2018年四川省泸州市高考数学一诊试卷(理科)

1、2018 年四川省泸州市高考数学一诊试卷（理科）一、选择题（共12 小题，每小题5 分，满分 60 分）1（5 分）已知 tan（） =，则 tan 的值为（）ABC3D 32（5 分）已知集合 A= x| y=2x1 ，B= y| y=x2 ，则 AB=（）A （ 1，1） B 0，+） C（ 1，1） D?3（5 分） “x0”是“（） x3”的（）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件1 11 1 中，E 为 BC的中点， F 为 B11 的中点，则4（5 分）在正方体 ABCD A B C DC异面直线 AF 与 C1E 所成角的正切值为（）ABCD5（5

2、分）函数 y=xln| x| 的大致图象是（）ABCD6（5 分）设 a，b 是空间中不同的直线， ，是不同的平面，则下列说法正确的是（）Aab，b? ，则 aBa? ，b? ，则 abCa? ，b? ，b，则 D，a? ，则 a7（5 分）已知函数 y=sin（2x+）在 x=处取得最大值，则函数y=cos（2x+）第1页（共 19页）的图象（）A关于点（， 0）对称B关于点（， 0）对称C关于直线 x=对称 D关于直线 x=对称8（5 分）如图， CD 是山的高，一辆汽车在一条水平的公路上从正东方向往正西方向行驶，在点 A 处时测得点 D 的仰角为 30，行驶 300m 后到达 B 处，此

3、时测得点 C 在点 B 的正北方向上，且测得点 D 的仰角为 45，则此山的高 CD=（）A150 m B75 m C150 m D300m9（5 分）已知圆锥的高为 5，底面圆的半径为，它的顶点和底面的圆周都在同一个球的球面上，则该球的表面积为（）A4 B36C48D2410（ 5 分）定义在 R 上的函数 f（ x）的导函数 f （x）无零点，且对任意 xR 都有 f（ f（x）+x3）=2，若函数 g（ x）=f（x） kx 在 1，1 上与函数 f（x）具有相同的单调性，则k 的取值范围是（）A 0，+）B（， 3C（， 0D 3，+）11（ 5 分）已知一几何体的三视图如图所示，俯视

4、图是一个等腰直角三角形和半圆，则该几何体的体积为（）ABCD12（ 5 分）函数 f（ x）=xln（x+2）+ex a+4ea x，其中 e 为自然对数的底数，若第2页（共 19页）存在实数 x0 使 f（x0） =3 成立，则实数a 的值为（）Aln2Bln21C ln2D ln21二、填空题（共4 小题，每小题 5 分，满分 20 分）13（5 分）已知函数 （fx）=2cos（+x），且 （f a）=，则 （fa）的值为14（5 分）设函数 f（ x）=，若 f（a）=9，则 a 的值15（ 5 分）已知函数 f（ x）=x（2x），若 f（x1） f（x），则 x 的取值范围是16（

5、 5 分）一个长，宽，高分别为 1、2、3 密封且透明的长方体容器中装有部分液体，如果任意转动该长方体， 液面的形状都不可能是三角形， 那么液体体积的取值范围是三、解答题（共5 小题，满分 60 分）17（ 12 分）已知函数 f （x）=sinxcosxcos2x+a 的最大值为（）求 a 的值；（）若方程 f （x）+m+1=0 在， 内有两个零点，求m 的取值范围18（ 12 分）设 f（x）=aex cos（x），其中 a0（）求证：曲线y=f（x）在点（ 0，f（ 0）处的切线过定点；（）若函数 f （x）在（ 1，1）上存在唯一极值，求正数a 的取值范围19（12 分）如图，在 A

6、BC中，角 A，B，C 所对的边分别为a，b，c，sinA=2sin（ A+B），它的面积 S=c2（ 1）求 sinB 的值；（ 2）若 D 是 BC边上的一点， cos，求的值第3页（共 19页）20（12 分）如图，在四棱锥 S ABCD中，底面 ABCD是梯形，AB DC，ABC=90，AD=SD，BC=CD= ，侧面 SAD底面 ABCD（）求证：平面SBD平面 SAD；（）若 SD与底面 ABCD所成的角为 60，求二面角 C SBD 的余弦值21（ 12 分）已知函数 f （x）= ax+alnx（a0）（）讨论 f （x）的单调性（）当 a=1 时，若方程 f（ x）=+m（

7、m 2）有两个相异实根x1，x2，且x1 x2，证明： x1x22 2请考生在 22.23 题中任选一题作答， 选修 4-4：坐标系与参数方程 22（ 10 分）在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系，已知直线的极坐标方程为=3，曲线 C 的极坐标方程为 =4acos（a 0）（ 1）设 t 为参数，若 y=2，求直线 l 参数方程；（ 2）已知直线 l 与曲线 C 交于 P，Q，设 M（ 0，），且| PQ| 2=| MP| ?| MQ| ，求实数 a 的值 选修 4-5：不等式选讲 23已知函数 f （x）=| a3x| | 2+x| （ 1）若

8、a=2，解不等式 f（ x） 3；（ 2）若存在实数 a，使得不等式 f（x） 1a4| 2+x| 成立，求实数 a 的取值范围第4页（共 19页）2018 年四川省泸州市高考数学一诊试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12 小题，每小题5 分，满分 60 分）1（5 分）已知 tan（） = ，则 tan 的值为（）ABC3D 3【解答】 解：由 tan（）=，得，解得 tan = 故选： A（分）已知集合2 ，则 AB=（）2 5A= x| y=2x1 ，B= y| y=xA （ 1，1）B 0，+）C（ 1，1） D?【解答】 解：集合 A= x| y=2x 1 =R，2 A B

9、= y| y0 = 0，+）故选： B3（5 分） “x0”是“（） x3”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【解答】 解： “（x）x3”? “33”? “ x1”? “x 1”，故 “x0”是 “（）x3”的充分不必要条件，故选： A第5页（共 19页）4（5 分）在正方体ABCD A1B1C1D1 中， E 为 BC 的中点， F 为 B1C1 的中点，则异面直线 AF 与 C1E 所成角的正切值为（）ABCD【解答】 解：以 D 为坐标原点， DC， DA，DD1 分别为 x，y， z 轴建立空间直角坐标系，设正方体的边长为2，可得 A（0，2，0）

10、，B（2，2，0），C（ 2，0，0），B1（2，2，2），C1（2，0，2），由中点坐标公式可得E（2，1，0），F（2，1，2），则 =（2， 1，2），=（0，1， 2），则 cos，=，可得异面直线 AF 与 C1E 所成角的余弦值为，则异面直线 AF 与 C1E 所成角的正弦值为=，可得异面直线 AF 与 C1E 所成角的正切值为，故选： C5（5 分）函数 y=xln| x| 的大致图象是（）第6页（共 19页）ABCD【解答】解：令 f（x）=xln| x| ，易知 f（ x）=xln| x| =xln| x| =f（x），所以该函数是奇函数，排除选项 B；又 x0 时， f （

11、x）=xlnx，容易判断，当 x+时， xlnx +，排除 D 选项；令 f（ x）=0，得 xlnx=0，所以 x=1，即 x0 时，函数图象与 x 轴只有一个交点，所以 C 选项满足题意故选： C6（5 分）设 a，b 是空间中不同的直线， ，是不同的平面，则下列说法正确的是（）Aab，b? ，则 aBa? ，b? ，则 abCa? ，b? ，b，则 D，a? ，则 a 【解答】 解：由 a， b 是空间中不同的直线， ，是不同的平面，知：在 A 中， ab，b? ，则 a或 a? ，故 A 错误；在 B 中， a? ， b? ， ，则 a 与 b 平行或异面，故 B 错误；在 C 中，

12、a? ， b? ， ， b，则 与 相交或平行，故 C 错误；在 D 中， ， a? ，则由面面平行的性质定理得a，故 D 正确故选： D7（5 分）已知函数 y=sin（2x+）在 x=处取得最大值，则函数y=cos（2x+）的图象（）A关于点（， 0）对称B关于点（， 0）对称第7页（共 19页）C关于直线 x=对称 D关于直线 x=对称【解答】 解：函数 y=sin（2x+）在 x=处取得最大值， sin（+）=1， cos（+）=0，函数 y=cos（2x+）的图象关于点（， 0）对称，故选： A8（5 分）如图， CD 是山的高，一辆汽车在一条水平的公路上从正东方向往正西方向行驶，在

13、点 A 处时测得点 D 的仰角为 30，行驶 300m 后到达 B 处，此时测得点 C 在点 B 的正北方向上，且测得点 D 的仰角为 45，则此山的高 CD=（）A150m B75m C150m D300m【解答】 解：设此山高h（m），由题意在点A 处时测得点D 的仰角为 30，得AC=h，在 ABC中， CBA=90，测得点 D 的仰角为 45， BC=h， AB=300根据勾股定理得， 3h2=h2+90000， h=150故选： C9（5 分）已知圆锥的高为5，底面圆的半径为，它的顶点和底面的圆周都在同一个球的球面上，则该球的表面积为（）A4 B36C48D24第8页（共 19页）【

14、解答】 解：设球的半径为R，则圆锥的高 h=5，底面圆的半径 r=， R2=（ R h） 2+r2，即 R2=（ R5） 2+5，解得： R=3，2故该球的表面积S=4R=36，故选： B10（ 5 分）定义在 R 上的函数 f（ x）的导函数 f （x）无零点，且对任意 xR 都有 f（ f（x）+x3）=2，若函数 g（ x）=f（x） kx 在 1，1 上与函数 f（x）具有相同的单调性，则k 的取值范围是（）A 0，+）B（， 3C（， 0D 3，+）【解答】解：定义在R 上的函数 f（x）的导函数 f （x）无零点，函数f（x）是单调函数，令 f（ x）+x3=t，则 f（x）=tx

15、3，f （x）=3x20 在 1，1 恒成立，故 f（x）在 1，1 递减，结合题意 g（ x） = x3+t kx 在 1， 1 递减，故 g（x）=3x2k 0 在 1，1 恒成立，故 k 3x2 在 1，1 恒成立，故 k0，故选： A11（ 5 分）已知一几何体的三视图如图所示，俯视图是一个等腰直角三角形和半圆，则该几何体的体积为（）第9页（共 19页）ABCD【解答】解：由已知中的三视图可得： 该几何体是一个三棱锥与半圆柱的组合体，三棱锥的长宽高分别为：2， 1， 2，故体积为：，半圆柱的底面半径为 1，高为 2，故体积为： ，故组合体的体积 V= +，故选： D12（ 5 分）函数

16、 f（ x）=xln（x+2）+ex a+4ea x，其中 e 为自然对数的底数，若存在实数 x0 使 f（x0） =3 成立，则实数a 的值为（）Aln2Bln21C ln2D ln21【解答】 解：令 f（ x）=xln（x+2）+ex a+4eax，令 g（x） =xln（ x+2），g（ x） =1=，故 g（x） =xln（ x+2）在（ 2， 1）上是减函数，（ 1， +）上是增函数，故当 x= 1 时， g（x）有最小值 1 0=1，而 ex a+4ea x 4，（当且仅当 ex a=4eax，即 x=a+ln2 时，等号成立）；故 f（ x） 3（当且仅当等号同时成立时，等号成

17、立） ；故 x=a+ln2=1，即 a= 1 ln2故选： D二、填空题（共4 小题，每小题 5 分，满分 20 分）13（ 5 分）已知函数f（x）=2cos（+x），且 f （ a）=，则 f（ a）的值为【解答】 解： f（x） =2cos（+x）=2sinx，函数 f （x）为奇函数，又 f（ a）=，第 10 页（共 19 页） f（a）=f（ a）= 故答案为：14（ 5 分）设函数 f（x）=，若 f（a）=9，则 a 的值3【解答】 解：若 a 2，由 f （a）=9，得 2a+1=9，得 a=3，若 0a2，由 f（a）=9，得 log2a+4=9，得 a=32，舍去综上 a

18、=3，故答案为： 3（分）已知函数x ），若 f（x1） f（x），则 x 的取值范155f（ x）=x（2围是（，）【解答】 解： x0 时， f（x）在（ 0， +）递增，而 f（ x） =f（x）， f（x）是偶函数，故 f（ x）在（， 0）递减，若 f（ x1） f（ x），则 | x1| | x| ，即（ x1）2x2，解得： x ，故答案为：（， ）16（ 5 分）一个长，宽，高分别为 1、2、3 密封且透明的长方体容器中装有部分液体，如果任意转动该长方体， 液面的形状都不可能是三角形， 那么液体体积的取值范围是 （1， 5） 【解答】 解：长方体 ABCD EFGH，若要使液面

19、不为三角形，则液面必须高于平面 EHD，且低于平面 AFC；而当平面 EHD平行水平面放置时，若满足上述条件，则任意转动该长方体，液面的形状都不可能是三角形；第 11 页（共 19 页）所以液体体积必须大于三棱柱G EHD的体积，并且小于长方体ABCDEFGH体积三棱柱 BAFC体积 1=，又长方体体积为1 2 3=6，所以液体体积取值范围是6V 液体6，即 1V 液体5故答案为：（ 1， 5）三、解答题（共5 小题，满分 60 分）17（ 12 分）已知函数 f （x）=sinxcosxcos2x+a 的最大值为（）求 a 的值；（）若方程 f （x）+m+1=0 在， 内有两个零点，求m

20、的取值范围【解答】 解：（1） f（ x） =sinxcosxcos2x+a=，=， a= ；（ 2）由（ 1）知， f（ x）=，若方程 f（x）+m+1=0 在， 内有两个零点，则方程f（x）=m1 在， 内有两个零点，即函数 y=f（ x）的图象与 y= m1 的图象在 ， 内有两个不同交点，第 12 页（共 19 页）如图：由图可知，要使函数y=f（ x）的图象与y= m1 的图象在 ， 内有两个不同交点，则，即（12分）设x cos（x），其中 a018f（x）=ae（）求证：曲线 y=f（x）在点（ 0，f（ 0）处的切线过定点；（）若函数 f （x）在（ 1，1）上存在唯一极值，

21、求正数a 的取值范围【解答】 证明：（） f（ x） =aexcos（ x）， f （ x）=aex+sin（ x）， k=f （0） =a，f （0）=a，曲线 y=f（ x）在点（ 0，f（0）的切线方程为y a=ax，即 ax y+a=0， a（ x+1） y=0， axy+a=0 过定点（ 1，0），曲线 y=f（ x）在点（ 0，f（0）处的切线过定点：x解：（ 2） f（ x）=ae cos（x）， f （ x）=aex+sin（x）， f（x）在（ 1，1）上存在唯一的极值点， f （ 1）f （1） 0，（ ）（ae+ ） 0，解得a，第 13 页（共 19 页）故 a 的范围

22、为（，）19（12 分）如图，在 ABC中，角 A，B，C 所对的边分别为a，b，c，sinA=2sin（ A+B），它的面积 S=c2（ 1）求 sinB 的值；（ 2）若 D 是 BC边上的一点， cos，求的值【解答】 解：（1） sinA=2sin（ A+B）， sinA=2sinC， a=2c， S= sinB?c?2c=c2，故 sinB=；（ 2）由（ 1）sinB=，cos， cosB= ， sin ADB= ， sinBAD=sin（ B+ADB）=sinBcosADB+cosBsinADB= + = ，由=，得：=，解得： BD= c，故 =320（12 分）如图，在四棱锥

23、 S ABCD中，底面 ABCD是梯形，AB DC，ABC=90，第 14 页（共 19 页）AD=SD，BC=CD=，侧面 SAD底面 ABCD（）求证：平面SBD平面 SAD；（）若 SD与底面 ABCD所成的角为 60，求二面角 C SBD 的余弦值【解答】（1）证明：取 AB 中点 M ，连接 DM，底面 ABCD是梯形， ABDC， ABC=90， BC=CD=，四边形 BCDM是正方形，且 AM=DM DAB， ADC=90， DBAD又侧面 SAD底面 ABCD，侧面 SAD底面 ABCD=AD，BD? 面 ABCD， BD平面 SAD，又 DB? 平面 SBD，平面 SBD平面

24、 SAD（ 2）解侧面 SAD底面 ABCD， SDA就是 SD 与底面 ABCD所成的角或其补角， SDA=60或 120，下面可以分类讨论，在此求解 SDA=60的情况 AD=SD， SAD是等边如图以 D 为原点， DA， DB 所在直线分别为 x，y 轴建立空间直角坐标系，设 CD=2，则 S（，0，），B（0，2，0），C（，0），设面 SCB的法向量为：，可得设面 SBD的法向量为可得cos=第 15 页（共 19 页）二面角 CSB D 的余弦值为21（ 12 分）已知函数 f （x）= ax+alnx（a0）（）讨论 f （x）的单调性（）当 a=1 时，若方程 f（ x）=+

25、m（ m 2）有两个相异实根x1，x2，且x1 x2，证明： x1x22 2【解答】（）解：函数 f （x）= ax+alnx（a0）的定义域为（ 0，+）f （x）=x a+=，（a0）， =a2 4a当 0，即 0a4 时，函数 f（x）在（ 0，+）递增，当 0，即 4 时， f （ x） =0 的根，x（ 0，x1）时， f （x）0，x（ x1，x2）时， f （x） 0，x（x2，+）时，f （x） 0， f（x）在（ 0， x1），（x2， +）上单调递增，在（x1，x2 ）递减（）证明：当a=1 时，若方程 f（ x） =+m（ m 2）有两个相异实根x1，x2? 方程 lnx

26、xm=0（m 2）有两个相异实根 x1，x2令 g（x） =lnxxm，定义域为（ 0，+），g（x）= 1第 16 页（共 19 页）令 g（x） 0 得 x1，令 g（ x） 0 得 0x1所以函数 g（ x）=lnxxm 的单调减区间是（ 1，+），单调递增区间（ 0， 1），又 lnx1x1 m=lnx2 x2m=0，由题意可知 lnx2x2=m 2 ln2 2，又可知 g（x）=lnx x m 在（ 1， +）递减，故 x22，令 h（x） =g（x） g（），（x2），h（x）=g（ x） g（）=）=x+3lnxln2（x2），h（ x）=，当 x2 时， h（ x） 0，h（x）是减函数，所以h（x） h（2）=2ln20所以当 x22 时， g（ x2） g（） 0，即 g（ x1） g（），因为 g（x）在（ 0， 1）上单调递增，所以 x1，故 x1?x222综上所述： x1?x222请考生在 22.23 题中任选一题作答， 选修 4-4：坐标系与参数方程 22（ 10 分）在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系，已知直线的极坐标方程为=3，曲线 C 的极坐标方程