高考数学大一轮复习 第十四章 选考部分 14.2 矩阵与变换教师用书 理 苏教版(2021年最新整理)

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3、与后一个矩阵的行数相等时才能进行乘法运算2常见的平面变换(1）恒等变换：如;（2）伸压变换：如；(3）反射变换：如；（4)旋转变换：如,其中为旋转角度；(5）投影变换:如，；(6）切变变换：如（kr，且k0）3逆变换与逆矩阵（1）对于二阶矩阵a、b,若有abbae，则称a是可逆的，b称为a的逆矩阵；（2)若二阶矩阵a、b均存在逆矩阵，则ab也存在逆矩阵，且（ab)1b1a1。4特征值与特征向量设a是一个二阶矩阵，如果对于实数,存在一个非零向量，使a，那么称为a的一个特征值，而称为a的属于特征值的一个特征向量5特征多项式设a是一个二阶矩阵，r，我们把行列式f（)2（ad）adbc，称为a的特征多

4、项式1已知a,b，求ab。解ab.2设a，b，求ab的逆矩阵解a1，b1，(ab)1b1a1。3求矩阵m的特征值解f(）(6）（3）180.10,23。m的特征值为0和3。 题型一矩阵与变换例1已知a，b是实数，如果矩阵m所对应的变换将直线xy1变换成x2y1，求a，b的值解设点（x，y）是直线xy1上任意一点，在矩阵m的作用下变成点（x，y)，则,所以因为点(x,y)在直线x2y1上，所以(22b)x(a2）y1，即所以思维升华已知变换前后的坐标,求变换对应的矩阵时，通常用待定系数法求解二阶矩阵m对应的变换将点(1，1)与(2，1)分别变换成点（1，1)与(0，2)(1)求矩阵m；（2）设直

5、线l在变换作用下得到了直线m：xy4,求l的方程解（1）设m，则有，所以且解得所以m。（2)因为，且m：xy4，所以(x2y）（3x4y）4，整理得xy20，所以直线l的方程为xy20.题型二求逆矩阵例2(2015福建)已知矩阵a，b.(1)求a的逆矩阵a1；（2)求矩阵c，使得acb.解(1）因为a|23142，所以a1.(2)由acb得(a1a）ca1b，故ca1b。思维升华求逆矩阵的方法(1)待定系数法设a是一个二阶可逆矩阵,abbae；(2)公式法|a|adbc0，有a1。已知矩阵a，b，求矩阵a1b.解设矩阵a的逆矩阵为，则，即故a1，b0,c0，d,从而a的逆矩阵为a1，所以a1b

6、。题型三特征值与特征向量例3(2016南京质检)已知矩阵a的逆矩阵a1.（1）求矩阵a；(2）求矩阵a1的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量解（1）因为矩阵a是矩阵a1的逆矩阵，且|a1|221130，所以a。(2）矩阵a1的特征多项式为f()243(1）(3），令f（）0，得矩阵a1的特征值为11或23，所以1是矩阵a1的属于特征值11的一个特征向量,2是矩阵a1的属于特征值23的一个特征向量思维升华已知a,求特征值和特征向量的步骤(1）令f(）(a）(d)bc0,求出特征值；（2）列方程组(3)赋值法求特征向量，一般取x1或者y1，写出相应的向量已知矩阵a,其中ar，若点p（1，1）在

7、矩阵a的变换下得到点p（0,3）(1)求实数a的值；(2）求矩阵a的特征值及特征向量解（1）由题意得,所以a13，所以a4。(2)由（1)知a,令f()(1)240。解得a的特征值为1或3.当1时，由得矩阵a的属于特征值1的一个特征向量为，当3时，由得矩阵a的属于特征值3的一个特征向量为.1已知a，求a的特征值解a的特征多项式f（)（1)(2）302328(7)(4），a的特征值为17,24.故a的特征值为7和4。2(2016江苏)已知矩阵a，矩阵b的逆矩阵b1,求矩阵ab.解b(b1）1.ab。3已知矩阵m，求m(24）解24，m（24). 4已知矩阵a将点(1,0)变换为(2，3），且属于

8、特征值3的一个特征向量是，求矩阵a。解设a,由,得由3，得所以所以a。5曲线c1：x22y21在矩阵m的作用下变换为曲线c2,求c2的方程解设p（x,y)为曲线c2上任意一点，p（x，y)为曲线x22y21上与p对应的点，则，即因为p是曲线c1上的点，所以c2的方程为（x2y）22y21。6（2015江苏）已知x，yr,向量是矩阵a的属于特征值2的一个特征向量,求矩阵a以及它的另一个特征值解由已知，得a2，即，则即所以矩阵a。从而矩阵a的特征多项式f（)(2）（1)，所以矩阵a的另一个特征值为1.7设a是一个二阶矩阵，如果a是可逆的，证明a的逆矩阵是唯一的证明设b1,b2都是a的逆矩阵，则b1aab1e2,b2aab2e2，从而b1e2b1(b2a）b1b2(ab1)b2e2b2.即b1b2.故a的逆矩阵是唯一的8（2016苏中四校联考)求曲线x|y1在矩阵m对应的变换作用下得到的曲线所围成图形的面积解设点（x0，y0）为曲线|xy|1上的任一点，在矩阵m对应的变换作用下得到的点为(x,y），则由，得即所以曲线|x|y1在矩阵m对应的变换作用下得到的曲线为|x3|y1，所以围成的图形为菱形，其面积为2.9设数列an,bn满足an12an3bn，bn12bn,且满足m，求二阶矩阵m.解依题设有，令a，则ma4，a2.ma4（a2）2。10已知矩阵a，b.(1)求满足条件a