2021高考数学第一轮复习精品学案第33讲：圆锥曲线方程及性质

1、2021高考数学第一轮复习精品学案第33讲：圆锥曲线方程及性质普通高考数学科一轮复习精品学案第33讲 圆锥曲线方程及性质一课标要求1了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用； 2经历从具体情境中抽象出椭圆、抛物线模型的过程，掌握它们的定义、标准方程、几何图形及简单性质；3了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道双曲线的有关性质。二命题走向本讲内容是圆锥曲线的基础内容，也是高考重点考查的内容，在每年的高考试卷中一般有23道客观题，难度上易、中、难三档题都有，主要考查的内容是圆锥曲线的概念和性质，从近十年高考试题看主要考察圆锥曲线的概念和性质。圆锥曲线在高考试题中

2、占有稳定的较大的比例，且选择题、填空题和解答题都涉及到，客观题主要考察圆锥曲线的基本概念、标准方程及几何性质等基础知识和处理有关问题的基本技能、基本方法。对于本讲内容来讲，预测：（1）1至2道考察圆锥曲线概念和性质客观题，主要是求值问题；（2）可能会考察圆锥曲线在实际问题里面的应用，结合三种形式的圆锥曲线的定义。三要点精讲1椭圆 （1）椭圆概念平面内与两个定点1F 、2F 的距离的和等于常数（大于21|F F ）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫椭圆的焦距。若M 为椭圆上任意一点，则有21|2MF MF a +=。椭圆的标准方程为：22221x y a b +=（0a

3、 b ）（焦点在x 轴上）或12222=+bx a y （0a b ）（焦点在y 轴上）。注：以上方程中,a b 的大小0a b ，其中222c a b =-；在22221x y a b +=和22221y x a b+=两个方程中都有0a b 的条件，要分清焦点的位置，只要看2x 和2y 的分母的大小。例如椭圆221x y m n+=（0m ，0n ，m n ）当m n 时表示焦点在x 轴上的椭圆；当m n （2）椭圆的性质范围：由标准方程22221x y a b+=知|x a ，|y b ，说明椭圆位于直线x a =，y b=所围成的矩形里；对称性：在曲线方程里，若以y -代替y 方程不变

4、，所以若点(,)x y 在曲线上时，点(,)x y -也在曲线上，所以曲线关于x 轴对称，同理，以x -代替x 方程不变，则曲线关于y 轴对称。若同时以x -代替x ，y -代替y 方程也不变，则曲线关于原点对称。所以，椭圆关于x 轴、y 轴和原点对称。这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中心叫椭圆的中心；顶点：确定曲线在坐标系中的位置，常需要求出曲线与x 轴、y 轴的交点坐标。在椭圆的标准方程中，令0x =，得y b =，则1(0,)B b -，2(0,)B b 是椭圆与y 轴的两个交点。同理令0y =得x a =，即1(,0)A a -，2(,0)A a 是椭圆与x 轴的

5、两个交点。所以，椭圆与坐标轴的交点有四个，这四个交点叫做椭圆的顶点。同时，线段21A A 、21B B 分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为2a 和2b ，a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。由椭圆的对称性知：椭圆的短轴端点到焦点的距离为a ；在22Rt OB F ?中，2|OB b =，2|OF c =，22|B F a =，且2222222|OF B F OB =-，即222c a c =-；离心率：椭圆的焦距与长轴的比ce a=叫椭圆的离心率。0a c ，01e 22x y a +=。2双曲线 （1）双曲线的概念平面上与两点距离的差的绝对值为非零常数的动点轨迹是双曲线（12|

6、2PF PF a -=）。注意：（*）式中是差的绝对值，在1202|a F F 椭圆和双曲线比较： 椭 圆双 曲 线定义 1212|2(2|)PF PF a a F F +=1212|2(2|)PF PF a a F F -=方程 22221x y a b += 22221x y b a += 22221x y a b -= 22221y x a b -= 焦点(,0)F c (0,)F c (,0)F c (0,)F c 注意：如何有方程确定焦点的位置！（2）双曲线的性质范围：从标准方程12222=-by a x ，看出曲线在坐标系中的范围：双曲线在两条直线a x =的外侧。即22a x ，

7、a x 即双曲线在两条直线a x =的外侧。对称性：双曲线12222=-b y a x 关于每个坐标轴和原点都是对称的，这时，坐标轴是双曲线的对称轴，原点是双曲线12222=-by a x 的对称中心，双曲线的对称中心叫做双曲线的中心。顶点：双曲线和对称轴的交点叫做双曲线的顶点。在双曲线12222=-by a x 的方程里，对称轴是,x y 轴，所以令0=y 得a x =，因此双曲线和x 轴有两个交点)0,()0,(2a A a A -，他们是双曲线12222=-by a x 的顶点。令0=x ，没有实根，因此双曲线和y 轴没有交点。1）注意：双曲线的顶点只有两个，这是与椭圆不同的（椭圆有四个

8、顶点），双曲线的顶点分别是实轴的两个端点。2）实轴：线段2A A 叫做双曲线的实轴，它的长等于2,a a 叫做双曲线的实半轴长。虚轴：线段2B B 叫做双曲线的虚轴，它的长等于2,b b 叫做双曲线的虚半轴长。渐近线：注意到开课之初所画的矩形，矩形确定了两条对角线，这两条直线即称为双曲线的渐近线。从图上看，双曲线12222=-by a x 的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐接近。等轴双曲线：1）定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。定义式：a b =； 2）等轴双曲线的性质：（1）渐近线方程为：x y = ；（2）渐近线互相垂直。 注意以上几个性质与定义式彼此等价。亦即若题目中出现上述其

9、一，即可推知双曲线为等轴双曲线，同时其他几个亦成立。3）注意到等轴双曲线的特征a b =，则等轴双曲线可以设为：)0(22=-y x ，当0时交点在x 轴，当0注意191622=-y x 与221916y x -=的区别：三个量,a b c 中,a b 不同（互换）c 相同，还有焦点所在的坐标轴也变了。3抛物线 （1）抛物线的概念平面内与一定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点F 不在定直线l 上)。定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线。方程()022=p pxy 叫做抛物线的标准方程。注意：它表示的抛物线的焦点在x 轴的正半轴上，焦点坐标是F （2p,0

10、），它的准线方程是2p x -= ； （2）抛物线的性质一条抛物线，由于它在坐标系的位置不同，方程也不同，有四种不同的情况，所以抛物线的标准方程还有其他几种形式：px y 22-=，py x 22=，py x 22-=.这四种抛物线的图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程如下表：标准方程22(0)y px p =22(0)y px p =-22(0)x py p =22(0)x py p =-图形 焦点坐标 (,0)2p (,0)2p -(0,)2p(0,)2p -准线方程 2p x =-2p x =2p y =-2p y =范围 0x 0x 0y 0y 对称性 x 轴x 轴y 轴y 轴顶点 (

11、0,0)(0,0)(0,0)(0,0)离心率1e = 1e = 1e = 1e =说明：（1）通径：过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径；（2）抛物线的几何性质的特点：有一个顶点，一个焦点，一条准线，一条对称轴，无对称中心，没有渐近线；（3）注意强调p 的几何意义：是焦点到准线的距离。四典例解析题型1：椭圆的概念及标准方程例1求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）两个焦点的坐标分别是(4,0)-、(4,0)，椭圆上一点P 到两焦点距离的和等于10； （2）两个焦点的坐标分别是(0,2)-、(0,2)，并且椭圆经过点35(,)22-； （3）焦点在x 轴上，:2:1a b =，c = （4）

12、焦点在y 轴上，225a b +=，且过点(；（5）焦距为b ，1a b -=；（6）椭圆经过两点35(,)22-，。 解析：（1）椭圆的焦点在x 轴上，故设椭圆的标准方程为22221x y a b+=（0a b ），210a =，4c =，2229b a c =-=，所以，椭圆的标准方程为221259x y +=。（2）椭圆焦点在y 轴上，故设椭圆的标准方程为22221y x a b+=（0a b ），由椭圆的定义知，2a =，10a =，又2c =，2221046b a c =-=-=，所以，椭圆的标准方程为221106y x +=。（3）c =2226a b c -=，又由:2:1a b

13、 =代入得2246b b -=， 22b =，28a =，又焦点在x 轴上，所以，椭圆的标准方程为22182x y +=。 （4）设椭圆方程为22221y x a b+=，221b =，22b =， 又225a b +=，23a =，所以，椭圆的标准方程为22132y x += （5）焦距为6，3c =，2229a b c -=，又1a b -=，5a =，4b =，所以，椭圆的标准方程为2212516x y +=或2212516y x +=（6）设椭圆方程为221x y m n+=（,0m n ）， 由2235()()221351m n m n?-?+=?+=?得6,10m n =， 所以，

14、椭圆方程为221106y x += 点评：求椭圆的方程首先清楚椭圆的定义，还要知道椭圆中一些几何要素与椭圆方程间的关系。例2（1）已知椭圆中心在原点，一个焦点为F （23，0），且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是 。（2）椭圆的中心为点(10)E -，它的一个焦点为(30)F -，相应于焦点F 的准线方程为72x =-，则这个椭圆的方程是（ ）222(1)21213x y -+=222(1)21213x y += 22(1)15x y -+=22(1)15x y += 解析：（1）已知222222242,161164(b a b c y x a a b cF =?=?=?+=?-=?

15、-?为所求； （2）椭圆的中心为点(1,0),E -它的一个焦点为(3,0),F - 半焦距2c =，相应于焦点F 的准线方程为7.2x =-252a c =，225,1a b =，则这个椭圆的方程是22(1)15x y +=，选D 。 点评：求椭圆方程的题目属于中低档题目，掌握好基础知识就可以。题型2：椭圆的性质例3（1）在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为（ ）(A)2 (B)22 (C) 21(D)42 （2）设椭圆2222by a x +=1（a b 0）的右焦点为F 1，右准线为l 1，若过F 1且垂直于x 轴的弦的长等于点F 1到

16、l 1的距离，则椭圆的离心率是 。解析：（1）不妨设椭圆方程为22221x y a b +=（a b 0），则有2221b a c a c=-=，据此求出e 22，选B 。 （2）21；解析：由题意知过F 1且垂直于x 轴的弦长为a b 22，c c a a b -=222，c a 12=，21=a c ，即e =21。 点评：本题重点考查了椭圆的基本性质。例4（1）椭圆短轴长是2，长轴是短轴的2倍，则椭圆中心到其准线距离是（ ） A.43B.554C.358D.334 （2）椭圆31222y x +=1的焦点为F 1和F 2，点P 在椭圆上.如果线段PF 1的中点在y 轴上，那么|PF 1|

17、是|PF 2|的（ ）A.7倍B.5倍C.4倍D.3倍解析：（1）D ；由题意知a =2，b =1，c =3，准线方程为x =ca 2，椭圆中心到准线距离为334（2）A ；不妨设F 1（3，0），F 2（3，0）由条件得P （3，23），即|PF 2|=23，|PF 1|=2147，因此|PF 1|=7|PF 2|，故选A 。点评：本题主要考查椭圆的定义及数形结合思想，具有较强的思辨性，是高考命题的方向。题型3：双曲线的方程例5（1）已知焦点12(5,0),(5,0)F F -，双曲线上的一点P 到12,F F 的距离差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程；（2）求与椭圆221255x y +

18、=共焦点且过点的双曲线的方程； （3）已知双曲线的焦点在y 轴上，并且双曲线上两点12,P P 坐标分别为9(3,2),(,5)4-，求双曲线的标准方程。解析：（1）因为双曲线的焦点在x 轴上，所以设它的标准方程为22221x y a b -=(0,0)a b ， 26,210a c =，3,5a c =，2225316b =-=。所以所求双曲线的方程为221916x y -=；（2）椭圆221255x y +=的焦点为(,0),5,0)-，可以设双曲线的方程为22221x y a b-=，则2220a b +=。又过点，221821a b -=。综上得，2220a b =-=221=。 点评

19、：双曲线的定义；方程确定焦点的方法；基本量,a b c 之间的关系。（3）因为双曲线的焦点在y 轴上，所以设所求双曲线的标准方程为22221(0,0)y x a b a b -=； 点12,P P 在双曲线上，点12,P P 的坐标适合方程。将9(3,2),(,5)4-分别代入方程中，得方程组：2222222(319()2541a b ab ?-=?-=? 将21a 和21b 看着整体，解得221116119a b ?=?=?，22169a b ?=?=?即双曲线的标准方程为221169y x -=。 点评：本题只要解得22,a b 即可得到双曲线的方程，没有必要求出,a b 的值；在求解的过

20、程中也可以用换元思想，可能会看的更清楚。例6. 已知双曲线中心在原点，一个顶点的坐标为(3,0),且焦距与虚轴长之比为5:4，则双曲线的标准方程是_.解析：双曲线中心在原点，一个顶点的坐标为(3,0),则焦点在x 轴上，且a=3，焦距与虚轴长之比为5:4，即:5:4c b =，解得5,4c b =，则双曲线的标准方程是221916x y -=； 点评：本题主要考查双曲线的基础知识以及综合运用知识解决问题的能力。充分挖掘双曲线几何性质，数形结合，更为直观简捷。 题型4：双曲线的性质例7（1）已知双曲线12222=-by a x (a 0,b 直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的

21、取值范围是（ ）A.( 1,2)B. (1,2)C.2,+D.(2,+)（2）过双曲线M:2221y x b-=的左顶点A 作斜率为1的直线l ,若l 与双曲线M 的两条渐近线分别相交于B、C,且|AB|=|BC|,则双曲线M的离心率是( )C.3D.2（3）已知双曲线x2a2y22=1(a2)的两条渐近线的夹角为3,则双曲线的离心率为（）A.2 B. 3 C.263 D.233解析：（1）双曲线22221(0,0)x ya ba b-=的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60o的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率ba，ba3，离心率e2=22222c

22、a ba a+=4， e2，选C。（2）过双曲线1:222=-byxM的左顶点A(1，0)作斜率为1的直线l：y=x1, 若l与双曲线M的两条渐近线222 yxb-=分别相交于点1122(,),(,)B x yC x y, 联立方程组代入消元得22(1)210b x x-+-=，1221222111x xbx xb?+=?-?=?-?，x1+x2=2x1x2，又|BCAB=,则B为AC中点，2x1=1+x2，代入解得121412xx?=?=-?， b2=9，双曲线M的离心率e=ca=A。（3）双曲线22212x ya-=(a2)的两条渐近线的夹角为3，则2tan63a=，a2=6，双曲线的离心

23、率为233，选D。点评：高考题以离心率为考察点的题目较多，主要实现cba,三元素之间的关系。例8（1）P 是双曲线22x y 1916的右支上一点，M 、N 分别是圆（x 5）2y 24和（x5）2y 21上的点，则|PM|PN|的最大值为（ ）A. 6B.7C.8D.9 （2）双曲线221mx y +=的虚轴长是实轴长的2倍，则m = A 14-B 4-C 4D 14（3）如果双曲线的两个焦点分别为)0,3(1-F 、)0,3(2F ，一条渐近线方程为x y 2=，那么它的两条准线间的距离是（ ）A 36B 4C 2D 1解析：（1）设双曲线的两个焦点分别是F 1（5，0）与F 2（5，0）

24、，则这两点正好是两圆的圆心，当且仅当点P 与M 、F 1三点共线以及P 与N 、F 2三点共线时所求的值最大，此时|PM|PN|（|PF 1|2）（|PF 2|1）1019故选B 。（2）双曲线221mx y +=的虚轴长是实轴长的2倍， m2214x y -+=， m=14-，选A 。（3）如果双曲线的两个焦点分别为)0,3(1-F 、)0,3(2F ，一条渐近线方程为x y 2=，229a b b a?+=?=?，解得2236a b ?=?=?，所以它的两条准线间的距离是222a c ?=，选C 。 点评：关于双曲线渐近线、准线及许多距离问题也是考察的重点。 题型5：抛物线方程例9（1）)

25、焦点到准线的距离是2；（2）已知抛物线的焦点坐标是F(0，-2)，求它的标准方程。 解析：（1）y 2=4x ，y 2=-4x ，x 2=4y ，x 2=-4y ； 方程是x 2=-8y 。点评：由于抛物线的标准方程有四种形式，且每一种形式中都只含一个系数p ，因此只要给出确定p 的一个条件，就可以求出抛物线的标准方程。当抛物线的焦点坐标或准线方程给定以后，它的标准方程就唯一确定了；若抛物线的焦点坐标或准线方程没有给定，则所求的标准方程就会有多解。 题型6：抛物线的性质例10（1）若抛物线22y px =的焦点与椭圆22162x y +=的右焦点重合，则p 的值为（ ）A 2-B 2C 4-D

26、 4 （2）抛物线28y x =的准线方程是（ ）(A) 2x =- (B) 4x =- (C) 2y =- (D) 4y =- （3）抛物线x y 42=的焦点坐标为( )（A ）)1,0(. （B ）)0,1(. （C ）)2,0(. （D ）)0,2(解析：（1）椭圆22162x y +=的右焦点为(2,0)，所以抛物线22y px =的焦点为(2,0)，则4p =，故选D ；（2）2p 8，p 4，故准线方程为x 2，选A ；（3）（直接计算法）因为p=2 ，所以抛物线y 2=4x 的焦点坐标为 。应选B 。点评：考察抛物线几何要素如焦点坐标、准线方程的题目根据定义直接计算机即可。 例11（1）抛物线2y x =-上的点到直线4380x y +-=距离的最小值是（ ） A 43 B 75 C 85D 3