完整版北师大八年级上册第一章勾股定理全章复习与巩固提高

1、勾股定理全章复习与巩固（提高）【学习目标】1了解勾股定理的历史，掌握勾股定理的证明方法;2理解并掌握勾股定理及逆定理的内容；3能应用勾股定理及逆定理解决有关的实际问题【知识网络】【要点梳理】要点一、勾股定理1勾股定理：直角三角形两直角边 a、b的平方和等于斜边 c的平方（即：a2 b2 c2）2. 勾股定理的应用其主要勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，应用是：（1）已知直角三角形的两边，求第三边；（2）利用勾股定理可以证明有关线段平方关系的问题；（3）解决与勾股定理有关的面积计算；（4）勾股定理在实际生活中的应用.要点二、勾股定理的逆定理1勾股定理的逆定理如果

2、三角形的三边长 a b c，满足a2 b2 c2，那么这个三角形是直角三角形 要点诠释：应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的基本步骤：（1 ）首先确定最大边，不妨设最大边长为c；（2）验证：2 a2 2b与c是否具有相等关系：若c 2 若ab2c2，则AABC是以/ C为90。的直角三角形；若c 2 若ab22 C时，AABC是锐角三角形；若a2 b2v c2时，ABC是钝角三角形.2勾股数一 一 2 2 2满足不定方程x y z的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以x、y、z为三边长的三角形一定是直角三角形要点诠释：常见的勾股数：3、4、5；5、12、

3、13； 8 15、17;7、24、25;9、40、41.如果（a、b、c）是勾股数，当t为正整数时，以at、bt、ct为三角形的三边长，此三角 形必为直角三角形观察上面的、四组勾股数，它们具有以下特征：1较小的直角边为连续奇数；2较长的直角边与对应斜边相差1.3.假设三个数分别为 a b c，且a b c，那么存在a2 b c成立（例如中存在2 27 = 24 + 25、9 = 40+ 41 等）要点三、勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，两者互为逆定理，都与直角三角形有关【典型例题】类型

4、一、勾股定理及逆定理的应用1、如图所示，等腰直角 ABC中，/ ACB = 90 E、F为AB上两点（E左F右），且 / ECF = 45 求证：AE2 BF2 EF2【思路点拨】 由于/ ACB = 90 / ECF= 45所以/ ACE + Z BCF = 45若将/ ACE和 / BCF合在一起则为一特殊角45于是想到将AACE旋转到ABCF的右外侧合并，或将BCF绕C点旋转到AACE的左外侧合并，旋转后的 BF边与AE边组成一个直角，联想勾 股定理即可证明.【答案与解析】解：AE2 BF2 EF2，理由如下:将ABCF绕点C旋转得ACF，,使BCF的BC与AC边重合,即ACFBA BC

5、F,/ 在ABC 中，/ ACB = 90 AC = BC,/ CAF=/ B = 45 / EAF = 90 / ECF = 45 / ACE +Z BCF = 45 / ACF=/ BCF , / ECF = 45 在AECF和AECF中CE CEoECF ECF 45CF CFECF ECF (SAS, / EF = EF.在 Rt AEF中，AE2 FA2 F E2 ,AE2 BF2 EF2 .【总结升华】 若一个角的内部含有同顶点的半角，（如平角内含直角，90角内含45角，120角内含60角），则常常利用旋转法将剩下的部分拼接在一起组成又一个半角，然后利用角平分线、全等三角形等知识解

6、决问题.举一反三：【变式】已知凸四边形 ABCD中，/ ABC = 30 / ADC = 60 AD = DC ,求证：BD2 AB2 BC【答案】 解：将 MBD绕点D顺时针旋转60.由于DC = AD，故点A转至点C.点B转至点E，连结BE./ BD = DE，/ BDE = 60 ABDE为等边三角形，BE = BD易证 ADAB DCE，/ A = Z 2, CE= AB/ 四边形 ADCB 中/ ADC = 60 / ABC = 30 / A + Z 1 = 360 60 - 30 = 270 / 1 + Z 2 =Z 1 + Z A = 270 / 3= 360 (/ 1 + Z

7、2) = 90 BC2 CE2 BE22 2 2BC AB BDL2、如图，在 AABC 中，Z ACB=90 , AC=BC , P 是ABC 内的一点，且 PB=1 , PC=2, PA=3，求Z BPC的度数.【答案与解析】解：如图，做/ ECB= / PCA，且使CE=CP，连结EP, EB 在APC和ABEC中AC BCPCA ECB则/ BPE=90PC EC/ BPC=135【总结升华】 本题考查了勾股定理的逆定理，通过观察所要求的角度，作出辅助线，把PA、PB、PC的长度转化为一个三角形三条边，构造出直角三角形是解题的关键，当然此题也可 以利用旋转的思想来解，即将 AAPC绕点

8、C旋转，使CA与CB重合即AAPCBEC.类型二、勾股定理及逆定理的综合应用3、（2016春?丰城市期末）如图，已知四边形 ABCD中，/ B=90 AB=3 , BC=4 , CD=12 ,AD=13，求四边形 ABCD的面积.X 3X 4* X 5x 12=36.【思路点拨】 连接AC,在直角三角形 ABC中，由AB及BC的长，利用勾股定理求出 AC 的长，再由AD及CD的长，利用勾股定理的逆定理得到三角形ACD为直角三角形，根据四边形ABCD的面积=直角三角形ABC的面积+直角三角形ACD的面积，即可求出四边形 的面积.【答案与解析】 解：连接AC,如图所示:/ B=90 ABC为直角三

9、角形，又 AB=3，BC=4，根据勾股定理得：AC2=25，又 CD=12，AD=13， AD 2=132=169，CD2+AC2=122+52=144+25=169，2 2 2 cd2+ac2=ad2， ACD为直角三角形，/ ACD=90 则S 四边形 ABCD =SABC +SaACD =:丄 AB?BC+亍 AC?CD=故四边形ABCD的面积是36.【总结升华】 此题考查了勾股定理， 以及勾股定理的逆定理， 熟练掌握勾股定理及勾股定理 的逆定理是解本题的关键.Q I4、如图：正方形F 是 EC 中点求证：/ BAF=2 / EAD.【答案与解析】证明：取BC中点G,连结AG并延长交DC

10、延长线于H在Rt ADF中，设AD a，由勾股定理得:/ / ABG= / HCG , BG=CG，/ AGB= / HGCAF2 AD2 DF2 a2(3a)225 a24165-AF a4a 5又 HF CH CF a a44 AF=HF / FAH= / H / FAH= / DAE / BAF=2 / DAE【总结升华】 要证/ BAF=2 / EAD，一般方法是在/ BAF中取一个角使之等于/ EAD，再 证明另一个角也等于/ EAD，另一种方法是把小角扩大一倍，看它是否等于较大的角举一反三：【变式】（2014春？防城区期末）如图所示，在 ABC中，AB : BC : CA=3 :

11、4: 5，且周长 为36cm，点P从点A开始沿边向B点以每秒1cm的速度移动；点 Q从点B沿BC边向点 C以每秒2cm的速度移动，如果同时出发，问过 3秒时，ABPQ的面积为多少？C-!/T-/TJ3【答案】解：设 AB 为 3xcm , BC 为 4xcm , AC 为 5xcm , 周长为36cm,AB+BC+AC=36cm , /3x+4x+5x=36 , 得 x=3 ,/ AB=9cm , BC=12cm , AC=15cm ,2 2 2TAB +BC =AC , ABC是直角三角形，过 3 秒时，BP=9 - 3X1=6 (cm), BQ=农 3=6 (cm).-X (9- 3) X

12、6=18 (cm2).2故过3秒时,3PQ的面积为18cm2.类型三、勾股定理的实际应用5、如图所示，牧童在 A处放牛，其家在 B处，A、B到河岸的距离分别为 AC = 400 米，BD = 200米，CD = 800米，牧童从A处把牛牵到河边饮水后再回家.试问在何处饮水， 所走路程最短？最短路程是多少？D T n_lT rzliCA【思路点拨】 作点A关于直线CD的对称点G，连接GB，交CD于点E，利用两点之间线 段最短”可知应在E处饮水，再根据对称性知 GB的长为所走的最短路程，然后构造直角三 角形，利用勾股定理可解决.【答案与解析】解：作点A关于直线CD的对称点G，连接GB交CD于点E，

13、由 两点之间线段最短”可以 知道在E点处饮水，所走路程最短说明如下：在直线CD上任意取一异于点 E的点I，连接AI、AE、BE、BI、GI、GE.点G、A关于直线CD对称， AI = GI，AE = GE .由 两点之间线段最短”或 三角形中两边之和大于第三边 ”可得GI + BI GB = AE + BE， 于是得证.最短路程为GB的长，自点B作CD的垂线，自点 G作BD的垂线交于点H，在直角 三角形GHB中，GH = CD = 800, BH = BD + DH = BD + GC = BD + AC = 200+ 400= 600,由勾股定理得 GB2 GH 2 BH 280026002

14、1000000 . GB = 1000，即最短路程为1000米.【总结升华】 这是一道有关极值的典型题目.解决这类题目，一方面要考虑两点之间线段最短”另一方面，证明最值，常常另选一个量，通过与求证的那个最大”最小”的量进行比较来证明，如本题中的 I点本题体现了勾股定理在实际生活中的应用.举一反三：【变式】如图所示，正方形 ABCD的AB边上有一点E, AE = 3, EB = 1，在AC上有一点 P, 使 EP+ BP最短.求 EP+ BP的最小值.【答案】解：根据正方形的对称性可知：BP = DP,连接DE，交AC于P, ED = EP+ DP = EP+ BP,即最短距离 EP+ BP也就

15、是ED .AE = 3, EB = 1,. AB = AE + EB = 4,2 2 2 2 2 AD = 4,根据勾股定理得：ED AE AD 3 425 ./ ED0,二 ED= 5, 最短距离 EP+ BP= 5.6、台风是一种自然灾害， 它以台风中心为圆心， 在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力.如图台风中心在我国台湾海峡的B处，在沿海城市福州 A的正南方向240千米，其中心风力为12级，每远离台风中心 25千米，台风就会减弱一级，如图所示，该台 风中心正以20千米/时的速度沿北偏东 30方向向C移动，且台风中心的风力不变，若城市 所受风力达到或超过 4级，则称受台风影响试

16、问：(1 )该城市是否会受到台风影响？请说明理由.(2) 若会受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？(3) 该城市受到台风影响的最大风力为几级？【答案与解析】解：（1）该城市会受到台风影响.理由：如图，过点 A作AD丄BC于D点, 则AD即为该城市距离台风中心的最短距离.在 RtAABD 中，因为/ B=30 , AB=240 .11二 AD = - AB= X240 = 120 （千米）.22由题可知，距台风中心在（12-4） 25=200 （千米）以内时，则会受到台风影响.因为120V200,因此该城市将会受到影响.（2）依题（1）可知，当点 A距台风中心不超过 200千米时，

17、会受台风影响，故在BC上作AE=AF=200 ;台风中心从点 E移动到点F处时, 图） 由勾股定理得， DE2 AE2 AD2 2002 1202DE = 160 （千米）.所以 EF=2X 160=320 （千米）.又知台风中心以20千米/时的速度移动.所以台风影响该城市 320+20=16 （小时）.（3） v AD距台风中心最近，该城市受到这次台风最大风力为：12- （120+25） =7.2 （级）答：该城市受台风影响最大风力7.2级.可通过作辅助线构造直角【总结升华】 本题是将实际问题转化为直角三角形中的数学问题,三角形，再把条件和问题转化到直角三角形中，运用勾股定理使问题解决. 【

18、巩固练习】一选择题2 21.在 ABC中，若aA.锐角三角形B .钝角三角形C.等腰三角形D. 直角三角形n 1, b 2n,c n 1，则 /KBC 是(2. 如图，每个小正方形的边长为 1 , A、B、C是小正方形的顶点，则/ABC的度数为（）A. 90 B. 60 C. 45D . 30 C3. （ 2015春?西华县期末）下列满足条件的三角形中，不是直角三角形的是（）A .三内角之比为1 :2:3B .三边长的平方之比为 1 :2: 3C .三边长之比为3:4:5D .三内角之比为 3: 4： 54. 如图，一牧童在 A处牧马，牧童家在 B处，A、B处距河岸的距离 AC、BD的长分别为

19、 500m和700m，且C、D两地的距离为500m，天黑前牧童从 A点将马牵引到河边去饮水后，再赶回家，那么牧童至少要走（)AuDcBAB. 1200mC. 1300mD. 1700mA . 2900m5.直角三角形的两条直角边长为a,b,斜边上的高为h，则下列各式中总能成立的是（）1 1则（AC + BC）2等于2A. ab=hB. a2+b2=h26.如图，RtABC 中，/ C = 90 ( )C 1 1 1C .a b hCD 丄 AB 于点 D, AB = 13,1D .aCD = 6,7.已知三角形的三边长为325a、b、C. 21972,b24m2, c22,b24m, c22,

20、b22m, c22,b22 22m , cD .由下列条件能构成直角三角形的是（405)& （ 2016?连云港）S2、S3；如图2，分别以直角三角形三个顶点为圆心，三边长为半径向外作圆心角相等S4、S5、S6.其中 S1 = 16 , S2=45, S5=11 , S6=14，则 S3+S4=（）如图1 ,分别以直角三角形三边为边向外作等边三角形，面积分别为S1、54 D. 489.如图，AB = 5, AC = 3, BC边上的中线 AD = 2，则ABC的面积为 A10. 如图所示，有一块直角三角形纸片，两直角边AB = 6, BC = 8,将直角边AB折叠使它落在斜边AC上，折痕为AD

21、，则BD =.11. 已知：ABC 中，AB = 15, AC = 13, BC 边上的高 AD = 12 , BC =.12. 如图，E是边长为4cm的正方形 ABCD的边AB上一点，且 AE=1cm , P为对角线 BD 上的任意一点，贝U AP+EP的最小值是 cm.113. 如图，长方体的底面边长分别为1cm和2cm，高为4cm，点P在边BC上，且BP= - BC .如4果用一根细线从点 A开始经过3个侧面缠绕一圈到达点 P,那么所用细线最短需要 _14. （2014春?监利县期末）小明把一根70cm长的木棒放到一个长宽高分别为30cm , 40cm,50cm的木箱中，他能放进去吗？答

22、： （选填能”或不能”.15. （2016 春？浠水县期末）如图， AD=8 , CD=6，/ ADC=90 AB=26 , BC=24，该图形的面积等于.C16. 如图所示，在ABC中，AB = 5, AC = 13, BC边上的中线 AD = 6，/BAD =三解答题17. （2016春？召陵区月考）能够成为直角三角形边长的三个正整数，我们称之为一组勾股 数，观察表格所给出的三个数a, b，c， av b v c.（1）试找出它们的共同点，并证明你的结论；（2）写出当a=17时，b, c的值.3, 4, 532+42=525, 12,13,52+122=1327, 24,2572+242=

23、2529, 40,4192+402=41217, b,c172+b2=c218. 如图等腰 AABC的底边长为8cm,腰长为5cm，一个动点P在底边上从B向C以0.25cm/s 的速度移动，请你探究，当P运动几秒时，P点与顶点A的连线PA与腰垂直.19. （2015?永州）如图，有两条公路 OM、ON相交成30。角，沿公路 0M方向离0点80米 处有一所学校 A .当重型运输卡车 P沿道路ON方向行驶时，在以P为圆心50米长为半 径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且卡车P与学校A的距离越近噪声影响越大.若一直重型运输卡车 P沿道路ON方向行驶的速度为18千米/时.（1）求对学校A的噪声影响

24、最大时卡车 P与学校A的距离；2）求卡车P沿道路ON方向行驶一次给学校 A带来噪声影响的时间.20. 如图1,四根长.度一.定 的木条，其中 AB = 6cm , CD = 15cm，将这四根木条用小钉 绞合在一起，构成一个四边形 ABCD （在A、B、C、D四点处是可以活动的）.现固定 AB边不动，转动这个四边形，使它的形状改变，在转动的过程中有以下两个特殊位置.位置一：当点 D在BA的延长线上时，点 C在线段AD上（如图2）;位置二：当点 C在AB的延长线上时，/ C= 90（1）在图2中，若设BC的长为X，请用X的代数式表示 AD的长；（2）在图3中画出位置二的准确 图形；（各木条长度需

25、符合题目要求）(3)利用图2、图3求图1的四边形ABCD中，BC、AD边的长.15A - JgocA SD阳1圈2【答案与解析】-选择题1. 【答案】D ；【解析】因为c2 a2n2 1 n2 1 n2 1n21 = 4n2b2，所以 c2a2 b2,a2 b2 c2，由勾股定理的逆定理可知：AABC是直角三角形.2. 【答案】C;【解析】连接AC,计算AC2= BC2= 5,AB2= 10,根据勾股定理的逆定理，ABC是等腰直角三角形，/ ABC = 453. 【答案】D ;【解析】解：A、因为根据三角形内角和定理可求出三个角分别为30度，60度，90度,所以是直角三角形，故正确;B、因为其

26、符合勾股定理的逆定理，所以是直角三角形，故正确；C、因为其符合勾股定理的逆定理，所以是直角三角形，故正确；D、 因为根据三角形内角和公式得三个角中没有90。角，所以不是直角三角形, 故不正确.故选D .4. 【答案】C;【解析】作A点关于河岸的对称点 A,连接BA交河岸与P,则PB+PA=PB+PA =BA最 短，如图，BB =BD+DB =1200, B A =500BA =1300 ( m).5【答案】D ;【解析】解：根据直角三角形的面积可以导出:abh再结合勾股定理:a2+ b2=c2.f*DAlIT*1:【解析】ACBC 2 AC2BC2 2AC BC AB2 2AB CD = 16

27、9+ 2 X13 X6=325.7.【答案】B ；【解析】m 124m m1 2 .&【答案】C;【解析】解:如图1, S1= AC2, S2=AB2, S3= BC2,6.【答案】B ;4442 2 2/ BC2=AB2- AC ,S2 - Sl=S3,如图 2, S4=S5+S6,-S3+S4=45 - 16+11 + 14=54.故选C.9. 【答案】6;【解析】延长 AD到E，使DE = AD，连结BE，可得ABE为直角三角形.10. 【答案】3;【解析】设点 B落在AC上的E点处，设BD = X，贝U DE = BD = x , AE = AB = 6, CE =4, CD= 8 X

28、，在RtCDE中根据勾股定理列方程.11. 【答案】14或4;【解析】当AABC是锐角三角形时，BC = 9 + 5= 14 ;当ABC是钝角三角形时，BC = 9 5= 4.12. 【答案】5【解析】作E点关于直线BD的对称点E,连接AE,贝U线段AE的长即为AP+EP的最 小值5.BC13. 【答案】5【解析】T长方体的底面边长分别为1cm和2cm，高为4cm，点P在边BC上，且13BP= BC,. AC=4cm , PC= BC=3cm，根据两点之间线段最短，AP=5 .44【解析】解：可设放入长方体盒子中的最大长度是xcm ,根据题意，得 x2=502+402+302=5000, 70

29、2=4900,因为 4900V 5000,所以能放进去.15. 【答案】96;【解析】连接 AC,在Rt ACD中，AD=8 , CD=6, AC 2=100 ,在厶 ABC 中，T AC2+BC2=102+242=262=AB2, ABC为直角三角形；图形面积为：Saabc - Saacdx 10X 24-丄 x 6x 8=96.16. 答案】90【解析】延长 AD 至U M，使 DM = AD，易得 AABD MCD . CM = AB = 5 AM=2AD = 12在 AACM 中 52122132 即 CM 2 AM 2 AC2 AMC =Z BAD=90三解答题17. 解析】解：（1

30、 ）以上各组数的共同点可以从以下方面分析: 以上各组数均满足 a2+b2=c2 ； 最小的数(a)是奇数，其余的两个数是连续的正整数； 最小奇数的平方等于另两个连续整数的和，2 2 2 2如 3 =9=4+5, 5 =25=12 + 13, 7 =49=24+25 , 9 =8仁40+41由以上特点我们可猜想并证明这样一个结论：设m为大于1的奇数，将m2拆分为两个连续的整数之和，即m2= n+ (n+1),则m, n, n+1就构成一组简单的勾股数，证明：T m2=n+ (n+1) (m为大于1的奇数)，2 2 2 2m +n =2n +1 +n = (n+1),m, n, (n+1 )是一组勾股数；(2) 运用以上结论，当 a=17时，2T 17 =289=144