完整版三角形全等之倍长中线含答案和练习

1、三角形全等之倍长中线1. 如图，AD为厶ABC的中线.(1) 求证：AB+AC 2AD .(2) 若AB=5, AC=3,求AD的取值范围.2. 如图，在 ABC 中，AD 平分/ BAC, 且 BD=CD .求证：AB=AC.3. 如图，CB是厶AEC的中线，CD是厶ABC的中线，且 AB=AC. 求证：CE=2CD :CB平分/ DCE .174. 如图，在 ABC中，D是BC边的中点，E是AD上一点，BE=AC， BE的延长线交AC于点F .求证：/ AEF= / EAF .5. 如图，在 ABC中，AD交BC于点D,点E是BC的中点，EF / AD交CA的延长线于点 F， 交 AB 于

2、点 G，BG = CF .求证：AD ABC的角平分线.6. 如图，在四边形 ABCD中，AD / BC,点E在BC上，点F是CD的中点，且 AF丄AB,已知AD=2.7, AE=BE=5，求CE的 长.7. 如图，在正方形ABCD的边CB的延长线上取一点E,AFEB为等腰直角三角形，/ FEB=90 连接FD，取FD的中点G，连接EG，CG.求证：EG=CG且EG丄CG.【参考答案】1.(1)证明：如图,E延长AD至E, 使 DE=AD，连接BE, AE=2AD. AD是厶ABC的中线 BD=CD在厶BDE和厶CDA中BD CD1 2ED AD BDECDA (SAS) BE=AC在厶ABE

3、 中, AB+BEAE AB+AC2AD(2)解：由可知AE=2AD, BE=AC在厶ABE中，AB BEvAEvAB+BE AC=3, AB=55 3AE5+3 22AD8 1AD42.证明：如图，延长 AD到E,使DE=AD，连接BE.E在厶ADC和厶EDB中CD BD34AD ED ADC EDB (SAS) AC=EB,Z 2=Z E AD 平分/ BAC AB=BE AB=AC3.证明：如图,F延长CD至U F, 使 DF=CD，连接BF . CF=2CDv CD是厶ABC的中线 BD=AD在厶BDF和厶ADC中BD AD2 1DF DC BDF ADC (SAS) BF=AC,Z

4、3=Z Av CB是厶AEC的中线 BE=ABv AC=AB BE=AC BE=BFvZ CBE是厶ABC的一个外角/ CBE=Z BCA+Z A=Z BCA+Z3v AC=ABZ BCA=Z CBAZ CBE=Z CBA+Z 3=Z CBF在厶CBE和厶CBF中CB CBCBE CBFBE BF CBEA CBF (SAS) CE=CF, Z 4=Z 5 CE=2CDCB平分Z DCE4. 证明：如图，延长 AD到M，使DM=AD，连接BM .Mv D是BC边的中点BD=CD在厶ADC和厶MDB中CD BDADC MDBAD MD ADC MDB (SAS)/ CAD=Z M , AC=MB

5、 BE=AC BE=MB/ M = Z BEM/ CAD=Z BEMvZ AEF=Z BEM/ CAD=Z AEF即 Z AEF=Z EAF5. 证明：如图，延长 FE到M，使EM=EF，连接BM.Mv点E是BC的中点 BE=CE在厶CFE和厶BME中FE MECEF BEMCE BE CFE BME (SAS) CF=BM , Z F=Z Mv BG=CF BG=BMZ 3=Z MZ 3=Z Fv AD/ EF Z 2=Z F, Z 1 = Z 3 Z 1 = Z 2即ADABC的角平分线.6. 解：如图，延长AF交BC的延长线于点G.ADBE C AD/ BC/ 3=Z G点F是CD的中点

6、 DF=CF在厶ADF和厶GCF中3 G1 2DF CF ADF GCF (AAS ) AD=CG AD=2.7 CG=2.7 AE=BE / 5=Z B AB 丄 AF / 4+/5=90/ B+/ G=904=/ G EG=AE=5 CE=EG CG=5 2.7=2.37. 证明：如图，延长EG,交CD的延长线于M .MxlA D/E BC由题意，/ FEB=90, / DCB=90:丄 DCB+Z FEB=180 EF/ CD/ FEG = Z M点G为FD中点 FG=DG在厶FGE和厶DGM中FEG MFGE DGMFG DG FGE DGM (AAS) EF=MD , EG=MG F

7、EB是等腰直角三角形 EF=EB BE=MD在正方形ABCD中，BC=CD BE+BC=MD+CD即 EC=MC ECM是等腰直角三角形 EG=MG EG丄 CG,Z ECG=Z MCG=45 EG=CG全等三角形之倍长中线每日一题1. （4月21日）已知：如图，在梯形 ABCD中，AD / BC，AB=AD+BC，E是CD的中点.求证：AE丄BE.EADFF2. （4月22日）已知：如图， ABC与厶BDE均为等腰直角三角形，BA丄AC, ED丄BD，垂足分别为A, D，连接EC, F为EC中点，连接AF, DF ,猜测AF, DF的数量关系和位置关系， 并说明理由.3. （4月23日）已知

8、：如图，D为线段AB的中点，在AB上任取一点C （不与点A, B, D重合），分别以AC, BC为斜边在AB同侧作等腰 RtA ACE与等腰RtA BCF，/ AEC= / CFB=90 ,连接DE, DF , EF .求证： DEF为等腰直角三角形.4. （4月24日）已知：如图，在四边形 ABCD中，AB/ DC, E为BC边的中点，/ BAE=Z EAF, AF与DC的延长线相交于 点F.试探究线段AB与AF, CF之间的数量关系，并说明理由.【参考答案】1. 证明：延长AE交BC的延长线于点F.F AD/ BC/ D = / DCF,/ DAE=Z F E是CD的中点 DE=CE在厶A

9、DE和厶FCE中/ D / FCEDAE FDE CE ADEFCE (AAS ) AD=FC, AE=FE/ AB=AD+BC AB=CF+BC=BF在厶ABE和厶FBE中AB FBBE BEAE FE ABEA FBE ( SSS)/ AEB=Z FEB=90 即AE丄BE2. 解：AF丄DF , AF=DF，理由如下: 延长DF交AC于点P. BA丄 AC, ED丄 BD/ BAC=Z EDA=90 DE / AC/ DEC=Z ECA F为EC中点 EF=CF在厶EDF和厶CPF中DEF PCFEF CFZ EFD Z CFP EDFCPF (ASA) DE=CP，DF=PF ABC与

10、厶BDE均为等腰直角三角形 AB=AC, DE=BD AB BD=AC DE=AC CP即 AD=AP在厶DAF和厶PAF中DFPFAFAFADAP DAF FAF ( SSS)Z DFA=Z PFA=90 , Z DAF=Z PAF=45 AF 丄 DF, AF=DF3. 证明：延长ED到点G,使DG=DE，连接BG , FG . Fv D为线段AB的中点 AD=BD在厶EDA和厶GDB中ED GDZ EDA Z GDBDA DB EDAGDB (SAS) EA=GB，Z A=Z GBD ACE与厶BCF是等腰直角三角形 AE=CE=BG, CF=FB, Z A=Z ECA=Z FCB =

11、Z FBC=45Z ECF=90, Z GBF=Z GBD+Z FBD=90在厶ECF和厶GBF中EC GBZ ECF Z GBFCF BF ECF GBF (SAS) EF=GF, Z EFC = Z GFBvZ CFB=Z CFG+Z GFB=90 Z EFG = Z EFC+ Z CFG=90在厶EFD和厶GFD中EF GFFD FDED GD EFDGFD (SSS) Z EDF = Z GDF=90, Z EFD= Z GFD=45 DE=DF DEF为等腰直角三角形4.解：AB=AF+CF，理由如下：延长AE交DF的延长线于点G.G E为BC边的中点 BE=CE AB/ DC/ B

12、=Z BCG, / BAG=Z G 在厶ABE和厶GCE中/B / GCE/ BAE /GBE CE ABEA GCE (AAS ) AB=GCv/ BAE=/ EAF/ G= / EAF AF=GFv GC=GF+FC AB=AF+CF三角形全等之倍长中线（随堂测试）1. 在厶ABC中，AC=5，中线AD=4，则边AB的取值范围是:2. 已知：如图，在 ABC中，ABAC，D，E在BC上，且DE=EC,过D作DF / AB交AE于点 F，DF=AC.求证：AE平分/ BAC.A【参考答案】1. 3ABAC, E为BC边的中点， AD为/ BAC的平分线，过E作AD的平行线，交AB于F，交CA的延长线于G.求证：BF=CG .5. 如图，在四边形ABCD中，AD / BC,点E在BC上，点F是CD的中点，连接AF,若/ DAF= / EAF，求证：AF丄EF.【参考答案】1. 22. 证明略（提示：