空间点线面的位置关系

1、2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系,观察长方体，你能发现长方体的顶点、棱所在的直线，以及侧面、地面之间的关系吗？,长方体由上下、前后、左右六个面围成，有些面是平行的，有些面是相交的；有些棱所在的直线与面平行，有些棱所在的直线与面相交；每条棱所在的直线都可以看作是某个面内的直线等等.,空间中的点、直线、平面之间有什么位置关系，是我们接下来要讨论的问题.,1.平面的基本知识,(1)平面与我们学过的点、直线、集合等概念一样都是最基本的概念，即为不加定义的原始概念.,(2)平面的基本特征是无限延展性.,平面是理想的，绝对的平（平面是处处平直的面）；平面没有大小、没有厚薄和宽窄，是不可度量的.,光

2、滑的桌面、平静的湖面等都是我们熟悉的平面形象，数学中的平面概念是现实平面加以抽象的结果.,思考:能不能说一个平面长4米,宽2米？为什么?,不能.,画法,立体几何中通常用平行四边形来表示平面， 有时也用圆或三角形等图形来表示平面.,画平面水平放置时，常把平行四边形的锐角通常画成45，且横边长等于邻边长的2倍.,水平放置,垂直放置,为了增强立体感，如果一个平面被另一个平面遮挡住，常把它遮挡的部分用虚线画出来.,(3)平面的画法及表示,1.平面的基本知识,画出两个竖直放置的相交平面.,练习,表示方法：,A,B,C,D,用表示平面的平行四边形的四个顶点的大写英文字母表示， 如平面ABCD.,用表示平面

3、的平行四边形的相对的两个顶点的大写英文字母表示，如平面AC或者平面BD.,(3)平面的画法及表示,1.平面的基本知识,(1)点、线、面的表示,点(元素):大写字母A、B、C、D 直线(点的集合):小写英文字母 或者两个大写英文字母 平面(点的集合):用希腊字母表示 ； 用平行四边形顶点字母或者其相对两字母表示.,(2)点、线、面之间的位置关系的表示 用集合中的关系符号 元素与集合关系： 集合与集合关系：,2.点、直线、平面的位置关系,点A在直线a上，记作,点B不在直线a上，记作,点A在平面上，记作,点B不在平面上，记作,(1)点与直线的位置关系：,(2)点与平面的位置关系：,2.点、直线、平面

4、的位置关系,(3)直线与平面的位置关系：按公共点个数分三类,直线a与平面有且只有一个公共点，称直线a与平面相交.记为：,直线a与平面没有公共点，称直线a与平面平行.记为：,直线a与平面有无数个公共点，称直线a在平面内，或称平面通过直线a.记为：,公理1,注1：情况和统称为直线a在平面外，记作,2.点、直线、平面的位置关系,(4)平面与平面的位置关系：按有否公共点分两类,当两个不同平面与平面有公共点时，它们的公共点组成直线a，称平面与平面相交.记作：,当平面与平面没有公共点时，称平面与平面平行.记作：,公理3,注2：当平面上的所有点都在平面上时，称平面与平面重合.,公理2,（当两个平面有不共线的

5、三个公共点，则两个平面重合),2.点、直线、平面的位置关系,小结：用数学符号来表示点、线、面之间的位置关系：,a,练习,平面与平面重合,观察下列问题，你能得到什么结论？,直尺落在桌面上（直线AB在平面内）,3.平面的基本性质,图形语言：,(1)公理1：若一条直线上的两点在一个平面内， 则这条直线在此平面内.,符号语言：,该公理反映了直线与平面的位置关系：可用于判定直线是否在平面内，点是否在平面内，又可用直线检验平面.,3.平面的基本性质,思考：两个平面会不会只有一个公共点呢？,不会！因为平面是无限延展的. 因此，两个平面有一个公共点，必然有无数个公共点，并且这些公共点在一条直线上.,3.平面的

6、基本性质,(2)公理3：若两个不重合的平面有一个公共点， 则它们有且只有一条过该点的公共直线.,图形语言：,符号语言：,该公理反映了平面与平面的位置关系：,i)该公理是用以判定两个平面相交的依据：只要两个平面有一个公共点，就可判定这两个平面必相交于过该点的一条直线. (找两个面的交线只要找出两个面的两个公共点即可) ii)该公理可用以判定点在直线上：点是某两平面的公共点，线是这两个平面的公共交线，则该点在交线上.,3.平面的基本性质,观察下列问题，你能得到什么结论？,自行车需要一个支脚架就可以保持平衡.,3.平面的基本性质,(3)公理2： 经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面.,图形语言

7、：,符号语言：,定义的说明： 过不在一条直线上的四点，不一定有平面.故要充分重视“不在一条直线上的三点”这一条件； “有且只有一个”强调的是存在性和唯一性两方面，不能用“只有一个”替代； 确定一个平面的“确定”是“有且只有”的同义词.,3.平面的基本性质,推论1 经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面.,证明：,存在性.,因为Aa，在a上任取两点B，C.,所以过不共线的三点A，B，C有一个平面.（公理2）,因为B，C，,故经过点A和直线a有一个平面.,因为B，C在a上，,所以过直线a和点A的平面一定经过点A，B，C.,由公理2，经过不共线三点A，B，C的平面只有一个，,所以过直线a和点

8、A的平面只有一个.,唯一性.,已知点A a，求证过点A和直线a可以确定一个平面.,3.平面的基本性质,推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面.,推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面.,推论1 经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面.,注3： 公理2及其三个推论是确定平面以及判断两个平面重合的依据， 是证明点、线共面的依据，也是作截面、辅助平面的依据.,公理2： 经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面.,练习,3.平面的基本性质,我们知道,在同一平面内, 如果两条直线都和第三条直线平行, 那么这两条直线互相平行.在空间这一规律是否还成立呢?,观察 : 将一张纸如图进行折叠

9、, 则各折痕及边 a, b, c, d, e, 之间有何关系？,ab c d e ,3.平面的基本性质,符号表示:,(4)公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行.,平行具有传递性；,注4：,该公理是判断空间两条直线平行的方法之一.即要证明两条直线平行，一般利用第三条直线作为联系两直线的中间环节.,3.平面的基本性质,例1 在正方体ABCDA1B1C1D1中，直线AB与C1D1 ，AD1与BC1是什么位置关系？为什么？,解：,1）ABA1B1， C1D1 A1B1，, AB C1D1,2）AB C1D1 ，且AB = C1D1, ABC1D1为平行四边形,故AD1 BC1,练习：上例中，AA

10、1与CC1，AC与A1C1的位置是什么关系？,例2 已知ABCD是四个顶点不在同一个平面内的空间四边形，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，连结EF，FG，GH，HE，求证：EFGH是一个平行四边形.,问1:若上例加上条件AC=BD，则四边形EFGH是一个什么图形？,“见中点找中点”构造三角形的中位线是证明平行的常用方法, EH是ABD的中位线，,EH FG且EH =FG,EFGH是一个平行四边形,证明：,连结BD，,菱形,问2:若上例中四边形EFGH为矩形，AC与BD垂直吗？,另注：平行线段成比例,练习,O,E,F,例 几何体中的截面问题（两平面的交线问题）,Q,即交线为QN,

11、例 几何体中的截面问题（两平面的交线问题）,拓展,4.点线共面问题,(1)证明的主要依据：公理1；公理2及其三个推论. (2)证明的常用方法： 纳入平面法：先由部分元素确定一个平面，再证明其余有关的点、线在此平面内； 辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面，再证明其余元素确定平面，最后证明平面、重合.,例1 证明两两相交且不同点的三条直线必在同一个平面内.,已知：ABAC=A，ABBC=B，ACBC=C,求证：直线AB，BC，AC共面.,证明：,因为ABAC=A，,所以直线AB，AC确定一个平面.（推论2）,因为BAB，CAC，所以B，C，,故BC.（公理1）,因此直线AB，BC，CA共面.,

12、确定一个面，再证明其余线在该面内.,4.点线共面问题,证法二：,因为A 直线BC上，,所以过点A和直线BC确定平面 .（推论1）,因为BBC，所以B . 又A，,故AB ，同理AC ，,所以AB，AC，BC共面.,例1 证明两两相交且不同点的三条直线必在同一个平面内.,证法三：,因为A，B，C三点不在一条直线上，,所以过A，B，C三点可以确定平面.（公理2）,因为A，B，所以AB .（公理1）,同理BC ，AC ，,所以AB，BC，CA三直线共面.,4.点线共面问题,4.点线共面问题,P51 5 证明：一条直线与两条平行直线都相交，则这三条直线共面.,已知：a/b，ac=A，bc=B.,求证：

13、直线a，b，c共面.,证明：,因为a/b，,所以直线a，b确定一个平面 .（推论3）,因为Aa，Bb，所以A，B.,又因为Ac，Bc.故AB .（公理1）,因此直线a，b，c共面.,4.点线共面问题,例2 已知一条直线与三条平行直线都相交，证明这四条直线共面.,已知：a/b/c，al=A，bl=B, cl=C.,求证：直线l与a，b，c共面.,证明：,a/b，,直线a，b确定一个平面.（推论3）, l a=A， l b=B， A，B.,又Al，Bl，故l .,同理，直线b，c确定一个平面，且l .,平面与都过两相交直线b，l.,又两相交直线确定一个唯一的平面. 与重合. 故l与a，b，c共面.

14、,证明两个平面重合是证明直线在平面内问题的重要方法.,4.点线共面问题,练 已知a ，b ，ab=A，Pb，PQ/a . 求证：PQ .,4.点线共面问题,(1)证明的主要依据是公理3： 如果两个平面相交，则这两个平面的公共点共线； 如果两个平面相交，那么一个平面内的直线和另一平面的交点必在这两个平面的交线上. (2)证明的常用方法： 首先找出两个平面，再证这三个点都是这两个平面的公共点； 选择其中两点确定一条直线，然后证明另一个点也在其上（一般地，这条直线看作某两个平面的交线，往证第三个点也是两个面的公共点）； 证明三线共点问题：先证明两条直线交于一个点，再证明第三条直线经过这个点（转化为证

15、明点在线上的问题）,5.证明三点共线、三线共点的问题,例1 已知三角形ABC的三条边AB、BC、AC与平面分别交于P、Q、R.求证：P、Q、R共线.,B,A,Q,R,C,P,证明：,同理Q、R也为公共点，,所以P、Q、R共线.,要证明各点共线，只要证明他们是两个相交平面的公共点.,5.证明三点共线、三线共点的问题,P53 3 空间四边形ABCD中，E，F分别是AB和CB上的点，G，H分别是CD和AD上的点，且EH与FG相交于K. 求证：EH，BD，FG三条直线相交于同一点.,分析： 已知EHFG=K，要证EH，BD，FG共点. 即要证明B，D，K三点共线.,而BD是面ABD和面CBD的交线.

16、所以往证K面ABD面CBD.,而显然，由EH面ABD，KEH，可得K面ABD. 同理，由FG面CBD，KFG，可得K面CBD.,5.证明三点共线、三线共点的问题,小结：,空间点、线、面的位置关系 平面的基本性质（四个公理） 证明直线平行的常用方法 点线共面，三线共点，三点共线问题的证明,作业：P51 5、6 P53 B组2、3 P78 3、4、8 精讲精练： P18 9、8,“见中点找中点”构造三角形的中位线是证明平行的常用方法,P78 4,5,G,(2) 立体几何中求解平面的角度边长面积等问题时，注意重新画出图形，结合几何体找出边角关系并利用平面图形性质求解问题.,back,例 几何体中的截

17、面问题（两平面的交线问题）,精讲精练P2 4（正方体的截面形状的研究）,back,正方体截面形状小结,例 几何体中的截面问题（两平面的交线问题）,正方体中，试画出过其中三条棱的中点P，Q，R的平面截得正方体的截面形状,back,正方体中，试画出过其中三条棱的中点P，Q，R的平面截得正方体的截面形状,S,即交线为RS交AA1于中点G,K,G,H,S,T,即交线为QT交CC1于中点H,T,例 几何体中的截面问题（两平面的交线问题）,back,例 几何体中的截面问题（两平面的交线问题）,正方体中，试画出过其中三条棱的中点P，Q，R的平面截得正方体的截面形状,back,*画出四面体ABCD中过E,F,G三点的截面与四面体各面的交线.,P,即交线为GP,D,H,即交线为FH,例 几何体中的截面问题（两平面的交线问题）,back,(6)平面A1C1CA平面D1B1BD=,OO1,练习,back,2.根据下列符号表示的语句，说出有关点、线、面的关系，并画出图形,back,练习,(1)过一点可以做几条直线？两点呢？,(2)过平面内一点可以做几个平面？两点呢？三点呢？,思考：,back,(3)不共面的四点可以确定多少个平面? (4)共点的三条直线可以确定多少个平面?,4 个,1个或3个,练习,back,3.填空