全国初中数学联赛试题(1990)完整word版

1、历年全国初1990 年全国初中数学联合竞赛全国初中数学联合竞赛试卷 第 一 试 一、一、 选择题选择题 本题共有 8 个小题，每小题都给出了(a)、(b)、(c)、(d)四个结论，其中只有一个 是正确的，请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内。 1的值是（ ） 31 2 31 1 31 1 44 （a）1 （b）1 （c）2 （d）2 2在abc 中,ad 是高,且 ad2 = bdcd，那么bac 的度数是（ ） （a）小于 90 （b）等于 90（c）大于 90 （d）不确定 3方程是实数)有两个实根、kkkxkx(02)13(7 22 ，且 01，12，那么 k 的取值范围是（ ） （

2、a）3k4； （b）2k1； （c）3k4 或2k1（d）无解。 4恰有 35 个连续自然数的算术平方根的整数部分相同，那么这个相同整数是（ ） （a）17 （b）18 （c）35 （d）36 5abc 中，设为边上任一点，22ab2ac2bcpbc 则（ ） （a）（b）pbpa 2 pcpbpa 2 pc （c）（d）的大小关系并不确pbpa 2 pcpbpa 与 2 pc 定 6若六边形的周长等于 20，各边长都是整数，且以它的任意三条边为边都不能构 成三角形，那么，这样的六边形（ ） （a）不存在 （b）只有一个 （c）有有限个，但不只一个 （d）有无穷多个 7若的尾数是零，且，那么下

3、列四个b a log 2 loglog 1 logab b baa 结论：（ ） （1） （2） 2 1 ab b 0loglogab ba （3） （3）10ba01 ab 中，正确的结论的个数是（ ） （a）1 （b）2 （c）3 （d）4 8如图，点，分别在的边上、上，pqrabcabbcca 且，那么，面积的最大值是（ 1rcqrpqbpabc ） （a） （b）2 （c） （d）335 二、二、 填空题填空题 1 已知，则= 8 2 1 2 1 xx x x1 2 2，1234567892的和的个位数的数字是 222 3,2,1 3 方程，有两个整数根，则 01)8)(xaxa 4

4、中，边有 100 个不同的点，abc2 acabbc 1 p ，记 ( 1，2，100) 则 2 p 100 p iii bpapm 2 cpii = 21 mm 100 m 第 二 试 一、一、已知在凸五边形 abcde 中，bae = 3，bc=cd=de，且bcd=cde=180 2，求证：bac=cad=dae 二、二、表示不超过实数的最大整数，令 xx xxx （1）找出一个实数，满足x1 1 x x （2）证明：满足上述等式的，都不是有理数x 三、三、设有个正方形方格棋盘，在其中任意的个方格中各有一枚棋子。nn22n3 求证：可以选出行和列，使得枚棋子都在这行和列中。nnn3nn

5、19901990 年年全国初中数学联合竞赛试卷答案试卷答案 第一试 一、一、 选择题选择题 1 （d） 原式= 31 2 31 2 2 2 322 2 322 2 （d） 如图，由，有 2bdad 2 cdbdad2 2 cd 222 2adcdbdbdcdbd2 22 cd )()( 2222 cdadadbd 2 )(cdbd 即 222 bdacab 可得 bac90 如图,虽然 ,点在bdad 2 cdd 外,90,90abcabcbac 因此的度数不确定bac 3.（c） 记2)13(7)( 22 kkxkxxf 由1243 03)2( 082) 1 ( 02)0( 2 2 2 kk

6、 kkf kkf kkf 或 4.（a） 高这 35 个连续自然数最小的是,最大的是 2 n1) 1( 2 n 35) 1( 2 nn 即 3512n 17n 5.（c） 如图,设,xbp xpc 2 在中,由余弦定理,有abp bpcosbabbpabpa2 222 bxxcos248 2 在中,由余弦定理,有abc 2222 )2(2)22( cos 222 b 8 25 28 10 85 22 xxpa 而 2 2)2(xxxxpcpb 令 222 285xxxxpcpbpay 0 8 15 ) 4 7 (2872 22 xxx pcpbpa 2 6.（d） 若能找到 6 个整数使满足,

7、 21 aa, 6 a （1）； 21 aa20 6 a （2），； 1 a 2 a 21 aa 3 a 32 aa 4 a ，； 43 aa 5 a 54 aa 4 a （3） 54321 aaaaa 6 a 则以为边长的六边形，即可符合要求, 21 aa 6 , a 事实上，对任选三整数 1 6，必有，可见此六边形的任ijk ji aa k a 三边不能构成一个三角形 现取 ，则,8, 5, 3, 2, 1 654321 aaaaaa 4321 ,aaaa 满足全部条件. 65,a a 故这样的六边形至少存在一个.又由 n 边形(n4)的不稳定性,即知这样的六边形有 无穷多个. 7. (a

8、) 由.bbb b aaaa log 2 1 loglog 1 log得 所以 0b a log 得,0log1, 11, 1ababa b 且或 所以结论(3)与结论(2)都是错误的. 在结论(1)中,若.所以结论(1)也是错误的. 2 . 1 . 1 , 1 ababb b 得从而得 这样,只有结论(4)是正确的. 事实上,由,可得 2 loglogab aa b ab a ba log 1 log2log 2 1 又因为.0log2, 4)(log, 0log 2 bbb aaa 即所以 因为为整数,所以=-1,b a logb a log 即,结论(4)正确.1, 1 ab a b从而

9、 8. (b) 首先,若以,分别记,则 s,s,s均不大于pqrcrqbpqapr, .又因为, 2 1 11 2 1 acbpqr)(180 所以易证:(,分别为公共边pr上的高,因若作出pqr关于pr 2 h 1 h 1 h 2 haprqrp , 的对称图形pqr，这时q，a都在以pr为弦的含a的弓形弧上，且因pq=qr，所 以q为这弧中点，故可得出h1h2） 。 从而s，这样 1 s 2 1 =s+s+s+sn abc s2 2 1 4 最后，当ab=ac-2，a=90时， sabc=2 即可以达到最大值 2。 二填空题二填空题 1 62 .622)( 11 2 2 1 2 1 2 x

10、x x x x x 018)8( 2 axax cpbpapm iiii 2 2 5 因 123456789=1012345678+9 所以所求数字等于 （1+4+9+6+5+6+9+4+1+0）12345678+（1+4+9+6+5+6+9+4+1）的结果的个位数字。 即 58+5=45 的个位数的数字，故所求数字为 5。 3 8 原方程整理为设x1,x2为方程的两个整数根，由 x1+x2=a+8，知a为整数，因此，x-a和x-8 都是整数。故由原方程知 x-a=x- 8(=1) 所以 a=8 4400 作adbc，如图，则bd=dc。 设bd=dc=y，dpi =x, 则 . 4 )( 2

11、 22 222 2 ac yad yxap yxxyap i i .400 10021 mmm 第二试 一一. .证明证明 如图, 连 bd, ce. 因 .cdebcd cdebcd decdbc 2180 .decdcecdbcbd 3180)2180(bce 又 ,3bae 共圆 共圆同理可证 共圆 edcba edba ecba , , , .daecadbac 二二. .解法解法 1 设, 0 , ,( 1 ,为整数nmn x mx) 1, 若 x+=+=1 x 1 是整数。1 1 nmnm x x 令 ),( 1 为整数k x x 即 01 2 kxx 解得 ).4( 2 1 2

12、kkx 当易验证它不满足所设等式。1,2xk时 当3 时，是满足等式的全体实数。k)4( 2 1 2 kkx 由于不是完全平方数（事实上，若则但当3 时，4 2 k 22 4hk4 22 hkk 两个平方数之差不小于 5） 。 所以 x 是无理数，即满足题设等式的 x，都不是有理数。 解法 2 （1）取或)53( 2 1 x)53( 2 1 x （2）用反证法证明之。 反设满足等式之x为有理数。 首先，若x为整数，则x=0，代入等式得=1，与 01 矛盾。 x 1 x 1 其次，若x为非整数的有理数。 令 （其中 n，p，q 均为整数 1. qp 且（q，p）=1） p q nx 则(其中 s

13、,r 为整数当 n0 时 0rnp+q 当 n-1 时,np+qr0) qnp r x x 1 = x 1 qnp r 若x满足等式，即 1 qnp r p q 即 .)()(qnppprqnpq 从而得 .)1 ( 2 rqnnppq 即 矛盾.1),(, 2 qpqp与整除 故满足等式之x都不是有理数. 三三. .证明证明 设各行的棋子数分别.且 nnn ppppp 2121 , . 1 p 2 p n p 1n p n p2 由题设 ,3 2121 nppppp nnn 选取含棋子数为的这 n 行,则, 21n ppp , n ppp 21 n2 否则, 若, n ppp 21 12 n

14、 则 中至少有一个不大于 1, n ppp , 21 由,得 , nn pp 21 1n 从而中至少有一个大于 1,这与所设矛盾. nn pp 21 选出的这 n 行已含有不少于 2n枚棋子,再选出n列使其包含其余的棋子(不多于n枚), 这样选取的n行和n列包含了全部 3n枚棋子. 19911991 全国初中数学联合竞赛试卷试卷 第一试 一、选择题一、选择题 本题共有 8 个小题，每小题都给出了（a） 、 （b） （c） 、 （d）四个答案结论，其中只有 一个是正确的请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内 设等式在实数范围内成立，其中yaaxayaaxa)()( a，x，y是两两不同的实数，

15、则的值是（ ） 22 22 3 yxyx yxyx （a）3 ； （b）； （c）2； （d） 3 1 3 5 如图，abefcd，已知ab=20，cd=80，bc=100，那么ef的值是（ ） （a）10； （b）12； （c） 16； （d）18 方程的解是（ ）01 2 xx （a）； （b）； 2 51 2 51 （c）或； （d） 2 51 2 51 2 51 已知：（n 是自然数） 那么，的值是（ )19911991( 2 1 11 nn x n xx)1( 2 ） （）；（）； 1 1991 1 1991 （）；（）1991) 1( n 1 1991) 1( n 若，其中为自然数

16、，n 为使得等式成立的最大的m n 1210099321 自然数，则（ ） （）能被整除，但不能被整除； （）能被整除，但不能被整除； （）能被整除，但不能被整除； （）不能被整除，也不能被整除 若a，c，d是整数，b是正整数，且满足，那么cbadcbadc 的最大值是（ ）dcba （）；（）；（）；（）150 如图，正方形opqr内接于abc已知aor、bop和crq 的面积分别是，和，那么，正方形opqr1 1 s3 2 s1 3 s 的边长是（ ） （）；（）；（）2 ；（）323 在锐角abc中，abc的外接圆半径1，则（ 1accab 60ar ） （） c 2 ； （）0 2；

17、（d）c = 2 二、填空题二、填空题 是平行四边形abcd中bc边的中点，ae交对角线bd于 g，如果beg的面积是，则平行四边形abcd的面积是 1 1 s =1 3 s 3 2 s 已知关于x的一元二次方程没有实数解甲由于看错了二次项0 2 cbxax 系数，误求得两根为和；乙由于看错了某一项系数的符号，误求得两根为和 ，那么，么， a cb32 3设m，n，p，q为非负数，且对一切x ，恒成立，则 q p n m x x x x) 1( 1 ) 1( q pnm 22 )2( 四边形abcd中， abc，bcd，ab，bc， 135 120635 cd = 6，则ad = 第二试 一、

18、实数 x 与 y，使得 x + y，x y，x y， y x 四个数中的三个有相同的数值，求出所有具有这样性质的数对（x , y） 二、abc中，abacbc，d点在bc上，e点在ba的延长线上，且 bdbeac，bde的外接圆与abc的外接圆交于f点（如图） 求证：bfafcf 二、 将正方形abcd分割为 个相等的小方格（n是自然数） ，把相对的顶点 2 n a，c染成红色，把b，d染成蓝色，其他交点任意染成红、蓝两色中的一种颜 色证明：恰有三个顶点同色的小方格的数目必是偶数 19911991 全国初中数学联合竞赛试卷答案试卷答案 第 一 试 一、选择题一、选择题 120 135 1 （b

19、） 据算术根性质，由右端知yaq，则上式左边为奇数，右边为偶数，矛盾 若n (b)= (c); (d)不确定.mmm 3.若,则的个位数字是( )0113 2 xx 44 xx (a)1; (b)3; (c)5; (d)7. 4.在半径为 1 的圆中有一内接多边形,若它的边长皆大于 1 且小于,则这个多边2 形的边数必为( ) (a)7; (b)6; (c)5; (d)4. 5.如图,正比例函数的图像与反比例函数的图)0(aaxyxy和)0(k x k y 像分别相交于 a 点和 c 点.若和 rt的面积分别为 s1和 s2,则aobrtcod s1与 s2的关系是( ) (a) (b) (c

20、) (d)不确定 21 ss 21 ss 21 ss 答( ) 6.在一个由个方格组成的边长为 8 的正方形棋盘内放一个半径为 4 的圆,若把88 圆周经过的所有小方格的圆内部分的面积之和记为,把圆周经过的所有小方格的圆内部 1 s 分的面积之和记为,则的整数部分是( ) 2 s 2 1 s s (a)0; (b)1; (c)2; (d)3. 7.如图,在等腰梯形abcd中, ab/cd, ab=2cd, ,又e是底边ab上一点,60a 且fe=fb=ac, fa=ab.则ae:eb等于( ) (a)1:2 (b)1:3 (c)2:5 (d)3:10 8.设均为正整数,且 9321 ,xxxx

21、 ,则当 921 xxx 220 921 xxx 的值最大时,的最小值是( ) 54321 xxxxx 19 xx (a)8; (b)9; (c)10; (d)11. 二.填空题 1.若一等腰三角形的底边上的高等于 18cm,腰上的中线等 15cm,则这个等腰三角形的 面积等于_. 2.若,则的最大值是_.0 x x xxx 442 11 3.在中,的平分线相交于点，又于点，abcbac和,90pabpee 若，则 .3, 2acbcebae 4.若都是正实数，且，则 .ba,0 111 baba 33 )()( b a a b 第二试第二试 一、设等腰三角形的一腰与底边的长分别是方程的两根，

22、当这样的06 2 axx 三角形只有一个时，求的取值范围.a 二、如图，在中，是底边上一点，是线段上一点，abcdacab,bcead 且.acedbed2 求证：.cdbd2 三、某个信封上的两个邮政编码 m 和 n 均由 0，1，2，3，5，6 这六个不同数字组成， 现有四个编码如下： a：320651b：105263 c：612305d：316250 已知编码 a、b、c、d 各恰有两个数字的位置与 m 和 n 相同.d 恰有三个数字的位置 与 m 和 n 相同.试求：m 和 n. 19921992 全国初中数学联合竞赛试卷答案试卷答案 第一试 一选择题 1.(c) 由(1,0)(0,1

23、). 0 1 ab ba 又由(1,1). 1 , 0 ab ba 共有 3 对. 2.(b) 设是方程的根,则. 0 x0 0 2 0 cbxax 所以 2 0 2 0 22 0 44)2(babxxabax acbcbxaxa4)(4 2 0 2 0 .acb4 2 3.(d) 由知.所以,.0113 2 xx0 x13 1 xx1672132 22 xx ,从而的个位数字为 9-2=7.21672 44 xx 42 xx 4.(c) 若满足条件的多边形的边数大于或等于 6,则至少有一边所对的圆心角不大于 60. 由余弦定理知该边长必不大于 1;同理,若存在满足条件的四边形,则它至少有一边

24、长不小 于.2 5.(b) 设 a 点的坐标为(),c 点的坐标为(), 11, y x 22, y x 则.kyxyx 2211 . 222111 2 1 2 1 2 1 2 1 scdodyxyxabobs 6.(b) 据正方形的对称性,只需考虑它的部分即可.记圆周经过的所有小方格的圆内部分 4 1 的面积之和为，圆周经过的所有小方格的圆外部分的面积之和为，则1 s2 s ，.841 s4152 s . 44 . 2 56 . 4 415 84 4 4 2 1 2 1 s s s s 故的整数部分是 1. 2 1 s s 7.(b) 设,则,易证,1cd2 abfa1 2 1 abbc 9

25、0abc .3acfbfe fg 是等腰三角形 bfd 顶角平分线，因而也是底边 bd 上的中线即 bg=gd所以 bd=2bg=2dc 三、对于编码 m，考虑编码 a 中恰有两个数位上的数字与 m 中相应数位上的数字相 同设这两位是 x1，x2 数位由于 b、c 中该两数位上的数字均与 a 在这两数位上的数 字不同，因此 b，c 中这两数位上的数字必与 m 中这两数位上的数字不同，于是 b 中与 m 中数字相同的数位必异于 x1，x2不妨设为 x3，x4；同理 c 中与 m 中数字相同的数位只 能是异于 x1，x2，x3，x4 的 x5，x6 两位关于 n 也有类似的结论这就是说，在每个 数

26、位上，a，b，c 分别在该数位上的数字中，必有一个与 m 在该数位上的数字相同；同样 地，也必有一个与 n 在该数位上的数字相同 由此知，d 中的 6，0 两数字必不是 m，n 在相应数位上的数字于是 d 的 3，1，2，5 中 只有一个数字与 m 在相应数位上的数字不同；与相比较也有类似的结果 (a)若 3 不对，则有 610253，013256； (b)若 1 不对，则有 360251，301256； (c)若 2 不对，则有 312056，310652； (d)若 5 不对，则有 310265，315206 经检验知：该信封上编码 m，n 或者同为 610253，或者同为 310265或

27、者一个 是 610253，另一个是 310265 19931993 全国初中数学联合竞赛试卷试卷 第一试第一试 一一. .选择题选择题 本题共有 8 个小题,每小题都给出了(a), (b), (c), (d)四个结论,其中只有一个是 正确的.请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内. 1.多项式除以的余式是( )1 612 xx1 2 x (a)1; (b)-1; (c); (d);1x1x 2.对于命题 .内角相等的圆内接五边形是正五边形. .内角相等的圆内接四边形是正四边形,以下四个结论中正确的是( ) (a),都对 (b)对,错 (c)错,对. (d),都错. 3.设是实数,.下列四个结

28、论:x11xxy .没有最小值; y .只有一个使取到最小值;xy .有有限多个(不止一个)使取到最大值;xy .有无穷多个使取到最小值.xy 其中正确的是( ) (a) (b) (c) (d) 4.实数满足方程组 54321 ,xxxxx . ; ; ; ; 5215 4154 3543 2432 1321 axxx axxx axxx axxx axxx 其中是实常数,且,则的大 54321 ,aaaaa 54321 aaaaa 54321 ,xxxxx 小顺序是( ) (a); (b); 54321 xxxxx 53124 xxxxx (c); (d). 52413 xxxxx 2413

29、5 xxxxx 5.不等式的整数解的个解( )73) 1(1 2 xxx (a)等于 4 (b)小于 4 (c)大于 5 (d)等于 5 6.在中,则的值abcbcaooa,是垂心是钝角)cos(ocbobc 是( ) (a) (b) 2 2 2 2 (c) (d). 2 3 2 1 答( ) 7.锐角三角abc的三边是a, b, c,它的外心到三边的距离分别为m, n, p,那么m:n:p等于( ) (a); (b) cba 1 : 1 : 1 cba: (c) (d).cbacos:cos:coscbasin:sin:sin 答( ) 8.可以化简成( ) 1 333 3 ) 9 1 9

30、2 9 4 (3 (a); (b) (c) (d) 12(3 33 ) 12(3 33 12 3 12 3 答( ) 二二. .填空题填空题 1. 当x变化时,分式的最小值是_. 1 563 2 2 1 2 xx xx 2.放有小球的 1993 个盒子从左到右排成一行,如果最左面的盒里有 7 个小球,且每四 个相邻的盒里共有 30 个小球,那么最右面的盒里有_个小球. 3.若方程有四个非零实根,且它们在数轴上对应的四个点等距kxx)4)(1( 22 排列,则=_.k 4.锐角三角形abc中,.以bc边为直径作圆,与ab, ac分别30a 交于d, e,连接de, 把三角形abc分成三角形ade

31、与四边形bdec,设它们的 面积分别为s1, s2,则s1:s2=_. 第二试第二试 一.设h是等腰三角形abc垂心,在底边bc保持不变的情况下让顶点 a至底边bc的距离变小,这时乘积的值变小,变大,还是不变?证 hbcabc ss 明你的结论. 二.中, bc=5, ac=12, ab=13, 在边ab ,ac上分别取点d, abc e, 使线段de将分成面积相等的两部分.试求这样的线段de的最abc 小长度. 三.已知方程分别各有两个整数根及,00 22 bcxxcbxx及 21,x x 21,x x 且., 0 21 xx0 21 x x (1)求证:; 0, 0, 0, 0 2121

32、xxxx (2)求证:;1bc1b (3)求所有可能的值.cb, 19931993 年年全国初中数学联合竞赛试卷答案试卷答案 第第 一一 试试 一选择题一选择题 1 （a） ，1) 1(1 66612 xxxx 余式为 1. 2 （b） 命题 i 正确，证明如下： 如图，abcde为圆内接五边形，各内角相等.由，知=，于是=.ba bce cea bc ea .eabc 同理可证 .故abcde是正五边形.eacdabdebc 命题 ii 不正确，反例如下：如图，abcd为圆内接矩形， a=b=c=d =90,，但，显然，abcd满足命题 ii 条件，但不是正cdab dabc bcab 四边

33、形. 3 （d） 因为、分别表示数轴上点x到点 1 和点-1 的距离.1x1x 因此，当-1x1 时，；211xxy 当时，；1x212211xxxy 当时，.1x212211xxxy 而在-1 与 1 之间无穷多个实数x，故有无穷多个x使y取到最小值. 4 （c） 给定方程组中的方程按顺序两两相减分别得 ， 2141 aaxx 3252 aaxx ， 4313 aaxx 5424 aaxx ， 54321 aaaaa ，. 41 xx 52 xx 13 xx 24 xx 于是有 . 52413 xxxxx 5 （a） 注意到 73) 1(1 2 xxx . 0 )6)(1( , 0) 1)(

34、2( xx xx .210) 1)(2(xxxx或 .610)6)(1(xxx 于是原不等式的整数解是介于-1 与 6 之间且不等于 1,2 的整数.即 0,3,4,5 四个整 数. 6 （a） 设的三条高线ad、be、cf相交于点o.因为钝角三角形，故其垂心oabcabc 在的外部（如图）.abc b、d、f、o四点共圆， 故 .21 又由题设 ，bcoa 知 ，oafrtbcfrt ，bfof 于是 .45bof 而 ocbobc ，135180bof 135cos)cos(ocbobc . 2 2 7 （c） 如图，设o是的外心，abc ，rocoboa ，aboc r m cos 2

35、1 cos .armcos 同理 ，.brncoscrpcos .cbapnmcos:cos:cos: 8 （d） 原式 1 3 1 3 2 3 1 3 1 ) 122() 9 1 (3 .1212 12 1)2( 3 3 3 1 1 3 1 3 3 1 二、填空题二、填空题 14 22 2 6 22 10126 1 2 1 563 22 2 2 2 xxxx xx xx xx ， 1) 1( 2 6 2 x 当 x=-1 时，公式取最小值 4. 27 设从左到右小盒里的球数为 7,a2,a3,a1993, ，307 432 aaa30 5432 aaaa .7 5 a 同理 .7 19931

36、417139 aaaaa k 3 7 4 设，原方程变为.设此方程有根，则原yx 2 045 2 kyy)0(, 方程的四个根为，.由于它们在数轴上对应的四个点等距排列， ，故.)(9 由韦达定理 ，得5 ， 2 1 2 9 于是 ， 4 9 4k . 4 7 k 43 如图，bc为圆的直径， ，90180becaeb . 2 3 30coscosa ab ae 又 ，adeabc . 2 3 ab ae ac ad 由此可知 2 )( sin 2 1 sin 2 1 ab ae aacab aaead s s abc aed . 4 3 因而四边形dbce面积 . abc ss 4 1 2

37、.3: 21 ss 第第 二二 试试 一、解法一、解法 1 1 不妨设角a是锐角，连接ah并延长交bc于d点.延长bh、ch分别交 ac于 e，交ab于f，如图. ,ahebhd .haehbd 因此 bdhrtadcrt . hd dc bd ad 又 ,bcdcbd 2 1 . 2 4 1 bcdcbdhdad 于是) 2 1 )( 2 1 (bchdbcadss hbcabc . 4 16 1 bc 当a90时，同理可证上式也成立，由于bc是不变的，所以当a点至bc的距离 变小时，乘积保持不变. hbcabc ss 解法解法 2 2 作图如解法 1，再延长ad至g，使dg=dh，并分别连

38、接bg，gc. 由hbdgbd知， .cagcbhcbg 因而，a,b,g,c 四点共圆.由相交弦定理，得 dcbddgadhdad . 2 4 1 bc 因此， hbcabc ss ) 2 1 )( 2 1 (bchdbcad . 4 16 1 bc 由于bc是不变的.所以当点a至bc的距离变小时，乘积保持不变. hbcabc ss 二、二、 由于，知abc是直角三角形.如图.， 222 1312530125 2 1 abc s 设 ，xad yae 由于 axys ade sin 2 1 ，15 ， 13 5 sina 知 xy = 78. 由余弦定理知： )cos1 (2)(cos2 2

39、222 axyyxaxyyxde ) 13 12 1 (782)( 2 yx 12，12)( 2 yx 当x=y时，上式的等号成立，此时 达到最小值.3212 de 三、三、 （1）假如,同由，知，对于已知两个方程用韦达定理0 1 x0 21 xx0 2 x 得，这与已知，矛盾.因此，. 2121 xxbxx0 21 xx0 21 xx0 1 x0 2 x 同理 ，.01x02x （2）由韦达定理及 ，有0 1 x0 2 x 1) 1( 2121 xxxxbc 0,) 1)(1( 21 xx cb-1. 对于方程 进得同样讨论，得 bc-1.0 2 bcxx 综合以上结果，有 b-1cb+1.

40、 （3）根据（2）的结果可分下列情况讨论： （i）当 c=b+1 时，由韦达定理有从而.由于1 2121 xxxx2) 1)(1( 21 xx x1,x2都是负整数，故 或 . 2 1 , 11 2 1 x x . 1 1 , 21 2 1 x x 由此算出，.5b6c 经检验 ，符合题意.5b6c （ii）当c=b时，有，从而.因此 )( 2121 xxxx1) 1)(1( 21 xx .故 .2 21 xx4 cb 经检验 符合题意.4 cb （iii）当时，对方程 作（i）类似讨论，得1 bc1 cb0 2 bcxx ，.6b5c 综上所述得三组值： , 6 5 c b , 5 6 c

41、b . 4 4 c b 19941994 年全国初中数学联赛试题年全国初中数学联赛试题 第一试 一、选择题 本题共有 8 个小题，每小题都给出了（a） 、 （b） 、 （c） 、 （d）四个结论，其中只有一 个是正确的，请把正确结论代表字母在题后的圆括号内。 1若 0ab，a+b= c，则 n=_。 2当时，函数的最大值是_。6|1|x12|xxxy 3在abc 中，设 ad 是高，be 是角平分线，若 bc=6，ca=7，ab=8，则 de=_。 4把两个半径为 5 和一个半径为 8 的圆形纸片放在桌面上，使它们两两相切，若要 用大圆形纸片把这三个圆形纸片完全盖住，则这个大圆形纸片的最小半径

42、等于 _。 第二试 一、如图所示，在abc 中，ab=ac，任意延长 ca 到 p，再延长 ab 到 q 使，ap=bq，求证：abc 的外心 o 与 a，p，q 四点共圆。 二、周长为 6，面积为整数的直角三角形是否存在？若不存在， 请给出证明；若存在，请证明共有几个？ 三、某次数学竞赛共有 15 个题，下表是对于做对 n（n=0,1,2,15）个题人数的一 个统计，如果又知其中做对 4 个题和 4 个题以上的学生每人平均做对 6 个题，做对 10 个 题和 10 题以下的学生每人平均做对 4 个题，问这个表至少统计了多少？ n012312131415 做对 n 个题的人数 78102115

43、631 19941994 年全国初中数学联赛试题答案年全国初中数学联赛试题答案 第第 一一 试试 一、选择题 1 （a） ， a a a aa a 2 2 1 ) 1 () 1 ( 原式. a a aa a a a 1 1 1 1 1 1 2 2 （d） )(2)(2 222 cabcabcbazyx ，0)()()( 222 accbba 即，故x,y,z中至少有一个大于 0.0zyx 3 （b） 如 图， 连接oc，od.设半圆o的半径为 r，则在aod中，边ao与 da上的高都为r，故ao=da. 同理，bo=bc.故ab=bc+da=5. 4 （b） 因为，所以，即.于是， 2 199

44、41 x1994) 12( 2 x0199344 2 xx 20013 )199419974(xx 2001 22 1)199344()1993414(xxxxx .1) 1( 2001 5 （d） 因为每一个“三线八角”基本图形中都有两对同旁内角，而从所给图形中可以分解 出如下 8 个基本图形，共有 16 对同旁内角. 6 （c） 取，代入原方程得，即.此时方程有一个负根，于1pxx101 2 xx 是可排除（a） ， （b）. 取，代入原方程得，无解，故排除（d）.因此应选（c）.1p01 2 xx 7 （b） 由题设可知，h，d，c，e四点共圆.因此，有（如图） aeacahad bae

45、abaccos )( 2 1 222 bcabac .)( 2 1 222 acb 同理， ，)( 2 1 222 bacbebh .)( 2 1 222 cbacfch 所以 .)( 2 1 222 cbacfchbebhadah 8 （c） 由及可得及.故 xx a1994 zy b1994 xz a 11 1994 bz b 11 1994 .因此. z yx z ab 1 11 1 19941994)( 9972199411994ab 但a,b均不为 1，故有，或，.于是，2a+b=1001 或2a997b997a2b 1996 二、填空题二、填空题 1-4 ，且，所以，取，从而)2)

46、(1(2 2 xxxxba 2a1b .因此，1bac . 1 1 2 2 2 2 xxxx nmx 在上式中，令，得.0 x4n 216 由6 解得-7x5.1x 当 0 x5 时，此时 22 ) 1(12xxxy ；16) 15( 2 增大 y 当-7x0 时，此时 22 ) 1(212xxxy 因此，当-7x5 时，y的最大值是 16. 3. 4 151 如图，由已知有.由此可得 ab bc ea ce . abbc bc eace ce .3 14 6 7ce 又 bcac abbcac c 2 cos 222 ， 4 1 672 867 222 cdccedccedecos2 222

47、 . 16 151 4 1 4 1 732) 4 1 7(3 22 因此， . 4 151 de 4 3 1 13 如图，设o1的半径为 8，o2，o3的半径为 5，切点为a，由对称性可知，能盖 住这三个圆的最小圆形片的圆心o必在对称轴o1a 上，且与已知三个圆相内切.若设这个 圆形纸片的半径为r，则在 rto1o2a 中， .125)58( 22 1 ao 在 rtoo2a 中， 222 )812(5)5(rr 解出 . 3 1 13 3 40 r 第第 二二 试试 一、证明 如图，连接oa,oc,op,oq.在和中，oc=oa.由已知，ocpoaq ，.abca bqap .aqcp 又o

48、是的外心，abc .oacocp 由于等腰三角形的外心必在顶角的平分线上. ，从而.oaqoacoaqocp 因此， ，ocpoaq 于是， .aqocpo 所以，o,a,p,q四点共圆. 二、这样的直角三角形存在，恰有一个.设此直角三角形斜边为c,两直角边分别为 a,b,面积为s,则 abc1,k为整数）.若n=4k，此时12 kn n=k+(k+1) 由于，上述表示符合要求.1) 1,(kk （2）当n为偶数时，设或(k1,k为整数).若，此时kn424 kkn4 .) 12() 12(kkn 与是互质的，因为若它们有公因数d2，设, 12 k12 kndk12mdk12 (m,n是自然数

49、)，则，可见，所以，这与，均为奇2)(dnm2d2d12 k12 k 数相矛盾. 若 ，此时24 kn .)32() 12(kkn 与是互质的.因为若它们有公因数d2，设, 12 k32 kndk12mdk32 (m,n是自然数)，则，可见，所以，这与，均为奇2)(dnm2d2d12 k12 k 数相矛盾. 若 ，此时24 kn .)32() 12(kkn 与是互质的.因为若它们有公因数d2，设, 12 k32 kndk12mdk32 (m,n是自然数)，则，可见，即d=2 或 4.这与，均为奇4)(dnm4d12 k32 k 数相矛盾. 综上所述，原命题得证. 19951995 年全国初中数

50、学联赛参考答案年全国初中数学联赛参考答案 第一试 一、选择题 1讲解：这类指数幂的比较大小问题，通常是化为同底然后比较指数，或 化为同指数然后比较底数，本题是化为同指数，有 c(53)111251124311(35)11a25611(44)11b。选c。 利用lg20.3010，lg30.4771计算lga、lgb、lgc也可以，但没有优越性。 2讲解：这类方程是熟知的。先由第二个方程确定z1,进而可求出两个 解：(2，21，1)、(20，3，1)也可以不解方程组 直接判断：因为xy(否则不是正整数)，故方程组或无解或有两个解，对照 选择支，选b。 3讲解：显然，方程的一个根为1，另两根之和为

51、x1x221。三根能 作为一个三角形的三边，须且只须x1x21又 有044m1 4讲解：四个选择支表明，圆的周长存在且唯一，从而直径也 存在且唯一又由 ab2ad225260252（52122）52132 (3242)132392522bc2cd2 故可取bd65为直径，得周长为65，选d 5讲解：此题的得分率最高，但并不表明此题最容易，因为有些考生的理 由是错误的比如有的考生取ab为直径，则mn0，于是就选b其 实，这只能排除a、c，不能排除d 不失一般性，设ceed，在ce上取cfed，则有ofoe，且s acesadesaef2saoe同理，sbcesbde2s boe相加，得sabcs

52、dab2soab，即mn选b 若过c、d、o分别作ab的垂线（图3） ， ceab、dfab、olab，垂足分别为e、f、l连cf、de，可得 梯形cedf又由垂径分弦定理，知l是ef的中点根据课本上做过 的一道作业：梯形对角线中点的连线平行底边，并且等于两底差 的一半，有 cedf2ol 即mn选b 6讲解：取a-1、b2可否定a、c、d，选b一般地，对已知不等式平 方，有 a(ab)aab 显然a(ab)0（若等于0，则与上式矛盾） ，有 两边都只能取1或-1，故只有1-1，即 有a0且ab0，从而b-a0选b 二、填空题 1讲解：本题虽然以计算为载体，但首先要有试验观察的能力经计算 12

53、，22，102，知十位数字为奇数的只有4216，6236然后，对两位数 10ab，有 （10ab）220a（5ab)b2 其十位数字为b2的十位数字加上一个偶数，故两位数的平方中，也中有 b4或6时，其十位数字才会为奇数，问题转化为，在1，2，95中个位数出 现了几次4或6，有29119 2.讲解：这类问题一般都先化简后代值，直接把a 学生在这道题上的错误主要是化简的方向不明确，最后又不会将a2a作为 整体代入这里关键是整体代入，抓住这一点，计算可以灵活比如，由有 由，得 由并将代入，得 还可由得 即得所求 3讲解：这个题目是将二次函数yx2x与反比例函数 因而x1时，y有最小值1 5 讲解：

54、此题由笔者提供，原题是求sincab，让初中生用代数、几何相结合 的方法求特殊角的三角函数值sin75、sin15 6 解法如下： 与ab2ab2ac2 联立，可推出 而式、表明，ab、ac是二次方程 改为求cab之后，思路更宽一些如，由 第二试 一、讲解：首先指出，本题有imo29-5（1989年）的背景，该题是：在直角 abc中，斜边bc上的高，过abd的内心与acd的内心的直线分别交边ab和ac 于k和l，abc和akl的面积分别记为s和t求证s2t 在这个题目的证明中，要用到ak alad 今年的初中联赛题相当于反过来，先给出akalad(斜边上的高)，再求 证kl通过abd、adc的

55、内心（图7） 其次指出，本题的证法很多，但思路主要有两个：其一，连fc、fd、fe， 然后证其中两个为相应的角平分线；其二是过f作三边的垂线，然后证明其中两 条垂线段相等下面是几个有代表性的证法 证法1：如图6，连df，则由已知，有 连bd、cf，由cdcb，知 fbdcbd45 cdb45fdb， 得fbfd，即f到b、d和距离相等，f在线段bd的垂直平分线上，从而也在 等腰三角形cbd的顶角平分线上，cf是ecd的平分线 由于f是cde上两条角平分线的交点，因而就是cde的内心 证法2：同证法1，得出cdf459045fde之后，由于 abc=fde，故有b、e、d、f四点共圆连ef，在证

56、得 fbd=fdb之后，立即有fedfbdfdbfeb，即ef是ced的平分 线 本来，点e的信息很少，证ef为角平分线应该是比较难的，但四点共圆把许 多已知信息集中并转移到e上来了，因而证法2并不比证法1复杂 由这个证明可知，f是dcb的外心 证法4：如图8，只证cf为dce的平分线由agcgbagab45 2， agc=adc=cad=cab+1 =45+1 得12 从而dcfgcf， 得cf为dce的平分线 证法5：首先df是cde的平分线，故 cde的外心i在直线df上 现以ca为y轴、cb为x轴建立坐标系，并记cacbcdd,则直线ab是一次 函数 y-xd 的图象（图9） 若记内心

57、i的坐标为（x1，y1） ，则 x1y1chih chhbcbd 满足，即i在直线ab上，但i在df上，故i是ab与df的交点由交点的唯一性知i 就是f，从而证得f为rtcde的内心 还可延长ed交o于p1，而cp为直径来证 二、讲解：此题的原型题目是： 于第一象限内，纵坐标小于横 坐标的格点 这个题目的实质是解不等式 求正整数解直接解，数字较繁但有巧法，由 及1yx， 知12(x1)199512x 但1953126219951262632016，得x63，从而 y21，所求的格点为(21，63) 经过命题组的修改之后，数据更整齐且便于直接计算 有x2x1810 x 当x0时，有x211x18

58、0， 得2x9，代入二次函数，得合乎条件的4个整点：(2,2),(4,3),(7,6),(9,9); 当x0时，有 x29x180， 得-6x-3，代入二次函数，得合乎条件的2个整点： (-6,6),(-3,3) 对x0，取x2,4,7,9,12,14,顺次代入，得(2，2)、(4，3)、(7，6)、 (9，9)，且当x9时，由 对x0，取x-1,-3,-6,-8,顺次代入，得(-3，3)、(-6，6)，且当x-x，再无满足yx的解 故一共有6个整点，图示略 解法3：先找满足条件yx的整点，即分别解方程 x211x180 x29x180 可得(2，2)、(9，9)、(-6，6)、(-3，3)

59、再找满足yx的整点，这时 2x9或-6x-3， 依次检验得(4，3)、(7，6)故共有6个整点 三、讲解：直观上可以这样看，当n6时，在2，3，n2中，必有一个数a 与n互质(2an2)，记bna2，有nab 此时，a与b必互质，否则a与b有公约数d1，则d也是n的约数，从而a与n 有大于1的公约数，与a、n互质矛盾 但是，对于初中生来说，这个a的存在性有点抽象，下面分情况，把它具体 找出来 (1)当n为奇数时，有 n2(n2)， (2)当n为偶数，但不是4的倍数时，有 (3)当n为偶数，且又是4的倍数时，有 19961996 年全国初中数学联赛试题年全国初中数学联赛试题 第一试第一试 一一. . 选择题选择题 本题共有 6 个小题，每一个小题都给出了以（a） 、 （b） 、 （c） 、 （d）为代号的四个答 案，其中只有一个答案是正确的.请将正确的答案用代号填在各小题的括号内. 1实数满足，记，则的关系ba,1ab b b a a n ba m 11 , 1 1 1 1 、mn 为（ ） （a） （b） （c） （d）不确定. ;nm ;nm ;nm 2设正整数满足，则这样的的取值（ nma,nma24 2