2021版新高考数学(文科)一轮复习课后限时集训43 空间几何体的表面积与体积

1、空间几何体的表面积与体积建议用时：45 分钟一、选择题1已知等腰直角三角形的直角边的长为 2，将该三角形绕其斜边所在的直 线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( )a.2 2 4 2b.3 3c2 2 d4 2b 依题意知，该几何体是以 2为底面半径， 2为高的两个同底圆锥组成的组合体，则其体积 v1 4 2 ( 2)22 2 . 3 312一个正方体挖去一个多面体所得的几何体的三视图如图所示，其中正视 图、侧视图和俯视图均为边长等于 2 的正方形，则这个几何体的表面积为( )a164 3c204 3b164 5d204 5d 由三视图可知，该几何体是棱长为 2 的正方体的内部挖去一个

2、底面边长 为 2 的正四棱锥，将三视图还原可得如图，1可得其表面积为 s5224 2 5204 5，故选 d.23 某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是 3，则正视图中的 x 的值是( )2a2b.92c.32d3d 由三视图知，该几何体是四棱锥，底面是直角梯形，且 s 2)23，1v x33，解得 x3.34 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )1 (1底 2a1 b.1 1c.2 3d.14322c法一：该几何体的直观图为四棱锥 s abcd，如图，sd平面 abcd，且sd1，四边形 abcd 是平行四边形，且 abdc1，连接 bd，由题意知 bddc，bdab，

3、且 bd1，所以 s1，四边形 abcd1 1所以 v s sd ，故选 c.s abcd 3 四边形 abcd 31法二：由三视图易知该几何体为锥体，所以 v sh，其中 s 指的是锥体的3底面积，即俯视图中四边形的面积，易知 s1，h 指的是锥体的高，从正视图和1 1侧视图易知 h1，所以 v sh ，故选 c.3 35正四棱锥 v abcd 的五个顶点在同一个球面上，若其底面边长为 4，侧棱 长为 2 6，则此球的体积为( )a72 2 b36 c9 2 d.92b正四棱锥 v abcd 的五个顶点在同一个球面上，其底面边长为 4，侧棱长为 2 6，正四棱锥的高为 (2 6)(2 2)4

4、，设外接球的半径为 r，则 r2(4r)2(2 2)2， r3，4 4球的体积为 v r3 333 336，故选 b.4二、填空题6(2019泉州模拟)如图，某三棱锥的三视图都是直角边长为 2 的等腰直角三角形若该三棱锥的所有顶点都在球 为 o 的球面上，则球o 的表面积12 由三视图知该三棱锥中有一个顶点发出的三条棱两两垂直，且这三条棱的棱长均为 2，因此可将此三棱锥补为一个棱长为 2 的正方体，如图所示， 记该三棱锥为 a bcd，根据图形的结构特征知，正方体的外接球就是三棱锥 a bcd的外接球，则外接球的直径为 2222222 3，所以外接球的半径 r 3，则外接球 o 的表面积为 4

5、r212.7在如图所示的斜截圆柱中，已知圆柱底面的直径为 40 cm ，母线长最短550cm，最长 80cm，则斜截圆柱的侧面面积 s cm2.2 600 将题图所示的相同的两个几何体对接为圆柱，由题意得所求侧面1展开图的面积 s (5080)(40)2 600(cm22)8如图，正方体 abcd a b c d 的棱长为 1，e 为棱 dd 上的点，f 为 ab 的中1 1 1 1 1点，则三棱锥 b bfe 的体积为 1112由题意知 vb bfeve bfb ，点 e 到平面 abb a 的距离等于点 d 到平1 1 1 1面 abb a 的距离，都等于 1.1 11 1 1 1 则 v

6、e bfb 1 1 .1 3 2 2 126三、解答题9如图，从正方体 abcd a b c d 的 8 个顶点中选出的 4 个点恰为一个正四1 1 1 1面体的顶点(1)若选出 4 个顶点包含点 a，请在图中画出这个正四面体； (2)求棱长为 a 的正四面体外接球的半径解(1)如图所示，选取的四个点分别为 a，d ，b ，c.1 1(2)棱长为 a 的正四面体外接球的半径，等于正方体外接球的半径，等于正方体对角线长的一半，因为正四面体的棱长为 a，所以正方体的边长为22a，因此外接球的半径为3 2 6 a a.2 2 4710(2015全国卷)如图，长方体 abcd a b c d 中，ab

7、16，bc10，aa1 1 1 1 18，点 e，f 分别在 a b ，d c 上，a ed f4.过点 e，f 的平面 与此长方体1 1 1 1 1 1的面相交，交线围成一个正方形(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)； (2)求平面 把该长方体分成的两部分体积的比值解(1)交线围成的正方形 ehgf 如图所示(2)如图，作 emab，垂足为 m，则 ama e4，eb 12，emaa 8.1 1 1因为四边形 ehgf 为正方形，所以 ehefbc10.于是 mh eh2em26，ah10，hb6.1故 s 四边形 a eha (410)856，1 281s 四边形 eb bh

8、(126)872.1 2因为长方体被平面 分成两个高为 10 的直棱柱，97 所以其体积的比值为 也正确.79 1(2019郑州模拟 )某几何体的三视图如图所示，图中三个正方形的边长 均为 2，则该几何体的表面积为( )a24( 21)c24( 51)b24(2 22)d24(2 32)b 根据三视图可得该几何体是由棱长为 2 的正方体挖去两个底面半径为1 ，母线长为 2 的圆锥所得如图所示的组合体，则该组合体的侧面积为9s 1242216，两个底面的面积为 s 2(22122)82，两个圆锥的侧面积为 s 21 22 2，所以该组合体的表面积为 ss s s3 1 2 316822 224(

9、2 22).2(2019昆明模拟 )已知三棱锥 d abc 的每个顶点都在球 o 的表面上， abac，ab6，ac2 6，顶点 d 在平面 abc 上的投影 e 为 bc 的中点，且 de 5，则球 o 的表面积为( )a16c60b17d64d 如图，在abc 中，abac，ab6，ac2 6.bc 62(2 6)12 15，ae bc 15.210设球 o 的半径为 r，则 15(5r)2r2，r4.球 o 的表面积为 4r264，故选 d.3(2018全国卷)已知圆锥的顶点为 s，母线 sa，sb 互相垂直，sa 与圆 锥底面所成角为 30.若sab 的面积为 8，则该圆锥的体积为 8

10、由题意画出图形，如图，设 ac 是底面圆 o 的直径，连接 so，则 so1是圆锥的高设圆锥的母线长为 l，则由 sasb，sab 的面积为 8，得 l228，1 3得 l4.在 rtaso 中，由题意知sao30，所以 so l2，ao l2 3.2 21 1故该圆锥的体积 v ao2so (2 3)228.3 34如图是一个以 a b c 为底面的直三棱柱被一平面所截得到的几何体，截1 1 1面为 abc，已知 a b b c 2，a b c 90，aa 4，bb 3，cc 2，求：1 1 1 1 1 1 1 1 1 11122(1)该几何体的体积 (2)截面 abc 的面积解(1)过 c

11、 作平行于 a b c 的截面 a b c，交 aa ，bb 分别于点 a ，b ，1 1 1 2 2 1 1 2 2由直三棱柱性质及a b c 90，1 1 1则 vva b c a b cvc abb a1 1 1 2 2 2 21 1 1 222 (12)226. 2 3 2(2)在abc 中，ab 22(43)2 5，bc 22(32) 5，ac (2 2)2(42)2 3，122 21则 2 3 ( 5)( 3) 6. abc 21(2019太原模拟)已知在三棱锥 s abc 中，sasbscab2，acbc， 则该三棱锥外接球的体积为( )a.32 327b.4 39c.323d.

12、163a 如图，sasbab，sab 为正三角形，acbc，点 s 在底面上的投影为 ab 的中点，设 ab 的中点为 d，连接 cd， abc 为等腰直角三角形，131 1大co o a r hbdadcd，球心到球面各点的距离相等，球心在线段 sd 上， 设球心为 o，球的半径为 r，ad1，sd sa2ad2 41 3，od2ad2oa2r2，( 3r)212r2，r2 33，33 2 3 32 3该三棱锥外接球的体积为 ，故选 a.3 3 272 一个透明的球形装饰品内放置了两个公共底面的圆锥，且这两个圆锥的3顶点和底面圆周都在这个球面上，如图，已知圆锥底面面积是这个球面面积的 ，16设球的半径为 r，圆锥底面半径为 r.(1) 试确定 r 与 r 的关系，并求出较大圆锥与较小圆锥的体积之比；(2) 求出两个圆锥的体积之和与球的体积之比解(1)r23 3 4r2，r r. 16 2设较大圆锥与较小圆锥的高分别为 h ，h ，大 小则由 rtbo crtco a，1 1bo o c h r 得 ，即 .1 1 小14又 2