江苏省2019高考数学一轮复习突破140必备专题07直线与圆、圆与圆、阿波罗尼斯圆(隐形圆)问题学案

1、专题 07 直线与圆、圆与圆、阿波罗尼斯圆（隐形圆）问题知识点归纳：一、 圆的标准方程 ： (xa)2( y b) 2r 2 ，圆心 (a, b) ，半径 r圆的一般方程 ： x2y2dxey f0当 d 2e 24f0时，才能表示圆，圆心(d ,e ) ，半径 rd 2e 24f4224当 d 2e 24f0，表示一个点 (d ,e )422当 d 2e 24f0，不表示任何图形4二、直线与圆的位置关系设圆的标准方程：(x a)2( yb)2r 2 ，直线方程：axby c0判别方法 1：设圆心到直线的距离为d ，若 d r ，直线与圆相离；若dr ，直线与圆相切；若 d r ，直线与圆相交

2、；判别方法 2：将直线与圆联立方程组消元得到一个关于x 或者 y 的一元二次方程， 若0 ，直线与圆相交；若0 ，直线与圆相切；若0 ，直线与圆相离；三、圆与圆的位置关系设圆的方程 c1 : x 2y2d1 xe1 yf1 0 ， c2 : x2y2d 2 x e2 yf2 0圆 c1,c2 的圆心距为 d ， c1 的半径为 r1 ， c2 的半径为 r2若 dr1r2 ，两圆相外离；若dr1r2 ，两圆相外切；若 r1 r2d r1 r2 ，两圆相交；若 dr1r2 ，两圆相内切；若dr1r2 ，两圆相内含；四、圆系方程 设 直 线 ax by c0 与 圆 x2y2dx eyf 0 相

3、交 ， 则 过 两 交 点 的 圆 的 方 程 为x2y 2dx ey f( ax byc ) 0设圆 c1 : x2y2d1xe1 y f10，圆 c2 : x2y2d2 x e2 y f2 0 相交，则过两交点的圆的方1 / 8程为 x2y2d1xe1 yf1（ x2y2d 2 xe2 yf2） 0注：1时，表示过两交点的圆；1 时，表示过两交点的直线方程，即圆与圆的相交弦所在的直线方程以 a(a, b) ， b(c, d) 为直径端点的圆的方程(xa)( xc)( yb)( yd )0五、阿波罗尼斯圆动点 p 到两定点 a, b 的距离的比值为一定值，即papb ，且1的点的轨迹是圆 .

4、当1 时，动点 p 的轨迹为线段ab 的垂直平分线，将其称之为阿波罗尼斯圆江苏高考中每年都会有圆的试题，填空题和解答题甚至应用题中都有可能出现，考点也不外乎上述的知识点总结，下面我们通过实例来看看每个知识点的考法。例 1、（ 2013 江苏卷 17）如图，在平面直角坐标系xoy 中，点 a(0,3) ，直线 l : y2x 4。设圆 c 的半径1l上。为 ，圆心在（ 1）若圆心 c 也在直线 yx 1上，过点 a 作圆 c 的切线，求切线的方程；（ 2）若圆 c 上存在点 m ，使 ma 2mo ，求圆心 c 的横坐标 a 的取值范围 .yalox考点： 圆的切线方程，阿波罗尼斯圆，圆与圆的位

5、置关系2 / 8解：（ 1）由y2x4(3,2) ，圆 c 的半径为 1yx1得圆心 c 为圆 c 的方程为： ( x3)2( y2) 21显然切线的斜率一定存在，设所求圆 c 的切线方程为 ykx3 ，即 kxy 30 3k 2 31 3 1k21 2k(4k3)0k0或者k3k 21k4所求圆 c 的切线方程为：y 3或者 y3x 3 即 y3 或者 3x 4 y1204（ 2）圆 c 的圆心在在直线l : y2x4 上，所以，设圆心c 为 (a,2a4)则圆 c 的方程为： ( xa) 2y(2a4) 21又 ma2mo 设 m为（x,y ）则x2( y3) 22x2y 2 整理得： x

6、2( y 1)24 设为圆 d 点 m 应该既在圆 c 上又在圆 d 上，即圆 c 和圆 d 有交点 2 1a2(2a4) ( 1) 22 1由 52880得x raa由 5212a0得 012ax5终上所述， a 的取值范围为：0,125例 2 、（ 2016年 江 苏 高 考18 ） 如 图 ， 在 平 面 直 角 坐 标 系 xoy 中 ， 已 知 以 m 为 圆 心 的 圆 m ：x2y212x14 y600 及其上一点 a 2,4 y（ 1）设圆 n 与 x 轴相切，与圆 m 外切，且圆心n 在直线 x6 上，求圆 n 的标准方m程；a（ 2）设平行于 oa 的直线 l 与圆 m 相

7、交于 b,c 两点，且 bcoa ，求直线 l 的方程；ox（ 3）设点 tt,0满足： 存在圆 m 上的两点 p 和 q ，使得 tatptq ，求实数 t的取值范围考点：圆的标准方程，直线与圆相交、相切解：（ 1）因为 n 在直线 x6 上，设 n 6, n ，因为与 x 轴相切，则圆n 为22x 6y nn2 ，3 / 8n 0 ，又圆 n 与圆 m 外切，圆 m ： x622，则 7n n 5 ，解得 n1 ，x 725即圆 n 的标准方程为x2y2611（ 2）由题意得 oa2 5， koa2设 l : y2 x12 7b5 bb ，则圆心 m 到直线 l 的距离 d1，22522则

8、 bc 2 52d 22 255 b， bc2 5 ，即 2 255 b2 5 ，55解得 b 5 或 b15，即 l ： y2x5 或 y2x15 例 3、（ 2017 江苏高考 13）在平面直角坐标系xoy 中， a( 12,0)， b(0,6) ，点 p 在圆 o : x2y250 上，若 pa pb20 ，则点 p 的横坐标的取值范围是考点： 圆的轨迹，圆与圆相交交点解：设 p(x, y) ，则 pa(12x,y) ， pb( x,6 y)因为 pa pb20 ，所以x(12x)y( y6)20 ，化简得 ( x6)2( y 3)265故 p 点的轨迹表示为圆 ( x6) 2( y3)

9、 265 上的点和园内的所有点圆 o : x2y 250 与圆 ( x6) 2( y3) 265 相交的交点横坐标通过联立两圆的方程解得交点横坐标为x5 或 x1结合图像可得点p 的横坐标范围为52,1例 4、（2017 六市高三二模18）一缉私艇巡航至距领海边界线l （一条南北方向的直线）3.8 海里的 a 处，发现在其北偏东30 方向相距 4 海里的 b 处有一走私船正欲逃跑，缉私艇立即追击 已知缉私艇的最大航速4 / 8是走私船最大航速的3 倍假设缉私艇和走私船均按直线方向以最大航速航行（ 1）若走私船沿正东方向逃离，试确定缉私艇的追击方向，使得用最短时间在领海内拦截成功；（参考数据：s

10、in17 3，335.7446 ）6（ 2）问：无论走私船沿何方向逃跑，缉私艇是否总能在领海内成功拦截？并说明理由考点（ 2）阿波罗尼斯圆北l领海 公海解：（ 1）设缉私艇在 c 处与走私船相遇（如图1），b依题意， ac3bc 30在 abc 中，由正弦定理得，asin bacbc sinabcsin1203ac36因为 sin173 ，所以bac176从而缉私艇应向北偏东47方向追击。在abc 中，由余弦定理得，bccos120 42bc2ac2，解得 bc1331.686158 bc4又 b 到边界线 l 的距离为3.84sin301.8 a图 1因为 1.686151.8 ，所以能在领

11、海上成功拦截走私船（ 2）如图2，以 a 为原点，正北方向所在的直线为y 轴建立平面直角坐标系xoy 则 b 2，23 ，设缉私艇在p( x ，y) 处（缉私艇恰好截住走私船的位置）与走私船相遇，则pa3，即pbx2y2yl3( x 2) 22领海 公海y2 322整理得，x9y939，b444所以点 p( x ，y) 的轨迹是以点9 ，93为圆心， 3为半径的圆60442因为圆心9 ，93到领海边界线 l ： x3.8的距离为 1.55 ，大于圆半径 3a图2x，442所以缉私艇能在领海内截住走私船答：（ 1）缉私艇应向北偏东 47 方向追击；（ 2）缉私艇总能在领海内成功拦截走私船1、（

12、2017 盐城高三三模 13）已知 a, b,c , d 四点共面， bc2 ， ab2ac220 ，cd3ca ，则 | bd |5 / 8的最大值为考点： 圆的轨迹2、（ 2017 苏北四市高三上学期期中17）如图，在平面直角坐标系xoy 中，已知圆 c : x2y24 x0 及点a( 1,0) ， b(1,2) （ 1）若直线 l 平行于 ab ，与圆 c 相交于 m ， n 两点， mnab ，求直线 l 的方程；（ 2）在圆 c 上是否存在点p ，使得 pa2pb212 ？若存在，求点p 的个数；若不存在，说明理由考点： 直线与圆位置关系，圆的轨迹，圆与圆位置关系解：（ 1）圆 c

13、的标准方程为 ( x2)2y 24，所以圆心 c(2,0) ，半径为 2 因为 lab ， a( 1,0) ， b(1,2) ，所以直线 l的斜率为2011( 1)设直线 l 的方程为 xym 0则圆心 c 到直线 l 的距离为 d20m2 m22因为 mnab222222 ，而 cm 2d 2( mn ) 2 ，所以 4(2m)2222解得 m0 或 m4，故直线 l的方程为 xy0 或 xy406 / 83、（ 2016 南通高三一模11）在平面直角坐标系xoy 中，点 a(1,0), b(4,0) . 若直线 xym0 上存在点 p ，使得 pa1 pb , 则实数 m 的取值范围是2考点： 阿波罗尼斯圆，直线与圆的位置关系解： 设 p(x, y) ，因为 pa1 pb ，所以( x1)2y21( x4)2y2化简得22x2y24，直线与圆有交点， d r ，即 m2 ，所以 m22 ,2224、（2016扬州高三期中 19）已知直线 x 2 y20 与圆 c : x2y24ym0 相交，截得的弦长为2 5 5（ 1）求圆 c 的方程；（ 2）过原点 o 作圆 c 的两条切线，与抛物线yx2 相交于 m 、 n 两点（异于原点） 证明：直线mn 与圆 c 相切；（ 3）若抛物线yx2 上任意三个不同的点p 、 q