求递推数列通项的特征根法与不动点法_第1页
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文档简介

1、求递推数列通项的特征根法与不动点法、形如an2=pani qan（p,q是常数）的数列形如印=mi,a2 =m2,an .2 =pan .1 qan（ p,q是常数）的二阶递推数列都可用特征根法求得通项an，其特征方程为X2二px q若有二异根，：，贝U可令an =Cin C2 ：n（Ci,C2是待定常数）若有二重根:,则可令a （ci nc2）n（q,C2是待定常数）再利用ai=mi,a2=m2,可求得g,C2，进而求得 a例1.已知数列an满足ai =2旦=3 2 = 3an .i -2an（nN），求数列an的通项an .解：其特征方程为X2 =3x -2，解得为=i,X2 =2，令ac

2、1nn1C22,由22，得做ia： - c 4c： - 3.ai 2nJ例2.已知数列an满足ai刊念=2,4an 2 =4an i-an（nN），求数列an的通项an .解：其特征方程为4x2 =4x1，解得Xi = X2，令 an 7 nc2 2，iai =（G C2） -4由2i，得I；，a? =（G+2q）汉=2&2L43n2-an2、形如an- AB的数列Aa +B_*对于数列 an -2n ，a =m, n，N （代 B,C,D 是常数且 C = O,AD-BC=O ）Can +DAX +B2其特征方程为X二，变形为Cx（D-A）x-B=0Cx + D若有二异根，贝冋令玉二二（其中

3、c是待定常数），代入a,a2的值可an+ Pan卩求得c值.这样数列是首项为勺 ，公比为c的等比数列，于是这样可求得an Bja1 -Pai若有二重根-，则可令1= 1-c （其中c是待定常数），代入a“a2的值 an 1 八 an - -：1可求得c值.1这样数列是首项为an -a J此方法又称不动点法.，公差为c的等差数列，于是这样可求得an an -例3.已知数列an满足a2,an冷2），求数列弭的通项an .解：其特征方程为，2x+1乂2an - 1化简得 2x2 -2 =0，解得 X1 =1,X2 - -1，令 an1 一1an 审 +14由印=2,得a?：5数列吐1是以+1可得c1_3，为首项，以ai 1 31-1为公比的等比数列,3an -1an 1(I I 3)3n -(-1)nannn3(-1)N ），求数列an的通项an 例4.已知数列an满足a1 =2,an1二至匸1（n4an +6解：其特征方程为x =公1，即4x2 4x 1 = 0，4x 61 1解得为=X2 =-，令-2 -2丄can -2由al

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