第2课时与三角形有关的线段（二）

1、第2课时 与三角形有关的线段（二）,学习目标1,。会用工具准确画出三角形的高、中线与角平分线，通过画图了解三角形的三条高（或其所在直线），三角形的三条中线，三条角平分线都交于一点，知道三角形的稳定性；2.通过小组合作，独立思考，展示质疑，培养实际动手操作能力；3.激情投入，主动探究，发展动手操作能力.,重点：（1）了解三角形的高、中线与角平分线的概念，会用工具准确画出三角形的高、中线与角平分线；（2）了解三角形的三条高（或其所在直线）、三条中线，三条角平分线都交于一点 难点：（1）三角形角平分线与角平分线的区别，三角形的高于垂线的区别；（2）钝角三角形高的画法；（3）不同的三角形三条高的位置关

2、系,预习案 使用说明与学法指导 1.用15分钟左右的时间，阅读探究课本的有关三角形的高、中线和角平分线的内容；2.完成教材助读设置的问题，然后结合课本的基础知识和例题，完成预习自测及我的疑惑栏目；3.将预习中不能解决的问题标出来，并写到后面“我的疑惑”处.,一 旧知回顾,学习建议 请同学们认真回顾下面的几个问题，对于正确理解三角形的三种重要线段有很大的帮助,如何过一点画已知直线的的垂线？可分为几个步骤？,2什么是角的平分线？,3.线段的垂线是怎么定义的？,二 教材助读,请同学们认真 阅读课本，动脑思考回答；、,一个三角形各有几条高、中线和角平分线？,三角形的高、中线和角平分线是射线、直线还是线

3、段？,三三角形的三条高所在的直线是否能交于一点？如果能，说出交点的位置.,三角形的三条中线、角平分线是否能分别交于一点？如果能，说出交点的位置,三 预习自测,学习建议 自测体现一定的基础性，又有一定的思维含量，只有“细心才对，思考才会”,一个三角形有3条高，3条中线，3条角平分线,如图1所示，1=2，E是AD的中点，DGAC于G，则图中ABC的角平分线是AD，ABD的中线是BE，DG是ACD的边AC上的高.,试问把一 个三角形分成两个面积相等的三角形，有几种方法？,解：3种,我的疑惑？请你将预习中未能解决的问题和有疑惑的问题写下来，待课堂上与老师和同学探究解决。,探究案,一 学始于疑-我思考、

4、我收获,1.三角形的高、中线和角平分线是线段还是射线或是直线？,2.锐角三角形，直角三角形和钝角三角形的三条高、中线、角平分线分别位于三角形的哪里？,3.你能用几何语言描述三角形的高、中线和角平分线吗？,学习建议 请同学用5分钟时间认真思考这些问题，并结合预习中自己的疑惑开始下面的探究学习.,二 质疑探究-质疑解疑、合作探究,（一）基础知识探究,教学建议 本节课的重点是要结合图形，直观地给出三角形的角平分线、高和中线的概念；通过练习，熟悉作图方法和计算，更重要的是应该让学生主动去探索，自己去感受.,探究点一 三角形的高,问题1：什么是三角形的高？,答案：从三角形的一个顶点到它所对的边所在直线的

5、垂线段叫做三角形该边上的高.,问题2：你能用三角尺分别作出图2中锐角三角形，直角三角形和钝角三角形的各边上的高吗？,答案：如图3.,问题3：观察你所作的图形，与同伴交流后回答下列问题,第一个三角形的三条高之间有怎样的位置关系？锐角三角形的三条高是在三角形的内部还是外部？,第二个三角形的三条高之间有怎样的位置关系？,钝角三角形的三条高交于一点吗？,钝角三角形的三条高所在的直线交于一点吗？,答案：（1）三条高交于同一点；锐角三角形的三条高都在三角形的内部（2）直角三角形的三条高交于直角顶点（3）钝角三角形的三条高不相交于一点（4）钝角三角形的三条高所在的直线交于一点.,归纳总结：三角形的高是线段，

6、一个三角形一共有3条高，三角形的三条高或其所在直线交于一点,探究点二 三角形的中线,问题1：什么是三角形的中线？,答案;；三角形中，链接一个顶点与它对边中点的线段叫做三角形该边上的中线，如图4所示，因为点E是BC的中点，所以线段AE就是ABC的BC边上的中线.,问题2：任意一个三角形，然后利用刻度尺画出这个三角形三条边上的中线，你发现了什么？,答案：三角形的三条中线相交于一点，交点在三角形的内部.,问题3：三角形的中线与三角形的位置的关系是否会像三角形的高那样受三角形的形状的影响？,答案：不会,问题4：由三角形的中线的定义的描述我们可以得到什么关系式？,答案：因为AD是ABC的中线，所以BD=

7、CD=12BC.,问题5：三角形的中线将三角形分成两个三角形，这两个三角形的面积之间有什么关系/,答案：相等,归纳总结：三角形的中线是条线段，三角形的三条中线交于一点，交点在三角形的内部.三角形的一条中线将三角形分成了面积相等的两部分.,探究点三 三角形的角平分线,问题1：什么是三角形的角平分线？,答案：三角形中，一个角的平分线与这个角的对边相交，顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线，如图5，ABC中，1=2.线段AD就是ABC的一条角平分线.,问题2：任意画一个三角形，然后利用量角器画出这个三角形三个角的角平分线，你发现了什么？,答案：三角形的三条角平分线相交于一点，交点在三角形的内部,

8、问题3;三角形的角平分线与三角形的位置的关系是否会像三角形的高那样受三角形的形状的影响？,答案：不会，不管是锐角三角形，直角三角形还是钝角三角形，角平分线都在三角形的内部.,问题4：由三角形的角平分线的定义的描述我们可以得到什么关系式？,答案：因为AD是ABC的角平分线，所以BAD=CAD=12BAC.,归纳总结：三角形的角平分线、中线、高都是线段，与角的平分线是射线，垂线是直线这些概念之间是有区别的，在理解和做题时应该注意.,（二）知识综合应用探究,探究点一 三角形的高和角平分线的综合应用,如图6，在ABC中，AD是ABC的高，AE是ABC的角平分线.已知BAC=82，C=40，求DAE的大

9、小.,解：因为AE是ABC的角平分线，且BAC=82，所以EAC=1/2BAC=41.,因为AD是ABC的高，所以ADC=90.因为DAC+ADC+C=180，,所以DAC=180-ADC-C=180-90-40=50，所以DAE=DAC-EAC=50-41=9.,探究点二 三角形的中线和三角形的面积的综合应用,【例2】在ABC中，AE，AD分别是BC边上的中线和高.说明ABE的面积与AEC的面积相等.,解：因为AE是BC边上的中线，所以BE=EC；又因为SABE=1/2BEAD；SAEC=1/2ECAD；所以SABE=SAEC.,规律方法总结：三角形的一条中线将三角形分成了面积相等的两部分.

10、,三 我的只是网络图-归纳梳理、整合内化,三角形的,重要线段 定义 图形 表示法,从三角形的一个顶点向它的对边 1.AD是ABC的BC边上的高.,三角形 所在的直线作垂线，顶点和垂足之 2.ADBC与D.,的高 间的线段 3.ADB=ADC=90.,三角形 三角形中，连接一个顶点和它对边 1.AE是ABC的BC边上的中线.,的中线 中点的线段 2.BE=EC=1/2BC.,三角形的 三角形一个内角的平分线与它的 1.AM是ABC的角平分线.,角平分线 对边相交，这个角顶点与交点之间 2.1=2=1/2BAC.,的线段,四 当堂检测-有效训练、反馈矫正,1.图7的各组图形中，AD是ABC的高的是

11、（D）,2. 如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（B）,A锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形,3.在ABC中，若点D是BC的中点，设ABC的面积为S，则ACD的面积为1/S.,训练案,一 基础巩固题,1.三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性.,2.分别指出图8中ABC的三条高.,图8（1）中，直角边AB上的高是BC；直角边BC上的高是AB；斜边AC上的高是BD；,图8（2）中，在钝角三角形ABC中，AB边上的高是CE，AC边上的高是BF，BC边上的高是AD.,二 综合应用题,3.如图9，D、E是边AC的三等分点，图中有6个三角形，BD是三

12、角形ABE中AE边上的中线；BE是三角形BDC中CD边上的中线.,4.已知：如图10.AD、AE分别为ABC的中线、高，且AB=5cm，AC=3cm，则ABD与ACD的周长之差是2cm，ABD的面积与ACD的面积的大小关系是相等.,5.如图11，在ABC中，BAC=90，ADBC，则图中互为余角的角有几对？,解：4对.,三 拓展探究题,6.（探索创新题）三角形的三边长分别为15cm，20cm和25cm那么这个三角形三条边上的高的比为（A）,A.20:15:12 B.12:15:20 C.25:20:15 D.15:20:25,点拨：因为是同一个三角形，所以面积是相等，设为S，设15cm，20c

13、m,25cm的三边所对应的三条高分别为h1,h2,h3,则有15h1=20h2=25h3,所以h1:h2:h3=20:15:12.,7.如图12，ACBC，CDAB，DEBC，则下列说法中错误的是（C）,A在ABC中，AC是BC边上的高。,B在BCD中，DE是BC边上的高.,C.在ABE中，DE是BE边上的高.,D在ACD中，AD是CD边上的高.,点拨：应用三角形高的概念进行判断.,8.判断对错.,（1）三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.（）,（2）三角形的角平分线、中线、高都是线段（）,（3）只有一条高在三角形的内部的三角形是钝角三角形（）,（4）三角形三条角平分线、三条中线都在三

14、角形内部（）,点拨：本题考查最基本的概念，做题时应当细心,9.在ABC中，AB=AC，AC上的中线BD把ABC的周长分为24和30两部分，求三角形的三边长.,解：AB、AC为腰，BC为底.（1）当ABBC时，AB+AC+BC=30+24，即BC=54-2AB，又有AB+1/2AC=30，BC+1/2AC=24，有AB-BC=6，所以AB-（54-2AB）=6.,解得：AB=20，BC=54-220=14.,故三角形三边长分别为20，20，14.,（2）当BCAB时，,AB+AC+BC=54，即BC=54-2AB，,又有BC-AB=6，,即54-2AB-AB=6，解得AB=16，BC=54-21

15、6=22,故三角形三边长分别为16，16，22.,7.2 与三角形有关的角,第1课时 三角形的内角,学习目标1.熟练掌握三角形的内角和定理，并能熟练地应用其解决几何问题；2.通过小组合作，独立思考，展示质疑，进一步培养学生的图形意识；3.激情投入，主动探究。发展辩证思想能力及主动探究的能力.,重点：三角形内角和定理 难点：三角形内角和定理的应用.,预习案 使用说明与学法指导 1.用15分钟的左右的时间，阅读探究课本的有关三角形内角和定理的证明和应用的知识；2.完成教材助读设置的问题，然后结合课本的基础知识和例题，完成预习自测及我的疑惑栏目；3.将预习中不能解决的问题标出来，并写到后面“我的疑惑

16、处,一 旧知回顾,学习建议 请同学们认真回顾下面的几个问题，对于正确理解三角形的内角和定理的证明有很大的帮助。,分别说说什么叫做锐角、直角、钝角？,指出图1中各是什么角？,你能描述一下平行线的性质吗？,三角形按角分类，可分为哪几类？,二 教材助读,请同学们认真阅读课本，动脑思考后回答；,你是如何得到三角形三个内角之间的关系的？,三角形三个内角之间有什么关系？,三 预习自测,学习建议 自测题体现一定的基础性，又有一定的思维含量，只有“细心才对，思考才会”。,在ABC中，,（1）C=90，A=30，则B=60,（2）A=50，B=C，则B=65,（3）AC=25，BA=10，则B=75,2.一个三

17、角形中最多有1个内角是钝角，最多有3个内角是钝角。,我的疑惑？请你将预习中未能解决的问题和有疑惑的问题写下来，待课堂上与老师和同学探究解决。,【信息链接】,国际数学家大会,国际数学家大会是国际数学界四年一度的盛会.首次会议于1897年在瑞士苏黎士举行.以后，除了两次世界大战期间曾停顿外，一般是四年召开一次.,国际数学家大会每次都邀请一批杰出数学家分别在大会上作一小时的学术报告和学科组的分组会上左45分钟的学术报告，凡是出席国际数学家大会的数学家都可以申请在分组会上作10分钟的学术报告.一般分为20个左右的学科组.每次国际数学家大会的开幕式上，由国际数学联合会领导人宣布该届菲尔兹奖获奖者名单，颁

18、发金质奖章和奖金，并由他人分别在大会上报告获奖者的工作，从1983年召开的国际数学家大会开始，同时颁发奖励信息科学方面的奈望林纳奖.1998年在德国柏林举行的第23届国际数学家大会上，国际数学家联合会决定设置高斯奖这一奖项.,探究案,导入新课 我们知道，任意一个三角形的内角和等于180，那么我们怎样证明这个结论呢？,一 学始于疑 -我思考、我收获,1.你能不需要知道每个角的度数，就能判断出三角形按角分类属于哪一类吗？,2.三角形的内角和是180都有哪些应用/,3.一个三角形中能不能有两个直角或两个钝角？会不会有一个平角？,学习建议 请同学用5分钟时间认真思考这些问题，并结合预习中自己的疑惑开始

19、下面的探究学习.,二 质疑探究-质疑解疑、合作探究,（一）基础只是探究,教学建议 对于三角形内角和 定理的探究过程中，应让学生通过小组合作学习，实际操作主动探究出结果，而不应直接告之结果.,探究点 三角形内角和定理,【实例】如图2，直线DE经过点A，DEBC，B=m，C=n，求证B+BAC+C=180？,思考1；DAB等于多少度？为什么？,思考2；EAC等于多少度？为什么？,思考3；等于多少度？,证明；如图3所示，,DEBC（已知），,1=B，3=C（两直线平行，内错角相等）.,1+2+3=180（平角定义），,B+2+C=1+2+3=180（等量代换）,归纳总结；三角形三个内角的和等于180

20、,（二）知识综合应用探究,探究点一 三角形内角和定理的应用,已知；如图4，ABC中，BDAC，垂足为D，ABD=54，DBC=18，求A和C的度数.,解；由于BDAC（已知），,所以ADB=CDB=90.,在ABD中，,因为A+ADB+ABD=180（三角形的内角和是180 ），,ABD=54，ADB=90.,所以A=180ADBABD=36.,同理，在ABC中，,C=180A（ABD+DBC）=72.,规律方法总结；三角形的内角和为180，已知其中任意两个角可以求出另外一个角.,探究点二 直角三角形的两个锐角互余,已知ABC是直角三角形，且C=90，那么你能说明在ABC中，A和B是什么关系吗

21、？,思考；你知道A+B+C的值是多少吗？,解题指导；本题利用三角形的内角和为180很容易求解.,解；在ABC中，因为A、B和C是三角形的三个内角，,所以A+B+C=180.又因为C=90，所以A+B=90.A和B互余.,归纳总结；这可作为三角形内角和定理的一个推论，在今后做题过程中可以直接来应用.,拓展提升；在ABC中，C=ABC=4A，BD是AC边上的高，求DBC的度数.,解；ABC中，设A= ，则,C=ABC=4 ，,所以 +4 +4 =180（三角形内角和为180），,所以 =20，,所以C=4 =80.,在BCD中，BDC=90，,则DBC=90-C=10（直角三角形两锐角互余）.,规

22、律方法总结；综合应用三角形内角和定理及其推论.,三 我的知识网络图-归纳梳理、整合内化,三角形内角和定理,三角形的内角-定理证明,定理应用,四 当堂检测-有效训练、反馈矫正,1.如果三角形的一个内角等于其他两个内角的差，这个三角形是（C）,A.锐角三角形 B.钝角三角形,C.直角三角形 D.斜三角形,2.判断对错.,（1）锐角三角形中最大的角一定小于90度。（）,（2）所有的等边三角形都是锐角三角形（）,（3）所有的等腰三角形都是锐角三角形（）,（4）等腰三角形有两个角是相等的（）,（5）三个角都相等的三角形一定是等边三角形（）,（6）直角三角形一定不是等腰三角形（）,3.按角分类，判断下面图

23、5中的三角形各属于哪种三角形？,解；直角三角形；锐角三角形；锐角三角形；钝角三角形；直角三角形；锐角三角形.,有错必改_,【的收获】（反思静悟、体验成功）_,课堂小结；知识方面；三角形的内角和定理及其证明和应用.,数学思想方面；数形结合思想，转化与化归思想。,训练案,一 基础巩固题,1.若ABC的三个内角，满足关系式B+C=3A，则这个三角形（A）,A.一定有一个内角为45 B.一定有一个内角为60 C.一定是直角三角形 D.一定是钝角三角形,2.如图6，A=70,B=30，C=20，则BOC=120,二综合应用题,已知如图7，A=32，B=45，C=38，则DFE等于（B）,A.120 B.

24、 115 C.110 D.105,点拨；在AEC中，A=32，C=38，所以AEC=180-A-C=110，所以AEB=180-110=70，所以在BEF中，BFE=180-70-45=65，所以DFE=180-65=115.,已知；ABC中，ABC和ACB的平分线BD，CE相交于点O,ABC=40，ACB=80，求BOC的度数.,解；因为BD,CE分别平分ABC和ACB.所以ABD=CBD=1/2ABC=20，ACE=BCE=1/2ACB=40，在BOC中，BOC=180-CBD-BCE=180-20-40=120.,三 拓展探究题,5.（2010，东阳）已知等腰三角形的一个内角为40，则这

25、个等腰三角形的顶角为（C）,A.40 B.100 C.40或100 D.70或50,点拨；等腰三角形的两个底角是相等的，40角可能为顶角，也可能为底角，注意分类考虑.,如图8，D是ABC的BC边上的一点，且1=2，3=4，BAC=63，则DAC=24.,7.（2010，东阳）如图9，D是AB边上的中点，将ABC沿过D的直线折叠，使点A落在BC上F处，若B=50，则BDF=80.,8.（探索创新题）在中，A+B=C，B=2A，,（1）求A、B、C的度数；,（2）ABC按边分类，属于什么三角形？ABC按角分类，属于什么三角形？,解；（1）因为A+B=C,所以A+B+C=2C=180，所以C=90，

26、A+B=90，又因为B=2A，所以3A=90，所以A=30，B=60；,（2）ABC按边分类，属于不等边三角形，ABC按角分类，属于直角三角形.,点拨；本题主要考查了三角形的内角和定理，并且还要根据确定的结果进一步确定出三角形的形状，综合性较强，做题时应当细心.,第2课时 三角形的外形,学习目标1.掌握三角形的外角的概念和性质，学会运用简单的定理来计算三角形相关的角；2.通过观察和动手操作，体会探索过程，学会推理的数学思想方法；3.培养主动探索、勇于发现，敢于实践及合作交流的习惯.,重点；三角形外角的概念和性质 难点；与外角有关的计算,预习案 使用说明与学法指导 1.用15分钟左右的时间，阅读

27、探究课本的有关三角形外角的内容；2.完成教材助读设置的问题，然后结合课本的基础知识和例题，完成预习自测及我的疑惑栏目；3.将预习中不能解决的问题标识出来，并写到后面“我的疑惑”处.,一 旧知回顾,学习建议 请同学们认真回顾下面的几个问题，对于正确理解三角形内角和定理有很大的帮助.,三角形内角和定理是怎样的？,三角形内角和定理的证明方法是怎样的/,二 教材助读,请同学们认真阅读课本，动脑思考后回答；,三角形外角的概念是什么？,三角形外角的性质1是什么/,三角形外角的性质2是什么？,三角形外角和定理是什么？,三 预习自测,学习建议 自测题体现一定的基础性，又有一定的思维含量，只有“细心才对，思考才

28、会”,判断对错；,三角形的外角和是指三角形所有外角的和（）,三角形的外角和等于它内角和的2倍（）,三角形的一个外角等于两个内角的和（）,三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和（）,三角形的一个外角大于任何一个内角（）,把图1中1、2、3按由大到小的顺序排列。,解；123.,我的疑惑？ 请你将预习中未能解决的问题和有疑惑的问题写下来，待课堂上与老师和同学探究解决.,【信息链接】,西方的勾股定理之父-毕达哥拉斯,在古希腊早期的数学家中，毕达哥拉斯的影响是最大的，他那传奇般的一生给后代留下了众多神奇的传说.毕达哥拉斯生于萨摩斯（今希腊东部小岛），卒于他林敦（今意大利南部塔兰托）.他既是哲学家、

29、数学家，又是天文学家.他在年轻的时，根据当时富家子弟的惯例，曾到巴比伦和埃及去游学，因而直接受到东方文明的熏陶.回国后，毕达哥拉斯创建了政治、宗教、数学合一的秘密学术团体，这个团体被后人称为毕达哥拉斯学派.这个学派的活动都是秘密的，笼罩着一种不可思议的神秘气氛.据说，每个新入学的学生都得宣誓严守秘密，并终身只加入这一学派.该学派还有一种习惯，就是将一切发明都归之于学派的领袖，而且秘而不宣，以至后人不知是何人在何时所发明的.毕达哥拉斯定理（即勾股定理）是毕达哥拉斯的另一贡献，他的一个学生希帕索斯通过勾股定理发现了无理数，虽然这一发现打破了毕达哥拉斯宇宙万物皆为整数与整数之比的信条，并导致希帕索斯

30、悲惨地死去，但该定理对数学的发展起到了巨大的促进作用.此外，毕达哥拉斯在音乐、天文、哲学方面也做出了一定贡献，首创地圆说，认为日、月、五星都是球体，浮悬在太空之中.,探究案,导入新课 如图2，把ABC的一边BC延长到D，得ACD，它不是三角形的内角，那它是三角形的什么角？,它是三角形的外角.这就是我们这节课要学习的内容.,一 学始于疑-我思考、我收获,1.你能给出三角形外角准确的定义吗?,2.三角形的外角有什么性质？,3.如何证明三角形外角的性质？,4.三角形外角和等于多少？,学习建议 请同学们用5分钟时间认真思考这些问题，并结合预习中自己的疑惑开始下面的探究学习.,二 质疑探究-质疑解疑、合

31、作探究,（一）基础知识探究,教学建议 本节课的基础知识中概念较多，且有一部分概念在小学时已经接触过，但在教学时也不一定要注意区分这些概念；在三角形外角的概念和性质的探究过程中，应让学生通过小组合作学习.实际动手操作主动探究出结果，而不应直接告之结果.,探究点一 三角形外角的概念,问题1：定义：三角形一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角（如图3中的ACD）.,问题2：每一个顶点相对应的外角都有几个？每个外角与相邻的内角是什么关系？,答案：2个、邻补角.,归纳总结：三角形一边与另一边延长线组成的角叫做三角形的外角。三角形的外角和相邻的内角互补.,探究点二 三角形外角的性质,问题1：如图4

32、，A=70，B=60，ACD的一个外角，你能求出ACD是多少度吗？,答案：由A+B+ACB=180，可得,ACB=180-A-B=180-70-60=50.,由ACB+ACD=180，可得ACD=180-ACB=180-50=130.,问题2：由上边的计算结果，你发现了什么？,答案：ACB+ACD=180；ACD=A+B，ACDA，ACDB.,归纳总结：性质1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.,性质2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.,探究点三 三角形的外角和,问题1：如图5，1、2、3是ABC的三个外角，你能求出1+2+3的度数吗？,答案：因为1+ACB=180，

33、2+CAB=180，3+ABC=180.,所以1+2+3=（180-ACB）+（180-CAB）+（180-ABC）=540-（ACB+CAB+ABC）=540-180=360.,问题2“由上边的计算，你发现了什么？,答案：三角形的外角和是360,归纳总结：三角形的外角和是360.,(二)知识综合应用探究,探究点一 三角形外角的性质,一个零件的形状如图6所示，按规定A应等于90，B和C应分别是32和21，检验工人量得BDC=148，就断定这个零件不合格，运用三角形的有关知识说明此零件不合格的理由.,解题指导：解此类问题，一般通过作辅助线转化为三角形问题，再运用三角形的相关知识来解决.,解：链接

34、AD并延长至点E，如图7，则BDC=CDE+BDE=（1+C）+（2+B）=（1+2）+B+C=CAB+B+C，如果这个零件合格，那么BDC=90+32+21=143，现量得BDC=148，所以此零件不合格.,如图8所示，试探究BDC与A，B，C之间的关系. 解：如图9，延长BD交AC于点E，因为BDC是CED的一个外角，所以BDC=C+CED.又因为DEC是ABE的一个外角，所以CED=A+B.所以BDC=A+B+C. 规律方法总结：三角形外角的性质：（1）三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和. （2）三角形的外角大于任何一个和它不相邻的内角. 探究点二 三角形的外角和 已知：BAF、C

35、BD、ACE是ABC的三个外角. 求证：BAF+CBD+ACE=360. 解题指导：（1）欲证这个三角形的和是360，由于它们是ABC的外角，所以可推得三个内角与这三个外角之和为3180，故这三个外角和就应为3180-180，即可获证. （2）由于360的角是周角，因此也可以把这一组外角集中到一个周角中，这肿集中还需要搬角，同样可以利用平行线来完成这个任务. 证明一：如图10，因为1+BAF=180，2+DBC=180，3+ACE=180.又1+2+3=180，所以1+BAF+2+DBC+3+ACE=3180. 故BAF+CBD+ACE=3180-180=360. 证明二：如图11，作CMAB

36、，则FAB=FCM， 所以MCE=DBC，而ACM+MCE+ACE=360， 所以BAF+CBD+ACE=360. 三 我的只是网络图-归纳梳理、整合内化 三角形外角的概念 三角形的外角 三角形外角的性质,三角形的外角和,四 当堂检测-有效训练、反馈矫正,1.若三角形的一个外角小于与它相邻的内角，则这个三角形是（C）,A直角三角形 B.锐角三角形,C.钝角三角形 D.无法确定,2.如图12所示，ABC的一个外角等于120，B等于40，则C的度数是80,训练案,一 基础巩固题,1已知ABC的一个外角为50，则ABC一定是（B）,A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.钝角三角形或锐角

37、三角形,2.求图13中1、2=80.,解：1=90，2=80.,已知三角形各外角的比为2：3：4，求它的每个外角的度数,解：设三个外角度数分别为：2 、 3 、4 ，由三角形的外角和为360得，2 +3 +4=360.解得 =40.所以三个外角的度数分别为80，120，160.,二 综合应用题,4.如图14，试计算BOC的度数.,解：如图14，延长BO交AC于D点，则BOC=ODC+DCO.,又因为ODC=90+20=110，所以BOC=110+30=140,如图15，D是ABC的BC边上一点，B=BAD，ADC=80，BAC=70.,求：（1）B的度数；（2）C的度数.,解：（1）B=BAD

38、，B+BAD=ADC，所以B=BAD=1/2ADC=1/280=40.（2）BAC+B+C=180，所以C=180-BAC-B=180-70-40=70.,三拓展探究题,如图16所示，求A+B+C+D+E+F的值.,解;A+B=PNB，C+D=MPD，E+F=NMF.,而PNB+MPD+NMF=360，所以A+B+C+D+E+F=360/,点拨：求六个角和要把它们放到一个三角形中，利用三角形外角的性质（1）进行求解，另外本题还考查了三角形外角和定理.,能力立意：（1）推理运算能力 （2）转化化归能力.,多边形及其内角和 第1课时 多边形及其内角和,学习目标1.理解多边形及正多边形的定义.掌握多

39、边形的内角和与外角和公式.发展学生的合情推理意识；2；通过小组交流、讨论、探究，学会类比、转化、归纳的思想方法；3.积极投入，全力以赴，感受数学的美. 体会数学与现实生活的紧密联系.,重点：多边形的内角和与外角和 难点：探索多边形的内角和与外角和公式的过程,预习案 使用说明与学法指导 1.用15分钟的时间探究课本的基础知识，自主高效学习，提升自己的理解能力2.限时20分钟独立完成教材助读设置的题目，预习自测及我的疑惑栏目.,一 旧知回顾,1.什么是四边形？,2.三角形与四边形的边、顶点、内角、内角和的含义分别是什么？,3.三角形有对角线吗？四边形有几条对角线？,4.什么是正方形？它的边角有什么

40、关系？,二教材助读,多边形是怎样定义的？,请你画出一个多边形，指出它的边、内角、顶点、对角线并说出多边形的内角和.,一个六边形，你能用分割法求出它的六个内角的和吗？,你能根据三角形、四边形、五边形、六边形归纳出n边形的内角和吗？你能利用分割发进行说明吗？,什么样的多边形是正多边形？你能说明它们的边的关系吗？它们的内角有什么关系？,在多边形的定义中要注意哪几个关键的字词？,多边形如何命名？如何表示？,你能够把任一多边形表示成如图1所示的形式吗？,三 预习自测,学习建议 认真探究课本定理的得出过程，15分钟后合上课本限时独立完成以下题目：,多边形的定义是 n条线段（n3）首尾顺次相接组成的封闭图形

41、叫多边形,n边形（n3）从一个顶点出发可以引n-3条对角线,若一个六边形的各条边都相等，当边长为3cm时，它的周长为18cm,若一个四边形的各条边都相等，当边长为3cm时，它的周长为12cm,一个n边形有n个顶点，n条边，n个内角，2n个外角,多边形的内角和公式是(n-2).180du5,多边形的外角和是360度,我的疑惑？请你将预习中未能解决的问题和有疑惑的问题写下来，待课堂上与老师和同学探究解决.,探究案,一 学始于疑-我思考、我收获,1.如何探索求解多边形的内角和？2.一个多边形的各个内角均相等，那么它的边一定相等吗？3.如何根据条件求一个多边形的内角和？,学习建议 请同学用5分钟时间认

42、真思考这些问题，并结合预习中自己的疑惑进行探究学习.,二 质疑探究-质疑解疑、合作探究,（一）基础知识探究,教学建议 关于多边形内角和的探索要让学生讨论画图、归纳自己的方法.,探究点一 多边形的内角和,问题1：一个五边形，你能设法求出它的五个内角的和吗？除了你使用的方法还有其他的方法吗？,答案：法一：在求五边形的内角和时，从五边形的一个顶点出发，向自身和相邻的两个顶点无法引对角线，向其他顶点共引5-3=2条对角线，先把五边形转化成三个三角形.如图3（1）所示.进而求出内角和，3180=540.,法二：在五边形内部取一个点O，分别连接五边形的五个顶点，分割成五个三角形，如图3（2）所示.五边形的

43、内角和等于1805-360=540.,问题2：一个n边形，你能归纳出它的n个内角和吗？,答案：从n边形的一个顶点出发，向自身和相邻的两个顶点无法引对角线，向其他顶点共引（n-3）条对角线，这时n边形被分割成（n-2）个三角形，因为每个三角形内角和是180，所以n边形内角和为（n-2）.180.,问题3：n边形的内角和公式中，字母n取值有没有范围？,答案：大于3的自然数,问题4：如图4，观察图中的多边形，它们的边、角各有什么特点？,答案：根据正多边形的定义可判断上图中的多边形分别为：正三角形、正四边形即正方形、正五边形、正六边形、正八边形.它们的边都相等，角也都相等.,问题5：正多变形都是轴对称

44、图形吗？,答案：根据轴对称图形的定义可知正多边形都是轴对称图形.,问题6：一个多边形的边都相等，它的内角一定都相等吗？若不一定，你能举出例子吗？,答案：一个多边形的边都相等，它的内角不一定都相等.如菱形四边相等，但它的内角不一定都相等.,问题7：一个多边形的内角都相等，它的边一定都不想等吗?若不一定，你能举出例子吗？,答案：一个多边形的内角都相等，它的边不一定相等，如：长方形的内角都是直角，但它的边未必都相等.,问题8：正n边形的每个内角是多少度？,答案：因为正n边形的每个内角都相等，且它的内角和为（n-2）.180，所以，正n边形的每个内角为： .180.,归纳总结;利用分割归纳出n边形的内

45、角和为（n-2）.180，正多边形的每个内角都相等且等于 .180,探究点二 多边形的外角和,问题1：多边形外角的定义是什么？,答案：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角角多边形的外角.,问题2：多边形的外角和公式是什么？,答案：多边形的外角和的呢关于360,归纳总结：多边形的外角和是定值，等于360，与边数无关.,（二）知识综合应用综合,教学建议 对于多边形的定义及内角和公式的应用，教师要大胆放给学生讨论研究，教师适当作指导.,探究点 多边形内角和的应用（重点）,如图5. 作所变形所有过顶点A的对角线，并分别用字母表示出来.,求这个多边形的内角和,解：（1）如图6，过顶点A的对角线是AC、AD、AE.,法一：从图6中可知：这个六边形被过顶点A的对侥幸分割成四个三角形，所以，这个多边形的内角和为1