、定义：乡村城镇化程度为该类人口中城镇人口与总人口的比值。由以上各定义，以及出生率、死亡率、迁移率和生育率、老龄化、城市化的相关性分析。人数增长速度由出生人口性别比例，乡村人口城市化，育龄妇女的生育率和人口老龄化的因素影响。我们综合以上各指标建立多元线性回归模型：（多元线性回归模型拟合过程

20、带有某种不确定性，加上一随机变量补充模型的随机波动）从而得出第t年人口增长率，通过方程：最终求出未来几年全国人口预测值。 （3）模型求解：根据所给数据和中国统计年鉴 2006，整理出模型中要求的老龄化指数、出生人口性别比、妇女生育率、人口城镇化四项指标1995年2005年的相关数据，利用spss1作人口增长率与四项指标的多元线性回归，得出：其中判定系数。老龄化指数为0.01、出生人口性别比为-0.001、人口城镇化率为-0.052、妇女生育率为0.021。指标系数为正，表示人口增长率与其呈正相关；指标系数为负，表示人口增长率与其呈负相关。将各系数进行对比，得到：人口城镇化率对人口增长率的影响最

21、大，出生人口性别比对人口增长率的影响最小。运用灰色预测方法预测四项指标未来几年变化情况，根据模型方程最终得出我国人口的中短期走势，具体步骤如下： STEP1：将与四项指标有关的数据分为两组：1995年2005年11维数据和2001年2005年的5维数据；STEP2：分别用5维数据和11维数据对四项指标作灰色预测2，并作精度检验，选出精度高的维数所预测的数据衡量该指标中短期变化情况；STEP3：将各指标中短期预测情况带入模型方程中，求解出人口增长速度的中短期（2006年2020年）变化情况；STEP4：根据预测的未来几年人口增长速度利用迭代方法求出我国中短期人口变化趋势。按照上面的方法，利用VC

22、编程（程序见附录）得出如下中短期我国人口相关指标：1、 老龄化趋势：表3（短期内老龄化的趋势）年数20062007200820092010201120122013指数0.6130.6880.7720.8660.9721.0911.2241.374年数2014201520162017201820192020指数1.5421.731.9422.1792.4452.7443.079老龄化是由于社会的出生率和死亡率降低，人口整体寿命延长综合作用的效果，情况较为复杂。从上图的老龄化短期内的预测值得到，老龄化指数逐年上升。这就要政府采取一定的措施，适当的改进就业政策，保障离退休制度和医疗制度。2、 人口城

23、镇化趋势：表4（人口城镇化趋势）年数20062007200820092010201120122013指数0.4590.4780.4970.5180.5390.5610.5840.608年数2014201520162017201820192020指数0.6330.6590.6860.7150.7440.7750.806 城市化水平是经济社会发达程度的标志，城市化的步伐也使城市人口膨胀。城市化也给各国带来了环境问题、城市的贫富差距问题。从表4的预测数据可以看出，人口城镇化趋势仍然在持续不断的上升。3、全国人口增长速度变化趋势（单位：%）： 表5（全国的人口增长速度变化趋势）年数2006200720

24、0820092010201120122013增长率0.4750.4480.4310.4130.4080.410.410.444年数2014201520162017201820192020增长率0.480.530.60.6840.7960.9321.104（图7 中短期全国增长速度预测 ） 从预测效果来看（见表5和图8），人口增长速度在2005年到2012年逐渐减慢，2012年后出现增长速度加快的趋势。利用预测出的人口增长速度根据模型中的方程运用迭代方法得出我国人口中短期走势（单位：万人）：表6（我国人口的短期走势）年数20062007200820092010201120122013人口年数20

25、14201520162017201820192020人口（图8 中短期2006年2020年全国人口预测） 从预测结果表6和图9可以看出，我国的人口在2006-2020年的呈现持续上升。在无特殊事故发生的情况下，增长曲线较为光滑，在2020年达到14.24亿。（4）模型结论人口增长率与各影响因素的回归函数是人口老龄化指数的趋势逐年递增到2020年已达到3.079.农村人口城镇化的趋势也是逐年递增，到2020年达到0.806.由逐步迭代得到人口在2020年达到14.24亿，也是中间逐年递增。4、 长期预测模型（1） 对该模型的理解和分析根据上面的问题分析，建立长期预测模型，需要对数据进行细化，其一

26、、不能仅仅从单区域即整个人口发展考察，而需要进行多区域的考察，因为根据我国现在的一个人口特点：人口城镇化，随着乡村人口流入城镇，导致整体生育率、死亡率发生显著变化，从而影响了人口的增长，弥补单区域的不足。其二、对于中短期预测中采用统计回归的方法，在长期预测上存在较大的误差，因此我们需要着眼于人口发展的基理分析，即宋健的人口发展方程的差分方程模型，但同时根据本问题数据的特点，我们对模型做了一定的修改，使得其更适合此时的长期预测。（2） 建立长期预测模型单区域模型：出生死亡单区域图9（单区域模型示意图）单区域模型中以全国人口作为整体，由于国际净迁移率为0，所以只考虑人口的出生率与死亡率两个因素。模

27、型示意图如图7。差分方程关系为：它表示第年的人口增长就是年的人数与净增长率的乘积。(二) 多区域模型：将全国分为城镇和乡村两部分，同时考虑区域自身的出生率和死亡率以及区域间的人口迁移。此模型示意图见图10。 人口迁移死亡死亡出生出生城镇乡村图10（两区域模型示意图）分别针对两区域列出差分方程：（1）式其中表示第年城镇人口；表示第t年乡村人口；表示第年的人口出生率，表示第t年的人口死亡率，i=0表示城镇，i=1表示乡村；表示第年城镇向乡村迁移人数；表示第t年乡村向城镇迁移人数；其中迁移率： （2）式我们将区域的出生率、死亡率和人口迁移综合为区域人口净增长率，从而将（1）式简化为： 第年城镇人口净

28、增长率；第年乡村人口净增长率所以：（三）模型求解：1、单区域模型：由于所给附录数据中没有与各年中全国人口净增长率相关数据，所以通过中国统计年鉴2006整理出1995年2005年的人口净增长率数据，运用spss对数据作指数函数拟合，其中拟合度，得出：并用matlab对其作图可以清晰看出，人口净增长率逐年递减并趋于缓和：图11 （人口净增长率变化曲线图）根据模型中全国人口预测求解方程，利用求解出的净增长率得到2006年2039年全国人口预测值（单位：万人）：表7（2006-2039年的人口预测值）年数2006200720082009201020112012人口年数20132014201520162

29、01720182019人口年数2020202120222023202420252026人口年数2027202820292030203120322033人口年数203420352036203720382039人口相应的区域我国人口长期（2006年2039年）预测趋势：（图12 单区域模型全国人口长期预测趋势）2、 多区域模型：与单区域模型类似，在中国统计年鉴2006中整理出1995年2005年城镇和乡村的人口净增长率数据。表8 （城镇和乡村的人口净增长率数据（单位：%）19951996199719981999城镇6.0565.755.4735.1434.933乡村-1.003-1.067-1.2

30、16-1.341-1.46420002001200220032004城镇4.7014.4694.313.6413.554乡村-1.576-1.662-1.777-1.491-1.534运用spss对数据作指数函数拟合，其中拟合度分别为0.97和0.986，得出城镇和乡村的拟合曲线方程为：对城镇和乡村净增长率的预测方程作图，清晰反映出城镇、乡村人口净增长率变化：图13 （城镇、农村人口净增长率变化） 由图12，城镇人口净增长率逐渐减小，最后趋向于0，而乡村人口数目始终净减少而且在预测的时间段内减少越来越快。查中国统计年鉴2006找出2004年城镇和农村人口分别是（单位：万人）54283和7570

31、5，根据模型中城镇、农村人口预测的简化方程，以2004年人口作为基数，运用迭代方法得出2005年2039年城镇、乡村人口趋势，从而求和得出全国人口长期趋势。如下：表9 （全国人口长期预测趋势（单位：万人）年份城镇预测乡村预测总和年份城镇预测乡村预测总和200456671.974603.920229816348460.9200559070.673465.5202346706.4200661475.172289.3202444932.2200763881.971075202543141.4200866287.169822.4202641337.5200968687.568531.420273952

32、4.1201071079.767202202837704.9201173460.565834.2202935884.1201275826.964428.4203034066.1201378176.162985203132255.3201480505.561504.5203230456.4201582812.559987.7203328674.4201685094.958435.6203426914.1201787350.456849.3203525180.6201889577.255230.2203623479.1201991773.453579.9203721814.5202093937.4

33、51900.1203820191.9202196067.750193.1203918616.1为更清晰的看出未来几年我国城镇、乡村和全国人口的发展趋势，对以上数据用曲线图描述，得出：（图14 多区域模型人口预测）由图13，乡村人口呈现逐渐下降的趋势，城市人口逐年上升，在2010年左右，城市人口和乡村人口趋于相等。此后，城市人口数目超过乡村人口数目，而且在我们预测的区间内，差距越来越大。人口总数呈现增长趋势，到2030年达到人口最大值万，2030年后人口开始极缓慢下降。（四）模型结论 单区域模型中，只考虑自身的出生与死亡，而没有外界个体的迁入迁出。得到总体的增长速度逐渐降低，呈指数函数规律变化。

34、而总人数变化逐渐趋于平缓。我们预测到2039年人口达到亿，还在继续增长。多区域模型中，即考虑自身人口的出生和死亡，又要考虑人口的迁移。得到城镇人口净增长率呈指数函数逐年减小，而农村人口呈指数函数形状在负的一端延伸。总人数在2030年达到最大值万，而2030年后又极缓慢下降。 模型的预测与检验（一）模型的精度分析我们从两方面分析模型精度，即：中短期模型中人口预测数量与已有值（摘自中国统计年鉴2006）之间的图形对比及相关性分析，来研究模型的精度。图形对比： 表10 人口数量年份20012002200320042005预测值（万）实际值（万）（图15 预测人口与实际人口对比图）从图中看出，实际值与

35、预测值之间在短期内非常相近，随着时间的推移，出现一定偏差并逐渐增大，但本文中中短期模型应用于短时期内人口预测，在误差允许范围内仍然适用。相关性分析：预测值实际值预测值 Pearson Correlation Sig.(2-tailed) N151.00005实际值 Pearson Correlation Sig.(2-tailed) N1.0000515表11 预测值与实际值相关性经过上述图表误差分析和数据相关性分析，我们得到：在20012005年，预测值与实际值之间的误差呈线性增加，且增加缓慢，说明模型1对中短期的人口总量预测精度高；另外，由表数据可得，预测值与实际值呈强相关性，说明模型的预

36、测与现实很接近。因此，模型的精度较高。（二）灵敏度分析：通过模型一我们得到中短期的人口增长率预测值，并使人口增长率在-5%5%的范围内波动，观测其对人口总量的影响，在此基础上，分析模型的灵敏度。当人口增长率预测值减少5%时，通过VC+程序（见附录）计算，中短期（20062020年）的人口数量为（单位：万人）, 当人口增长率预测值增加5%时，通过VC+程序（见附录）计算，中短期（20062020年）的人口数量为（,）。 图16 三组数据的对比趋势观察图表，我们可得到，20062012年，人口增长率的波动对人口总量几乎无影响，说明模型1在此环境下的灵敏度小，模型的稳定性好；2012年后，随着时间的

37、推移，人口增长率的波动使得人口总量出现波动，波动量缓慢增加，说明模型1的灵敏度随时间的推移而缓慢增加，但趋于稳定。综上所述，当人口增长率在-5%5%的范围内波动时，人口总量在小范围内波动，改变量小，说明模型的灵敏度小，模型是较科学合理的。（三）与传统人口模型比较及其优劣人口预测有多种方法，常用的有用微分方程方法预测的Logistic模型；用数理方法预测的线性回归模型；用矩阵方法预测的Leslie模型；随机人口预测LTC方法等等。更进一步划分有时间序列法、曲线拟合法、回归分析法、数量经济模拟法、灰色预测法等。短期预测模型采用灰色系统和多元回归分析，多元回归分析能够通过研究人口数量的变化规律，预测

38、人口的变化趋势，将中国人口增长的特点添加到模型中考虑。灰色系统预测适应于多个因素组成系统发展变化的预测。长期预测模型采用曲线拟合法，适合于对历史数据的规律进行研究，选择最能描述观察数据的规律的曲线作为预测模型。能够最好的反应资料的变化趋势，预测准确性高。缺点是仅依赖资料和以前的规则预测，对未来的其他因素变化不能考虑。（四）模型优缺点及其改进意见优点：针对中国人口的增长趋势，本文从影响人口增长的因素（即龄化进程加速、出生人口性别比持续升高、乡村人口城镇化）入手，借助spss软件建立以人口增长率为因变量，以老龄化率、城镇化率、性别比值和生育率为自变量的多元线性回归方程，将人口的数量问题转化为人口比

39、率问题来解决，简化了数据统计。在此基础上，我们运用适于短期环境的灰色预测，预测出中短期的老龄化率、城镇化率、性别比值和生育率，进而得到中短期的人口增长率，通过迭代得到全国人口中短期变化趋势，其可靠程度高，对编制未来人口和国民经济发展规划，有一定的参考作用。对于人口的长期预测，我们才用了函数拟合和差分方程，在误差允许范围内对长远人口预测有一定的参考作用。缺点：在对中短期人口增长速度的预测上，我们只考虑了老龄化指数、出生人口性别比、妇女生育率、人口城镇化四项指标与它的回归分析，在一定程度存在着局限性。在一些指标的预测上，如：老龄化指数、出生人口性别比等我们分别采用了常用的灰色预测和指数拟合的方法，

40、没有考虑到更好的预测手段，所以精度上还有待提高。而且回归方程我们只考虑线性形式，可能变量间可能存在非线性的关系。模型推广本文模型通过对历史数据的规律进行研究，选择最能描述观察数据的规律的曲线，较好的反映了资料的变化趋势，预测准确性高。我们可以运用此模型很好的预测未来几十年内各年龄段的儿童、青少年的数量，这对于劳动就业和教育规划时至关重要的，可以预报某一地区人口发展趋势，为地区的基础设施建设、资金投入等提供帮助，所以我们的预测模型，简便、可操作性强，可为国家和地方经济的发展提供有效服务。不仅可以用来描述生育率、死亡率随年龄变化的趋势，还可以将分年龄组数据还原为分年龄别数据。本模型还可用于濒危物种

41、的群体数目预测，及时采取保护措施。参考文献1李志辉 罗平，SPSS for Windows 统计分析教程，北京，电子工业出版社，20032邓聚龙，灰预测与灰决策，武汉：华中科技大学出版社，20003姜启源 谢金星 叶俊，数学模型（第三版），北京：高等教育出版社，20034陈卫，中国未来人口发展趋势：2005-2050年，人口研究，第30卷，20065于义良，运筹学，北京，中国人民大学出版社，20066陈彦光 俞斌， 人口增长的常用数学模型及其预测方法，华中师范大学学报，第40卷第3期7黄宝凤，中国人口增长：过去的演变和未来的预测，南京人口管理干部学院学报，第15卷第4期，19998 宋健，人口

42、预测和人口控制,人民出版社,1981附录：程序清单：1、运用灰色模型预测新出生男女比例等指标（Matlab程序）：n=11; %统计十一维数据g0=1.042,1.033,1.044,1.051,1.059,1.067,1.042,1.171,1.175,1.223,1.186; %9505年男女生比x0=sqrt(g0);x1=zeros(1,n);z1= zeros(1,n-1);x1(1)=x0(1);for i=2:n, x1(i)=x1(i-1)+x0(i);endfor i=1:n-1, z1(i)=(x1(i+1)+x1(i)/2;endC=sum(z1);D=x1(n)-x1(

43、1);E=sum(z1.*x0(2:n);F=sum(z1.2);deta_a=C*D-(n-1)*E;deta=(n-1)*F-C2;deta_b=D*F-C*E;a=deta_a/deta;b=deta_b/deta;for k=0:40,x2(k+1)=(x0(1)-b/a)*exp(-a*k)+b/a;endx3(1)=x0(1);for k=1:40 x3(k+1)=x2(k+1)-x2(k);endg=x3.2;disp(对男女生比例从19962030年预测结果：)g(1:35)2、利用多元线性回归预测人口增长率并求出未来几年人口趋势（VC+程序）：/ 多元回归.cpp : Def

44、ines the entry point for the console application./#include stdafx.h#includeint main(int argc, char* argv) double x125=0.613,0.688,0.772,0.866,0.972,1.091,1.224,1.374,1.542,1.73,1.942,2.179,2.445,2.744,3.079,3.456,3.878,4.352,4.884,5.481,6.15,6.9,/高龄指数2006年2027年预测值x225=1.212,1.222,1.231,1.241,1.25,1.

45、26,1.379,1.28,1.29,1.3,1.31,1.321,1.331,1.341,1.352,1.362,1.373,1.384,1.395,1.406,1.417,1.428,1.439,1.45,1.461,/新出生男女比预测值x325=0.459,0.478,0.497,0.518,0.539,0.561,0.584,0.608,0.633,0.659,0.686,0.715,0.744,0.775,0.806,0.84,0.874,0.91,0.948,0.987,1.027,1.069,1.113,1.159,1.207,/城镇化指标预测值x425=0.0332,0.032

46、4,0.0317,0.031,0.0303,0.0297,0.029,0.0284,0.0278,0.0271,0.0265,0.026,0.0254,0.0248,0.0243,0.0237,0.0232,0.0227,0.0222,0.0217,0.0212,0.0208,0.0203,0.0199,0.0194,/生育率指标预测值y25; double i=,n26; int x;for(x=0;x25;x+) yx=0.023+0.01*x1x-0.001*x2x-0.052*x3x+0.021*x4x; n0=i;for(x=0;x25;x+) nx+1=nx*(1+yx); cou

47、tx+2006年人口：nx+1endl; return 0;3、单区域人口预测(VC+程序)：/ 单区域净增长率.cpp : Defines the entry point for the console application.#include stdafx.h#include #includeint main(int argc, char* argv) double m50; m0=;/单位为万人int i;for(i=0;i50;i+)mi+1=mi*(1+0.012*exp(-0.052*(i+11); for(i=0;i50;i+)coutmiendl;return 0;4、多区域模型城镇、乡村人口预测（VC+程序）：#include stdafx.h#include #includeint main(int argc, char* argv) double m51; m0=54283;/2004年城镇人口数据，单位为万人 int i;for(i=0;i51;i+) mi+1=mi*(1+