矩母函数【谷风课资】

1、条件期望、矩母函数,山东财经大学保险学院 谭璐,1,一类课资,主要内容,一、条件期望 二、混合分布 三、矩母函数 四、特征函数,2,一类课资,一、条件期望,给定变量Y时，在 X上的概率分布 对Y的每个可能取值，对X都定义有一个概率分布 也能求期望，称为条件期望,3,一类课资,：数字 ：y的函数。在知道y的值之前，不知道 ：随机变量，当Y=y时， 的值 ：随机变量,4,一类课资,假定对 采样，在给定x后，在对 采样 直观地，期望 事实上，对 ，有 得到期望 因而 注意： 是随机变量，当 时，其值为 思考题：当X与Y独立时， 的值？,5,一类课资,定理：对随机变量X和Y，假设其期望存在，则 更一般

2、地，对任意函数 证明：利用条件期望的定义和,与Y有关的随机变量,6,一类课资,怎样计算 ？ 一种方法是计算联合密度 ，然后计算 另一种更简单的方法是分两步计算 计算 计算,7,一类课资,条件方差,定义：条件方差定义为 其中 定理：对随机变量X和Y，,8,一类课资,9,一类课资,在给定X的情况下，条件分布为,，Y为随机变量，因此上式中,为常数，因此,所以,10,一类课资,二、混合分布,在一个分布族中，分布族由一个/一些参数决定，如 ，这些参数 通常又是一个随机变量（贝叶斯学派的观点，参数也是随机变量），则最终的分布称为混合分布(mixture distribution) 渐增式地定义一个复杂的模

3、型：通过条件分布与边缘分布 希望知道 ，至少是其期望和均值（条件期望和方差）,11,一类课资,混合分布举例,例：假设昆虫会产很多数量的蛋，蛋的数量为一个随机变量，用 表示；另外假设每个蛋的是否存活是独立的，存活的概率为p, 为Bernoulli分布，用X表示存活的数量，则,12,一类课资,期望： 亦可通过条件期望计算： 方差： 亦可通过条件期望计算：,13,一类课资,矩母函数的得名起因于下述公式： E(Xk)=M(k)(0) 对于非负随机变量X来说，习惯上做一变换 s=-t,LX(s)=MX(t) 通常称上式为X的laplace变换。,三、矩母函数（Moment Generating Func

4、tions）,14,一类课资,拉式变换与概率分布函数,定理：一函数L(s) (s0)是某一分布函数的Laplace变换的充要条件为L(0)=1，无穷次可导，且满足 (-1)nL(n)(s) 0, (s0, n0),15,一类课资,矩母函数（Moment Generating Functions）,矩母函数：用于计算矩、随机变量和的分布和定理证明 定义：X的矩母函数（MGF），或Laplace变换定义为 其中t在实数上变化。 若MGF是有定义的，可以证明可以交换微分操作和求期望操作，所以有： 取k阶导数，可以得到,方便计算分布的矩,16,一类课资,矩母函数（Moment Generating F

5、unctions）,定义,X是离散型r. v X是连续型r. v,矩母函数与分布间的一一对应,唯一性定理：如果，MX()=MY()在的某个区间上成立，则随机变量X与Y同分布。,17,一类课资,18,一类课资,X的矩母函数可以变形为：,于是：,矩母函数与随机变量X的各阶矩,19,一类课资,另一方面：,于是：,20,一类课资,性质1：,例：,从而：,21,一类课资,再考虑：,于是：,22,一类课资,而,从而,特别,性质2：设X,Y是相互独立的随机变量，则：,23,一类课资,证明：,系：设X 1Xn是独立随机变量，则：,例：设Z1 Z2 是相互独立的标准正态分布随机变量，则：,24,一类课资,证明：

6、设z是标准正分布的随机变量,当 1/2时，作变换,于是：,25,一类课资,另一方面， 的密度函数为,其矩母函数为：,26,一类课资,令 ，对任意 ，有 当 时，上述积分是发散的。 所以,27,一类课资,矩母函数的性质,引理：MGF的性质 若 ，则 若 独立，且 ，则 例：,28,一类课资,矩母函数的性质,定理：令X、Y为随机变量，如果对在0附件的一个开区间内所有的t，有 ，则 。 例：令 且 独立， 则 为分布 的MGF，即,29,一类课资,多元矩母函数,定义：,性质1,性质2,30,一类课资,是虚数单位.,四、特征函数,定义 设 X 是一随机变量，称 (t) = E exp(itX ) 为 X 的特征函数.,31,一类课资,(1) 当X为离散随机变量时，,(2) 当X为连续随机变量时，,32,一类课资,