吉林省长春市实验中学2018-2019学年高二上学期期末考试数学(理)试题

1、2018-2019学年度高二上学期期末考试数学试 题（理科）第 I 卷（共 60分）一、选择题：本题共12 小题 ,每小题 5 分 .在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的 .1.复数i（ i 是虚数单位）在复平面内对应的点位于（）1iA. 第一象限B.第二象限C.第三象限D. 第四象限2.用反证法证明“a, b, c三个实数中最多只有一个是正数”，下列假设正确的是（）A. 有两个数是正数B.这三个数都是负数C.至少有两个数是负数D.至少有两个数是正数3若向量a ， b ， c 是空间的一个基底，向量mab ， nab ，那么可以与m ， n 构成空间的另一个基底的向量是（）A

2、 aB bC cD 2a的是（4.下列说法错误）A 命题p ： “ x0R, x02x010 ”，则p： “xR, x2x10 ”B命题 “若 x24x30 ,则x3 ”的否命题是真命题C若 pq 为假命题，则pq为假命题D. 若 p 是 q 的充分不必要条件，则q 是 p 的必要不充分条件5.下列推理不属于合情推理的是（）A. 由平面三角形的性质推测空间三棱锥的性质B.由铜、铁、铝、金、银等金属能导电，得出一切金属都能导电C.两条直线平行，同位角相等，若A 与B 是两条平行直线的同位角，则ABD.在数列aa2a1 n 2，猜想a的通项公式n 中， a1 2，nn 1n6如图所示， 在平行六面

3、体ABCDA1B1C1D1 中，M 为 AC 与 BD 的交点，若 A Ba ， A D1b ，111A1 A c ，则下列向量中与B1M 相等的向量是 ()A 1 a 1 b cB.1 a 1 b c2222C.1 a1 b cD 1 a1 b c2222x2y21 的焦点为 F1 , F2 ，点 P 在椭圆上，若 | PF1 |4 ，则PF1F2 的面积为（7.椭圆96）A.2 3B.323D.2C.328已知函数yf (x) ，其导函数yf ( x) 的图象如图所示，则yf ( x) ()A在 (,0) 上为减函数B在 x1处取极小值C在 x2 处取极大值D 在 (4,) 上为减函数9.

4、执行右图所示的程序框图,如果输入的xt 3 , 则输出的M 等于（）A.3111937B.3C.D.6610.用数学归纳法证明：“ n1n2n n2n1 32n1 ”从nk到nk1”左端需增乘的代数式为（）“A.2k12k2B 2 2k1C2k1D 2k3k1k111已知点 A(0,2) ，抛物线 C : y24x 的焦点为 F ,射线 FA 与抛物线 C 相交于点 M ，与其准线相交于点 N，则 FM :MN =（）A2 :5B1: 21: 5D1: 3C12.已知函数 f ( x) a x21xe与 g (x)2ln x 的图象上存在关于x 轴对称的点，e则 a 的取值范围是（）112A.

5、 1, e22B.e22, eC. 1, e22D.e22,第 II 卷（共 90 分）二、填空题 :本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 .13.2 1x2.定积分xdx114.若双曲线 x2y21( a0, b 0) 的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的1 ，则该双曲线的a2b24离心率为.15. 已 知 函 数 f ( x)x32x2ax1 在 区 间0,1 上 不 是 单 调 函 数 ， 则 实 数 a 的 取 值 范 围是.16如图所示，在三棱锥SABC中，SASC2SB，且A S B B S C C S A，M ,N 分别是 AB,SC的中点则异面直线SM 与BN2所成

6、角的余弦值为.三、解答题：本题共6 小题 ,共 70 分 .解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.(本小题满分10 分）已知 p : x27x100 ， q : x24mx3m20，其中 m0 .（ 1）若 m4 ，且 pq 为真，求 x 的取值范围；（ 2）若q 是p 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围18.(本小题满分12 分）已知抛物线 y22 px(1 p 3) 的焦点为 F ，抛物线上的点M x0,1 到准线的距离为5 4（ 1）求抛物线的标准方程；MF（ 2）设直线 MF 与抛物线的另一交点为N ，求的值 .NF19( 本小题满分12 分）若函数 f xax3bx 4

7、，当 x2时，函数 f x 有极值4.3（ 1）求函数fx的解析式及在点1, f 1 处的切线方程；（ 2）若方程fxk 有 3 个不同的根，求实数 k 的取值范围20.（本小题满分12 分）如图，在四棱锥PABCD 中， PD 平面 ABCD ，四边形 ABCD 是菱形， AC2， BD2 3 ，且 AC,BD 交于点 O， E是 PB上任意一点（ 1）求证：ACDE ；（ 2）若 E 为 PB 的中点，且二面角 APBD 的余弦值为21 ，求 EC7与平面 PAB 所成角的正弦值21（本小题满分12 分）已知椭圆 C ： x2y21(ab 0) 上的点到焦点的最大距离为3，离心率为 1.a

8、2b22（ 1）求椭圆 C 的标准方程；（ 2）设直线 l ： x my10 与椭圆 C 交于不同两点A, B ，与 x 轴交于点 D ，且满足 DADB ,11，求实数 m 的取值范围 .若3222.（本小题满分 12 分）已知 f x 为函数 f x的导函数，且 f x1 x2f 0 x f 1 ex 1 .2（ 1）判断函数fx的单调性；（ 2）若 g xfx1 x2x ，讨论函数 h xx e g ax 2x x 零点的个数 .22018-2019 学年度高二上学期期末考试数学（理）参考答案一、选择题（每小题5 分，共 60 分）1B2D3C4C5C6D7A8D9C10B11C12C二

9、、填空题（每小题5 分，共 20 分）133ln 21423150,710231610三、解答题17.解：（ 1）由 x27 x100，解得 2x 5，所以 p : 2x5 ；又x24mx320，因为 m0 ，解得 mx3m ，所以 q : mx3m .m当 m4时， q : 4x12，又 pq 为真， p,q 都为真，所以4 x5 .（5 分）（ 2）由q 是p 的充分不必要条件，即qp ， pq ，其逆否命题为m2pq, qp ，由（ 1） p : 2 x5 ， q : mx3m ，所以3m5 ，m0即： 5m2（10 分）3x0p518.解：（ 1）由题意24 ，消去 x0 得 2 p2

10、5 p 20，因为 1p3 ，解2 px01p 2y 2得 p2 ，所以x01 ，所以抛物线标准方程为4 x .(5 分）4（2）因为 F1,0， M1,所以 kMF44x3y40 ，,1,直线 MF 的方程为43联立方程得方程组y 24x，消去 x 得 y 23y4 0 ，解得 y4或1，将4 x3y4 0y4 代入 y24x ，解得 x4 ，由焦半径公式 NF4 1 5,又MF54MF51所以4.（12 分）NF 542f212 ab0a1fx3axb ,，解得19.1由题意得 43解：（ ）f 28a2b43b4故所求函数的解析式为fx1 x34x4 .（3分）31fx x24，f13,

11、 f 1， yfx在点 1, f 1处的切线方程为：13y（6 分）3 x 1 ，即 9x 3 y 10 0 .3（2）由 (1)可得，令 fx0，得 x 2 或 x2 .当 x 变化时，fx，fx 的变化情况如下表：因此，当 x2 时，f x 有极大值28 ，当 x 2, 时，f x 有极小值4 ，33所以函数 fx1 x34x 4 的图象大致如图所示3若 f xk 有 3 个不同的根，则直线y k 与函数 fx的图象有 3 个交点，所以428（ 12分）k.3320.解：（ 1）因为 DP平面 ABCD ，所以 DP AC ，因为四边形 ABCD为菱形，所以BD AC ，又 BDPD=D

12、， AC 平面 PBD，因为DE ? 平面 PBD， AC DE（4 分）（2）连接 OE，在 PBD 中， EOPD ，所以 EO平面 ABCD ，分别以 OA ，OB ， OE 所在直线为 x 轴， y 轴， z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，（5 分）设 PD=t ，则 A （1， 0， 0）， B （0，0）， C（ 1， 0， 0），E（ 0， 0，）， P（ 0， t）设平面PAB 的一个法向量为n（ x， y， z），则，令，得 n( 3,1,2 3)，t平面 PBD 的法向量 m（ 1， 0， 0），因为二面角A PB D 的余弦值为，所以，所以或（舍），（9 分）则， E

13、C 与平面 PAB 所成角的正弦值为42 7（12 分）ac3a2a2c221.解：（1）由已知c1413，解得，所以 b2，所以椭圆a2c 1x2y21.（4 分）C 的标准方程为34xmy10（ 2）由已知 D ( 1,0) , 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ，联立方程组x2y21，消 x 得43(3m24) y 26my9 0，由韦达定理得y1 y26m y1 y293m243m24因为 DADB ，所以 ( x11, y1)(x21, y2 ) ，所以 y1y2 ，将代入( 1) y26m， y229，消去 y2 得 (1)24m2，所以3m243m243m

14、244m212 .（ 9分）3m24因为11412144m21，2，所以2，即3m242333解得 m24，所以 m2 5，或 m2 5.（12分）55522.解：（ 1）对 fx1 x2f0xf1 ex 1 ，求导可得2f xx f 0f 1 ex 1 ， 所 以 f 1 1 f 0f 1f 01，于是f 0f 1 e 1 ， 所 以f 1e， 所 以f x1 x2x ex ， 于 是2fxexx 1, fx在 R 上单调递增，注意到f00 ，（3 分）故 x,0时，fx0, fx单调递减，x0,时，f x0, f x单调递增 .（4 分）（2）由（ 1）可知 gx1 x2xex1 x2xex ，22由 h x0 ，得 xe 或 g ax 2xx 0 ，若 gax2xx0 ，则 ax2xln x ，即 ax1ln x ，lnx1ln xx设xxxx2所以x 在0,e 上单调递增，在e,上单调递减，分析知 x1时，x0, x时，x0 , x0