必修1第一章集合复习课含答案 共10页

1、集合的概念与运算复习课1 集合与元素集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性.元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号或?表示(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法.(4)常见数集的记法集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号NN*(或 N +)ZQR2. 集合间的关系(1)子集：对任意的x A,都有x B,贝y ALB(或B? A).真子集：若A? B,且A丰B,则A_B(或B A).(3)空集：空集是任意一个集合的子集，是任何非空集合的真子集.即? A, ? B(BM?)若A含有n个元素，则A的子集有2L个，A的非空子集有2n 1个.集合相等：若A? B, 且 B? A，则A

2、= B.3 集合的运算集合的并集集合的交集集合的补集图形符号A U B= xX A 或 x BAn B= x|x A 且 x B?uA = xlx U,且 x?A4.集合的运算性质并集的性质:A U ? = A; AU A= A; AU B = B U A; AU B= A? B? A.交集的性质:A n ? = ?； An A=A； An b = Bn a； a n b= a? a? b.补集的性质:A U (?uA) = U ; An (?uA)= ?; ?u(?uA) = A.题型一集合的基本概念【例1】(1)下列集合中表示同一集合的是A M = (3,2) , N= (2,3)B M

3、= 2,3 , N = 3,20，一，bf,贝U b a=C M = (x, y)|x + y= 1 , N= y|x + y= 1 D M = 2,3 , N = (2,3) 设 a, b R 集合1 , a + b, a = L :I a思维启迪：解决集合问题首先要考虑集合的“三性”：确定性、互异性、无序性，理解集合中元素的特征.答案(1)B(2)2解析(1)选项A中的集合M表示由点(3,2)所组成的单点集，集合N表示由点(2,3)所组成的单点集，故集合 M与N不是同一个集合选项 C中的集合M表示由直线X + y= 1上的所有的点组成的集合，集合 N表示由直线X+ y= 1上的所有的点的纵

4、坐标组成的集合，即N = y|x + y= 1 = R，故集合M与N不是同一个集合.选项D中的集合M有两个元素，而集合 N只含有一个元素，故集合 M与N不是同一个集合对选项 B,由集合元素的无序性，可知 M , N表示同一个集合.b因为1 , a + b, a = 0, , bf a M 0,所以 a+ b= 0，得=1,a所以 a= 1, b= 1.所以 ba = 2.探究提高(1)用描述法表示集合时要把握元素的特征，分清点集、数集;(2)要特别注意集合中元素的互异性，在解题过程中最容易被忽视，因此要对计算结果进行检验，防止所得结果违背集合中元素的互异性变式训和若集合A= x|ax2 3x+

5、 2= 0的子集只有两个，则实数答案0或98解析/集合A的子集只有两个， A中只有一个元素.2当a= 0时，x= 3符合要求.O99当 aM 0 时，= ( 3)2 4a x 2= 0, a =-.故 a = 0 或7.8 8题型二集合间的基本关系【例 2】 已知集合 A= x| 2 xW 7, B= x|m + 1x2m 1，贝U m 2则 i2m 1W 7，解得 2m W 4.Im + 12m 1综上，m的取值范围为mW 4.探究提高(1)集合中元素的互异性，可以作为解题的依据和突破口；(2)对于数集关系问题，往往利用数轴进行分析；(3)对含参数的方程或不等式求解，要对参数进行分类讨论.变

6、式训练Z已知集合A= x|log2xW 2, B = ( 8, a),若A? B,则实数a的取值范围是(c,+s )，其中 c=答案 4解析 由 log2X 2,得 oxw4,即 A= x|04，即c= 4.题型三集合的基本运算 【例 3】 设 U = R，集合 A= xlx2 + 3x+ 2= 0 , B = x|x2 + (m+ 1)x + m= 0.若(?uA)n B = ?,则m的值是思维启迪：本题中的集合 a, B均是一元二次方程的解集，其中集合B中的一元二次方程含有不确定的参数 m,需要对这个参数进行分类讨论，同时需要根据(?uA) n B = ?对集合A, B的关系进行转化.答案

7、 1或2解析 A= 2, 1，由(?uA)n B = ?，得 B? a,方程 x2+(m+ 1)x + m= 0 的判别式 = (m+ 1)2 4m = (m 1)20, Bm ?. B = 1或 B= 2或 B= 1 , - 2. 若 B = 1，则 m= 1; 若 B = 2，则应有一(m+ 1) = ( 2) + ( 2) = 4,且 m= ( 2) ( 2) = 4,这两式不能同时成立， BM 2; 若 B = 1, 2，则应有一(m+ 1) = ( 1)+ ( 2)= 3,且 m= ( 1) (- 2) = 2，由这两式得m= 2.经检验知m= 1和m= 2符合条件. m= 1 或

8、2.探究提高 本题的主要难点有两个：一是集合a, B之间关系的确定；二是对集合 B中方程的分类求解.集合的交、并、补运算和集合的包含关系存在着一些必然的联系，这些联系通过 Venn图进行直观的分析不难找出来，如A U B= A? B? A, (? uA) n3= ? ? B? A等，在解题中碰到这种情况时要善于转化，这是破解这类难点的一种极为有效的方法.变式训练3设全集是实数集R, a = x|2x2 7x+ 3w0 , B=x|x2 + a0.(1)当 a= 4 时，求 An B 和 AU B;若(?rA)Q B= B，求实数a的取值范围.解(1) / a =x2w xw 3,当 a= 4时

9、，B = x| 2x2,an B= x|；x2 , AU B= x| 2xW 3.？rA= x|x3,当（?RA）n B= B 时，B? Ra，即 An B = ?.当B = ?，即a0时，满足B? Ra；当 B 丰?，即卩 a0 时，B= x|寸axvQ- a, 1 1要使B? Ra,需寸-a，解得4 a-4 题型四 集合中的新定义问题【例4（2011广东）设S是整数集Z的非空子集，如果？ a, b S,有ab S,则称S关于数的乘法是封闭的.若 T, V是Z的两个不相交的非空子集， TU V= Z,且？ a, b, c T,有abc T; ? x, y, z V，有xyz V，则下列结论恒

10、成立的是T,V中至少有一个关于乘法是封闭的V中至多有一个关于乘法是封闭的V中有且只有一个关于乘法是封闭的V中每一个关于乘法都是封闭的T,思维启迪：本题是一道新定义问题试题，较为抽象，题意难以理解，但若“以退为进”，取一些特殊的数集代入检验，即可解决.答案 a解析 不妨设1 T,则对于？ a, b T, / ? a, b, c T,都有abc T,不妨令c= 1,则ab T,故T关于乘法是封闭的，故 T、V中至少有一个关于乘法是封闭的；若 T为偶数集，V为奇数集，则它们符合题意，且均是关于乘法是封闭的，从而B、C错误;若T为非负整数集，V为负整数集，显然 T、V是Z的两个不相交的非空子集， T

11、U V=Z,且? a, b, c T, 有 abc T, ? x, y, z V, 有 xyz V，但是对于? x, y V, 有xy0 , xy?V, D 错误.故选 A.探究提高本题旨在考查我们接受和处理新信息的能力,解题时要充分理解题目的含义,进行全面分析，灵活处理.变式训塚4已知集合S= 0,1,234,5 , a是S的一个子集，当X A时，若有x 1?A,且x+ 1?A,则称x为a的一个“孤立元素”， 那么S中无“孤立元素”的 4个元素的子集共有个.答案 6解析由成对的相邻元素组成的四元子集都没有“孤立元素”，如0,1,2,3 , 0,134,0,1,4,5 , 1,234 , 12

12、4,5 , 234,5，这样的集合共有 6 个.易错题训练 典例 1: (5 分)(2012 课标全国)已知集合 A = 1,234,5 , B= (x, y)|x A, y A, x y A,则B中所含元素的个数为B. 6C. 8D. 10易错分析本题属于创新型的概念理解题，准确地理解集合B是解决本题的关键，该题解题过程易出错的原因有两个，一是误以为集合B中的元素(x, y)不是有序数对，而是无序的两个数值；二是对于集合B的元素的性质中的 “x A , y A , x y A” ,只关注“x A, y A”，而忽视“x y A”的限制条件导致错解.解析/ B = (x , y)|x A ,

13、y A, x y A, A= 1,2,3,4,5, x= 2, y= 1; x= 3, y= 1,2; x= 4, y= 1,2,3; x= 5, y= 1,2,3,4. B = (2,1) , (3,1), (3,2), (4,1), (4,2) , (4,3) , (5,1) , (5,2) , (5,3) , (5,4), B中所含元素的个数为10.答案 D温馨提醒判断集合中元素的性质时要注意两个方面：一是要注意集合中代表元素的字母符号，区分X、y、(x , y);二是准确把握元素所具有的性质特征，如集合 x|y= f(x)表示函数y= f(x)的定义域，y|y= f(x)表示函数y =

14、 f(x)的值域，(x , y)|y= f(x)表示函数y=f(x)图象上的点.遗忘空集致误典例2： (5分)若集合P=x|x2+ x 6= 0, S= x|ax + 1= 0,且S? P,则由a的可取值组成的集合为易错分析 从集合的关系看，S? P ,则S= ?或SM ?,易遗忘S= ?的情况.解析 (1)P = 3,2.当 a = 0 时，S= ?,满足 S? P;1当aM 0时，方程ax+ 1 = 0的解集为x=-a1 1为满足s?P可使-a=-3或-1=2,1 1 11即a= 1或a= 2.故所求集合为0 , 3, 2 答案仏3，-解答此类问题的关键是温馨提醒(1)根据集合间的关系求参

15、数是高考的一个重点内容.抓住集合间的关系以及集合元素的特征.(2)在解答本题时，存在两个典型错误.一是忽略对空集的讨论，如S= ?时，a= 0; 二是易忽略对字母的讨论.如一丄可以为一3或2.a因此，在解答此类问题时，一定要注意分类讨论，避免漏解思想方法感悟提高方法与技巧集合中的元素的三个特征，特别是无序性和互异性在解题时经常用到.解题后要进行检 验，要重视符号语言与文字语言之间的相互转化.对连续数集间的运算，借助数轴的直观性，进行合理转化；对已知连续数集间的关系,求其中参数的取值范围时，要注意单独考察等号.对离散的数集间的运算，或抽象集合间的运算，可借助Venn图这是数形结合思想的又一体现.

16、失误与防范空集在解题时有特殊地位，它是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，时刻关注对空集的讨论，防止漏解.解题时注意区分两大关系：一是元素与集合的从属关系；二是集合与集合的包含关系.解答集合题目，认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件.Venn图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法，其中运用数轴图示法要特别注意端点是实心还是空心.要注意 A? B、An B= A、AU B = B、？uA? uB、AQ (?uB)= ?这五个关系式的等价性.6.已知集合 A = (0,1) , (1,1), ( 1, 2) , B= (x, y)|x

17、+ y 1 = 0, x, y Z，贝U A n B =A组专项基础训练（时间：35分钟，满分：57分）一、选择题（每小题5分，共20分）(2012 东)设集合 U = 1,234,5,6 , M= 1,2,4，则?uM 等于A. U B . 1,3,5 C . 3,5,6 D . 2,4,6答案 C解析 / U = 1,234,5,6 , M = 1,2,4 , . ?uM = 3,5,6.(2011课标全国)已知集合 M = 0,1,234 , N = 1,3,5 , P= M n N,则P的子集共有A . 2个 B . 4个C. 6个 D . 8个答案 B解析 / M = 0,1,2,3

18、,4 , N = 1,3,5 , M n N= 1,3. M n N的子集共有22= 4个.(2012 山东)已知全集 U = 0,123,4，集合 A= 1,2,3 , B= 2,4，则(?uA)U B 为A . 1,2,4B. 2,3,4C. 0,2,4D. 0,2,3,4答案 C解析 ?uA = 0,4 , B= 2,4 , (?uA) U B = 0,2,4.已知集合 M = x亡0, xe R , N = v|v= 3x2+1, R，则 M n N 等于(B. xX 1C . x|x1D . x|x 1 或 x1或 x1 或 xw 0 , N= yy 1,M n N = x|x1.二

19、、填空题（每小题5分，共15分)5 .已知集合 A = 1,3 , a,B = 1 , a2 a+ 1，且 B? A，贝U a =答案 1或2解析由a2 a + 1 = 3,得a= 1或a= 2,经检验符合.由a2 a+ 1 = a，得a= 1,答案(0,1) , (- 1,2)解析 A、B都表示点集，A n B即是由A中在直线X+ y 1 = 0上的所有点组成的集合,代入验证即可.7.(2012 天津)已知集合 A = x R|x+ 2|3，集合 B = x R|(x m)(x 2)0，且 An B =(1, n)，贝y m=答案 11n=解析 A= x 5x1，因为 A n B = x|

20、1xn,B = x|(x m)(x 2) 3.(2) ?RB= x|xm+ 2 , / A? rB, / m 23 或 m+ 25 或 m 3.9. （12分）设符号是数集A中的一种运算：如果对于任意的x, y A,都有xy= xy A,则称运算对集合A是封闭的.设A= x|x= m + 72n, m、n Z，判断A对通常的实数的乘法运算是否封闭?解 设 x = m1+72n 1, y= m2+V2n2,那么 xy= (m1 + 羽n 1)x (m2 +V2n2)= (m1n2 + m2n 1/2+ m1m2 + 2门山2.令 m = m1m2 + 2n 1n2, n = m1 n2 + m2n1,贝U xy= m + V2n,由于 m1, n1, m2,R，所以 m, n R.故A对通常的实数的乘法运算是封闭的.B组专项能力提升（时间：25分钟，满分：43分）、选择题（每小题5分，共15分）(2012 湖北)已知集合 A = x|x2 3x+ 2= 0, x R , B= x|0x1, P= y|y= -, x2，则？uP 等于 入A. 9,丿C. (0,+8 )D . ( s, 0 U 2解析答案 A U = y|y = log2x，x1 =y|y0,1 1 p=yy=x，x2 =y|0y