一元二次不等式与线性规划基础知识梳理

1、第三节二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题教 材 面 面 观基础知识常梳理自主探究强记忆1二元一次不等式表示_(直线定边界、选点定区域)一般地，若axbyc0，则当b0时，表示直线axbyc0的_；当b0时，表示直线axbyc0的_若axbyc0，与上述情况相反答案平面区域上方下方2线性规划(1)约束条件、线性约束条件：变量x、y满足的一组条件叫做对变量x、y的约束条件，如果约束条件都是_，则约束条件又称为线性约束条件；(2)目标函数、线性目标函数：欲达到_，叫做目标函数如果这个解析式是_，则目标函数又称为线性目标函数；(3)线性规划：求线性目标函数在_的问题，统称为线性规划问题；(4)可

2、行域：_叫做可行解，_叫做可行域；(5)最优解：分别使目标函数取得_的解，叫做这个问题的最优解答案(1)关于x、y的一次不等式(2)最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式关于x、y的一次解析式(3)线性约束条件下的最大值或最小值(4)满足线性约束条件的解(x，y)由所有可行解组成的集合(5)最大值和最小值3求解线性规划问题的基本程序是作_，画_，解_，求_答案可行域平行线方程组最值考 点 串 串 讲考点归纳与解析思维拓展与迁移1二元一次不等式表示平面区域(1)一般地，二元一次不等式axbyc0在平面直角坐标系中表示直线axbyc0某一侧所有点组成的平面区域我们把直线画成虚线，表示区域不包括边

3、界直线当我们在坐标系中画不等式axbyc0所表示的平面区域时，此区域应包括边界直线，则把边界直线画成实线(2)用二元一次不等式表示平面区域，常有一定的规律性，大致可分为以下四种情况(如图所示)(3)关于二元一次不等式表示平面区域的几点说明：用集合的观点和语言分析直线和二元一次不等式所表示的平面区域，能使问题更加清楚、准确、便于理解axbyc0表示的是直线axbyc0的某一侧的平面区域，一定要注意不包括边界；axbyc0表示的是直线axbyc0及直线某一侧的平面区域，一定要注意包括边界画二元一次不等式表示的平面区域常采用“直线定界，特殊点定域”的方法特别地，当c0时，常把原点作为此特殊点画二元一

4、次不等式组所表示的平面区域要注意寻找各个不等式所表示的平面点集的交集，即它们的平面区域的公共部分在直线l：axbyc0外任取两点p(x1，y1)，q(x2，y2)若p、q在直线l的同一侧，则ax1by1c与ax2by2c同号；若p、q在直线l异侧，则ax1by1c与ax2by2c异号这个规律可概括为“同侧同号，异侧异号”2线性规划(1)线性规划的有关概念约束条件：由x、y的不等式(或方程)组成的不等式或等式混合组，是x，y的约束条件线性约束条件：关于x、y的一次不等式(或方程)组成的不等式或等式混合组，是x，y的线性约束条件目标函数：欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式线性目标函数：

5、目标函数为x、y的一次解析式线性规划问题：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题可行解：满足线性约束条件的解(x，y)可行域：所有可行解组成的集合最优解：使目标函数取得最大值或最小值的可行解(2)求线性目标函数在约束条件下的最值问题的求解步骤：作图：画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中的任意一条直线l.平移：将直线l平行移动，以确定最优解所对应的点的位置求值：解有关的方程组求出最优解，再代入目标函数，求出目标函数的最值(3)关于线性规划的几点说明：最优解有时唯一，有时不唯一，甚至是无穷多对于二元一次不等式组所表示的区域，如果存在使线性目标函数达到最大或最小的点

6、，那么最值一定是在该区域的顶点或边界上达到(4)求目标函数zaxby的最值，要把z与直线yx的截距联系起来去理解(5)线性规划的图解法及其应用图解法的步骤：求可行解即可行域将约束条件中的每一个不等式，当作等式作出相应的直线，并确定原不等式表示的半平面，然后求出所有半平面的交集，即为可行解(可行域)作出目标函数的等值线目标函数zaxby(a、br且a、b为常数)，当z是一个指定的常数时，就表示一条直线位于这条直线上的点，具有相同的目标函数值z，因此称之为等值线当z为参数时，就得到一组平行线，这一组平行线完全刻画出目标函数z的变化状态求出最终结果在可行域内平行移动目标函数等值线，从图中能判定问题是

7、有唯一最优解，或是有无穷最优解，或是无最优解3线性规划的实际应用(1)在线性规划的实际问题中，主要掌握两种类型：在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务给定一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务(2)线性规划中的常见问题：物资调运问题 ；产品安排问题；合理下料问题；配方问题(3)利用线性规划解决实际问题的一般步骤为：模型建立；模型求解； 模型应用(4)关于线性规划的实际应用的几点说明：解线性规划问题的关键步骤是在图上完成的，所以作图应尽可能地准确，图上操作尽可能规范因作图有误差，若图上的最优点并不明显易辨，则求不出可能是最优点的坐

8、标.典 例 对 对 碰反思例题有法宝变式迁移有技巧题型一二元一次不等式组表示的平面区域例1在abc中，a(3，1)，b(1,1)，c(1,3)，写出abc区域所表示的二元一次不等式组分析首先写出abc三边所在直线方程，然后再根据区域确定不等式组解析解法一：如图，由两点式得ab、bc、ca的直线方程并化简为：ab：x2y10，bc：xy20，ac：2xy50.原点(0,0)不在各直线上，将原点坐标代入到各直线方程左端，结合式子的符号可得不等式组为解法二：由ab的方程及三角形区域在ab上方，根据“同号在上”原则，得不等式x2y10.由bc的方程及三角形区域在bc下方，根据“异号在下”原则，得不等式

9、xy20.同理得2xy50，从而得不等式组点评判断二元一次不等式组表示的平面区域可直接利用上述“同号在上，异号在下”的结论直接判断.变式迁移1画出不等式组表示的平面区域解析不等式x2y10表示直线x2y10右下方的点的集合；不等式x2y10表示直线x2y10上及其右上方的点的集合；不等式1|x2|3，可化为1x1或3x5，它表示夹在两平行线x1和x1之间或在两平行线x3和x5之间的带状区域，但不包括直线x1和x3上的点所以，原不等式组表示的区域如图所示题型二线性目标函数的最值问题例2已知x，y满足则zxy的取值范围是_解析先画出约束条件的可行域，如图所示，由得b(3，3)，由得a(5,0)当z

10、为常数时，z表示直线zxy在y轴上的截距，当点(x，y)位于a点时，z取最大值，zmin505；当点(x，y)位于b点时，z取最小值；zmax3(3)6.综上所述，目标函数z的取值范围是5,6答案5,6点评线性目标函数的最优解一般在可行域的顶点或边界上取得，具体方法是：将表示目标函数的直线平行移动，最先(或最后)通过的区域内的点便是最优解特别地，当表示线性目标函数的直线与可行域的某边重合时，其最优解可能有无数个.变式迁移2设z2y2x4，式中x、y满足条件求z的最大值和最小值解析作出满足不等式组的可行域(如图所示)作直线l：2y2xt，当l经过点a(0,2)时，zmax222048；当l经过点

11、b(1,1)时，zmin212144.题型三平面区域的面积问题例3在平面直角坐标系xoy中，已知平面区域a(x，y)|xy1，且x0，y0，则平面区域b(xy，xy)|(x，y)a的面积为()a2b1c. d.解析令通过画图不难得知不等式组对应的平面区域的面积s211.故选b.答案b点评求线性平面区域的面积可以先根据不等式组画出相应的平面区域，再求出相应的顶点坐标，根据图形的特点解决问题若图形是不规则的多边形，一般是划分为几个三角形分别求面积再相加在划分时尽量多构造直角三角形，这样可以降低运算难度.变式迁移3求不等式|x|y|2表示的平面区域的面积解析|x|y|2可化为：或或或其平面区域如图所

12、示面积s448.题型四利用可行域求非线性函数的最值例4已知x，y满足条件试求z的取值范围解析如图所示作出约束条件所表示的平面区域abc，易求a(2,2)、b(1，)、c(，)，因为，又因为方程z(x1)2(y2)2表示的曲线为以点d(1，2)为圆心，半径为的圆，所以观察图，知当圆过a点时，取得最大值5.过d作debc于e，易知kde，从而知直线de的方程为x2y30，由即点e的坐标为(2，)，显然e在线段bc的延长线上，从而知当圆过点c时，取得最小值，故z的取值范围为，2点评利用线性规划思想去理解高中数学中的一些最值问题，实际上是对数形结合思想的提升，利用线性或非线性函数的几何意义，通过作图解

13、决最值问题，是从一个新的角度对求最值问题的理解，对于同学们最优化思想的形成是非常有益的.变式迁移4已知x，y满足条件且z(x1)2(y1)2在什么时候z取得最大值、最小值，最大值、最小值各是多少？解析作出可行域如图解方程组得a(2,1)解方程组得b(3,4)z(x1)2(y1)2的几何意义为可行域内的点(x，y)与点(1，1)的距离的平方，显然当圆过a点时半径最小，最小值为13，圆过b点时半径最大，最大值为41.题型五可行域与斜率的最值问题例5若实数x、y满足则的取值范围是()a(0,2) b(0,2c(2，) d2，)解析不等式组表示的平面区域为如图所示的abc及其内部(不包括边ac)，表示

14、点(x，y)与原点o连线的斜率，当点(x，y)在b处时，有最小值2.当点(x，y)由b在区域内向左移动时越来越大，故的取值范围是2，)答案d变式迁移5已知x、y满足则的取值范围是_答案2,2解析作出可行域如图所示，设点m(x，y)在可行域内，定点p的坐标为(1,2)，则目标函数的值为直线pm的斜率，因为po、pa的斜率分别为2、2，由图可得的取值范围是2,2题型六线性规划的实际应用例6某工厂有甲、乙两种产品，计划每天各生产量不少于15吨，已知生产甲产品1吨，需煤9吨，电力4千瓦，劳力3个；生产乙产品1吨，需煤4吨，电力5千瓦，劳力10个；甲产品每1吨利润7万元，乙产品每1吨利润12万元；但每天

15、用煤不超过300吨，电力不超过200千瓦，劳力只有300个问每天生产甲、乙两种产品各多少，能使利润总额达到最大？分析将已知数据列成表，如下表所示.产品/消耗量/资源甲产品乙产品资源限额煤(t)94300电力(kwh)45200劳力(个)310300利润(万元)712解析设每天生产甲、乙两种产品分别为xt、yt，利润总额为z万元，那么作出以上不等式表示的可行域，如图目标函数为z7x12y.作出在一组平行直线7x12yt中(t为参数)经过可行域内的点且和原点距离最远的直线此直线经过直线4x5y200和直线3x10y300的交点a(20,24)即生产甲、乙两种产品分别为20t,24t时，利润总额最大

16、zmax7201224428(万元).变式迁移6某工厂家具车间生产a、b型两类桌子，每张桌子需木工和漆工两道工序完成，已知木工做一张a、b型桌子分别需要1h和2h，漆工油一张a、b型桌子分别需要3h和1h；又知木工、漆工每天工作分别不得超过8h和9h，而工厂造一张a、b型桌子分别获得利润200元和300元，试问工厂每天应生产a、b型桌子各多少张，才能获得最大利润？解析设每天生产a型桌子x张，b型桌子y张，则目标函数为：z2x3y，作出可行域如图中阴影部分所示，把直线l：2x3y0向右上方平移到l的位置时，直线经过可行域上的点m，且与原点距离最大，此时z2x3y取最大值解方程组得m的坐标为(2,

17、3)每天应生产a型桌子2张，b型桌子3张才能获得最大利润.题型七线性规划中的整数解问题例7某运输公司有7辆载重量为6吨的a型卡车与4辆载重量为10吨的b型卡车，有9名驾驶员，在建造某高速公路中，该公司承包了每天至少搬运360吨土方的任务，已知每辆卡车每天往返的次数是：a型卡车为8次而b型卡车为6次每辆卡车每天往返的成本费用情况是：a型卡车160元，b型卡车252元，试问：a型卡车与b型卡车每天各出动多少辆时公司成本费用最低分析本题考查学生的数学建模能力及数形结合能力解题时一定注意最优解是整数解解析设每天出动的a型卡车数为x，则0x7，每天出动的b型卡车数为y，则0y4，因为每天出车的驾驶员最多

18、9名，则xy9，每天要完成搬运任务，则48x60y360，每天公司所花成本费用为z160x252y.本题即求满足不等式组且使z160x252y取得最小值的非负整数x与y的值不等式组表示的平面区域，即可行域如图所示，其可行域为四边形abcd区域(含边界线段)，它的顶点是a(，4)，b(7，)，c(7,2)，d(5,4)结合图象可知，在四边形区域上，横坐标与纵坐标都是非负整数的点只有p1(3,4)、p2(4,3)、p3(4,4)、p4(5,2)、p5(5,3)、d(5,4)、p6(6,2)、p7(6,3)、p8(7,1)，c(7,2)共10个点作直线l：160x252y0.将l向上方作平行移动，可

19、发现它与上述的10个点中最先接触到的点是p4(5,2)，所以在点p4(5,2)处，得到的z的值最小zmin160525221304.答：当公司每天出动a型卡车5辆，b型卡车2辆时，工司的成本费用最低.变式迁移7已知x，y满足目标函数为z3xy，求得x4，y0时，zmax12.但题中要求x、yn*，请调整一下最优解与目标函数的最大值解析0n*，x4，y0不在可行域内，不是最优解在可行域内z12时仅有x4，y0，z最大取不到12，x、yn*，z3xyn*，考虑z3xy11时取最大，而此时可行域内有x3，y2使z11，最优解为x3，y2，zmax11.题型八线性规划与其它知识的综合例8设不等式组所表

20、示的平面区域为dn，设dn内的整点个数为an(nn*)(整点即横坐标和纵坐标均为整数的点)(1)求数列an的通项公式；(2)记数列an的前n项和为sn，且tn，若对于一切正整数n，总有tnm，求实数m的取值范围解析(1)由x0，nx3ny0，得0x3，x1或x2.dn内的整点在直线x1或x2上记直线ynx3n为l，l与直线x1、x2的交点的纵坐标分别为y1、y2，则y1n3n2n，y22n3nn，an3n(nn*)(2)sn3(123n)，tn，tn1tn，当n3时，tntn1，且t11t2t3，t2，t3是数列tn的最大项，故mt2.点评本题把二元一次不等式组所表示的平面区域和数列综合在一起

21、，所考查的线性规划知识很浅显，也很简单，核心部分则是考查数列的有关知识.变式迁移8已知实系数一元二次方程x2(1a)xab10的两个实根为x1，x2，且0x11，x21，则的取值范围是()a(1，) b(1，c(2， d(2，)答案d解析本题看似与线性规划无关，但利用二次函数讨论一元二次方程的根的取值情况后，即可得到关于a、b的约束条件，目标函数即为过原点的直线的斜率记f(x)x2(1a)xab1，依题意得如图所示，可行域是以p(2,1)为顶点的角的内部记原点为o(0,0)，则动直线om(m为可行域内的点)的斜率的取值范围是(2，)，故选d.方 法 路 路 通规律方法勤探究高考成绩优中优1由于

22、直线axbyc0将平面分为两个区域，将直线axbyc0上的点的坐标代入axbyc计算结果为0，直线的同一侧的点的坐标代入axbyc计算结果同号，异侧的点的坐标代入axbyc计算结果符号相反，故不等式axbyc0(或0)表示的区域可以用坐标原点(0,0)确定(当直线不过原点时)，或用与原点类似的点确定(当直线经过原点时)2对于目标函数的最优解的理解，要注意直线axbyt上的点的坐标代入目标函数zaxby的计算结果均为t，故当t取得最值也即当直线平移至极限位置时目标函数取得最优解对于t同时也要注意其几何意义3线性规划的图解法及其应用图解法的步骤：(1)求可行解即可行域(2)作出目标函数的等值线目标

23、函数zaxby(a、br且a、b为常数)，当z是一个指定的常数时，就表示一条直线，位于这条直线上的点，具有相同的目标函数值z，因此称这条直线为等值线当z为参数时，就得到一族平行线，这一族平行线完全刻划出目标函数z的变化状态(3)作图，找出可行域，并结合图象求出最优解，最后一定要注意检验，考虑最优解是否符合实际意义4注意在作平面区域时，axbyc0和axbyc0，分别为虚线和实线5线性规划也常和截距、斜率、距离等联系求最值.正 误 题 题 辨学海暗礁常提醒逐波踏浪舟更轻例设二元一次不等式组所表示的平面区域为m，使函数yax(a0，a1)的图象过区域m的a的取值范围是()a1,3 b2，c2,9

24、d，9错解作出平面区域m如图中阴影部分所示求得a(2,10)，c(3,8)，b(1,9)由图可知，欲满足条件必有a1且图象在过a、c两点的图象之间当图象过a时，a210，a，当图象过c时，a38，a2，故a的取值范围为2，故选b.点击结合指数函数的图象知，图象应在过b、c两点的图象之间，为避免错误，也可把图象过a、b、c时的a值求出，再作比较得出a的范围正解作出平面区域m同错解求得a(2,10)，c(3,8)，b(1,9)由图可知，欲满足条件必有a1且图象在过b、c两点的图象之间当图象过b时，a19，a9.当图象过c时，a38，a2.故a的取值范围为2,9故选c.答案c知 能 层 层 练针对考点勤钻研金榜题名不畏难1不等式组所表示的平面区域的面积等于()a. b.c. d.答案c解