北京市西城区2017-2018学年高二数学上学期期末考试试题文

1、北京市西城区 2017-2018 学年高二上学期期末考试文科数学第卷（共 40 分）一、选择题：本大题共 8 个小题 , 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 .1. 直线 x y 3 0 的倾斜角为（ ）A30 B 45 C 60 D 1352. 命题“对任意 x 3，都有 ln x 1 ”的否定是（ ）A存在 x 3，使得 ln x 1 B 对任意 x 3，都有 ln x 1C存在 x 3，使得 ln x 1 D 对任意 x 3，都有 ln x 13. 双曲线2 2x y 1 的焦点到其渐近线的距离为（ ）2A1 B 2 C 2 D 24.

2、设 , 是两个不同的平面， a,b,c 是三条不同的直线， （ ）A若 a b,b c ，则 a / /c B 若 a / / ,b / / ，则 a / /bC若 a b,a ，则 b/ / D 若 a ,a ，则 / /5. “方程2 2x ym n1表示的曲线为椭圆”是“ m n 0”的（ ）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件6. 设 , 是两个不同的平面， l 是一条直线，若 l / / ,l / / , m ，则（ ）Al 与m 平行 B l 与m 相交 C l 与 m 异面 D l 与m 垂直7. 设拋物线2C : y 4x的焦点为 F ，

3、直线3l : x ，若过焦点 F 的直线与抛物线 C 相交于2A, B 两点，则以线段 AB 为直径的圆与直线 l 的位置关系为（ ）A相交 B 相切 C 相离 D 以上三个答案均有可能8. 设 为空间中的一条直线，记直线 与正方体ABCD A B C D 的六个面所在的平面相交1 1 1 1的平面个数为 m ，则 m 的所有可能取值构成的集合为（ ）A 2,4 B 2,6 C 4,6 D 2,4,6第卷（共 110 分）二、填空题（每题 5 分，满分 30 分，将答案填在答题纸上）9. 命题“若2 2 0a b ，则 a b ”的逆否命题为 10. 经过点 M 2,1 且与直线 3x y 8

4、 0垂直的直线方程为 11. 一个四棱锥的三视图如图所示，那么这个四棱锥的体积为 12. 在 ABC 中， AB 3, BC 4, AB BC . 以 BC 所在的直线为轴将 ABC 旋转一周，则旋转所得圆锥的侧面积为 13. 若双曲线 C 的一个焦点在直线 l : 4x 3y 20 0 上， 一条渐近线与 l 平行，且双曲线 C 的焦点在 x 轴上，则双曲线 C 的标准方程为 ；离心率为 14. 在平面直角坐标系中，曲线 C 是由到两个定点 A 1,0 和点 B 1,0 的距离之积等于 2 的所有点组成的 . 对于曲线 C ，有下列四个结论：曲线 C 是轴对称图形；曲线 C 是中心对称图形；

5、曲线 C 上所有的点都在单位圆2 2 1x y 内；曲线 C 上所有的点的纵坐标1 1y , .2 2其中，所有正确结论的序号是 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 80 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . ）15. 如图，在正三棱柱ABC A B C 中， D 为 AB 的中点 .1 1 12（1）求证： CD 平面ABB A ；1 1（2）求证：BC1 / / 平面 A1CD .16. 已知圆2 2C : x y 6x 8y m 0，其中 m R.（1）如果圆 C 与圆2 2 1x y 相外切，求 m 的值；（2）如果直线 x y 3 0 与圆 C 相交所得的弦长为 2 7

6、 ，求 m 的值.17. 如 图 ， 在 四 棱 柱ABCD A B C D 中 ， AA1 平 面 ABCD ，1 1 1 1AB / /CD , AB AD, AD CD 1， AA1 AB 2 ， E 为 AA1 的中点 .（1）求四棱锥C AEB B 的体积；1（2）求证： BC C1E ；（3）判断线段B C 上是否存在一点 M ( 与点 C 不重合），使得 C,D, E, M 四点共面 ? (结论不1要求证明）18. 设 F 为拋物线2C : y 2x 的焦点， A, B 是拋物线 C 上的两个动点 .（1）若直线 AB 经过焦点 F ，且斜率为 2，求 AB ；（2）若直线 l

7、: x y 4 0 ，求点 A 到直线 l 的距离的最小值 .19. 如图，在多面体 ABCDEF 中，底面 ABCD 为正方形，四边形 BDEF 是矩形，平面 BDEF3平面 ABCD.（1）求证：平面 ACF 平面 BDEF ；（2）若过直线 BD 的一个平面与线段 AE和 AF 分别相交于点 G 和 H ( 点G 与点 A, E 均不重合），求证： EF / /GH ；（3）判断线段 CE 上是否存在一点 M ，使得平面 BDM / / 平面 AEF ?若存在， 求EMEC的值；若不存在，请说明理由 .20. 已知椭圆2 2x yC : 1 a b 02 2a b的一个焦点为 5,0 ，

8、离心率为53. 点 P 为圆2 2M : x y 13 上任意一点， O为坐标原点 .（1）求椭圆 C 的标准方程；（2）设直线 l 经过点 P 且与椭圆 C 相切， l 与圆 M 相交于另一点 A ，点 A 关于原点 O的对称点为 B ，证明：直线 PB 与椭圆 C 相切 .4答案一、选择题1-5: BCADB 6-8: ACD二、填空题9. 若 a b，则2 2 0a b 10. x 3y 5 0 11. 112. 15 13.2 2x y9 161，5314. 三、解答题15. （1）证明：因为正三棱柱ABC A B C ， D 为 AB 的中点，1 1 1所以 CD AB,AA 底面

9、ABC .1又因为 CD 底面 ABC ，所以AA CD .1又因为 AA1 AB A , AB 平面 ABB1A1 ， AA1 平面 ABB1 A1 ，所以 CD 平面ABB A .1 1（2）证明：连接 AC1 ，设 A1C AC1 O , 连接 OD ，由正三棱柱ABC A B C 得, AO OC1 ，1 1 1又因为在 ABC1 中， AD DB ,所以 OD / / BC1 ,又因为BC 平面 A1CD ， OD 平面 A1CD ,1所以 BC1 / / 平面 A1CD .16. （1）解：将圆 C 的方程配方，得2 2x 3 y 4 25 m ，5所以圆 C 的圆心为 3,4 ，

10、半径 r 25 m m 25 .因为圆 C 与圆2 2 1x y 相外切，所以两圆的圆心距等于其半径和，即2 23 0 4 0 1 25 m ，解得 m 9 .（2）解：圆 C 的圆心到直线 x y 3 0 的距离3 4 3d 2 2 .2因为直线 x y 3 0 与圆 C 相交所得的弦长为 2 7 ，所以由垂径定理，可得2 22 25 2 2 7r m ，解得 m 10.17. （1）解：因为AA 平面 ABCD, AD 平面 ABCD ,1所以AA AD .1又因为 AB AD, AA1 AB A ，所以 AD 平面ABB A .1 1因为 AB / /CD ，所以四棱锥C AEB B 的

11、体积11V S四边形 ADC AEB B AEB B1 131 13 21 2 2 1 1.（2）证明：在底面 ABCD 中，因为 AB / /CD ， AB AD, AD CD 1，AB 2 ,所以 AC 2, BC 2 ,所以2 2 2AB AC BC , 即 BC AC .因为在四棱柱ABCD A BC D 中， A A1 平面 ABCD，1 1 1 1所以CC BC ，1又因为CC AC C ,1所以 BC 平面CAEC ,1又因为 C1E 平面 CAEC1 ,所以BC C E .16（3）答：对于线段B C 上任意一点 M ( 与点 C 不重合 ) ，C, D,E,M 四点都不共面

12、.118. 解：由题意，得1F ,0 ，则直线 AB 的方程为2 1y 2 x . 21y 2 x由 ，消去 y ，得22y 2x,24x 6x 1 0 .设点A x1, y1 ,B x2 , y2 ，则 0, 且3 1x x , x x ，1 2 1 22 4所以52AB 5 x x 5 x x 4x x .1 2 1 2 1 22（2）解：设 A x0, y0 ，则点 A 到直线 l 距离 x0 y0 4d . 2由 A 是抛物线 C 上的动点，得2y0 2x0 ，所以2 1 22 2d y y 4 y 1 7 ，0 0 02 2 2所以当7 2y0 1 时， dmin .4即点 A 到直

13、线 l 的距离的最小值7 24.19. （1）证明：因为四边形 ABCD 是正方形，所以 AC BD .又因为平面 BDEF 平面 ABCD, 平面 BDEF 平面 ABCD BD ,且 AC 平面 ABCD,所以 AC 平面 BDEF .又因为 AC 平面 ACF ,所以平面 ACF 平面 BDEF .（2）证明：由题意， EF / / BD , EF 平面 BDGH ， BD 平面 BDGH ,所以 EF / / 平面 BDGH ,又因为平面 EF 平面 AEF , 平面 AEF 平面 BDGH GH ,所以 EF / /GH .7（3）答：线段 CE 上存在一点 M ，使得平面 BDM

14、/ / 平面 AEF ，此时 EM 1EC 2.以下给出证明过程 .证明：设 CE 的中点为 M , 连接 DM ,BM ,因为 BD / / EF , BD 平面 AEF ， EF 平面 AEF ,所以 BD / / 平面 AEF .设 AC BD O ，连接 OM ，在 ACE 中，因为 OA OC ,EM MC ,所以 OM / /AE ，又因为 OM 平面 AEF , AE 平面 AEF ,所以 OM / / 平面 AEF .又因为 OM BD O ，OM , BD 平面 BDM ,所以平面 BDM / / 平面 AEF .20. （1）解：由题意，知c 5,ca53，所以2 2a 3

15、,b a c 2 ，所以椭圆 C 的标准方程为2 2x y9 41 .（2）证明：由题意，点 B 在圆 M 上，且线段 AB 为圆 M 的直径，所以 PA PB .当直线 PA x 轴时，易得直线 PA的方程为 x 3，由题意，得直线 PB的方程为 y 2 ，显然直线 PB与椭圆 C 相切 .同理当直线 PA/ /x 轴时，直线 PB也与椭圆 C 相切.当直线 PA与 x 轴既不平行也不垂直时，8设点 P x0, y0 , 直线 PA的斜率为 k ，则 k 0 ，直线 PB 的斜率1k，1所以直线 PA : y y0 k x x0 ，直线 0 0PB : y y x xk，由y y k x x,0 0x y 消去 y ，得2 21,9 422 29k 4 x 18 y kx kx 9 y kx 36 0 .0 0 0 0因为直线 PA与椭圆 C 相切，所以2 2 218 y kx k 4 9k 4 9 y kx 36 0，0 0 0 0整理，得2 2 21 144 x0 9 k 2x0 y0k y0 4 0 . （1）同理，由直线 PB 与椭圆 C 的方程联立，得1 12 2144 x 9 2x y y 42 0 2 0 0