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1、4.3 实对称矩阵,实数域上的,称为实对称矩阵.,如,A为对称矩阵,本节证明：,实对称矩阵,且对任一,实对称矩阵A，,存在正交矩阵Q，,使得,的特征值和特征向量,一定可以对角化，,对称矩阵,定理4.12,都是实数.,一、,实对称矩阵,实对称矩阵的特征值,说明：,若A是实数域上的,则,都是实数.,对称矩阵，,的特征值的性质,定理4.13,对应于不同特征值的,是相互正交的.,A是实对称矩阵,A的两个特征值,则,实对称矩阵的,特征向量,证,即,定理4.14,是对角矩阵.,定理4.14,则存在n阶正交,设A是n阶实对称矩阵,矩阵Q,使得,是对角矩阵.,则存在n阶正交,设A是n阶实对称矩阵,矩阵Q,使得

2、,例,特征值:,特征向量:,两两正交,将它们单位化,令,Q为正交矩阵,为单位正交向量组,例,解,特征值:,将 正交化.,Q-1AQ为对角矩阵.,求正交矩阵Q,使,例,Q-1AQ为对角矩阵.,求正交矩阵Q,使,特征值,将 正交化.,令,再将,单位化.,特征值:,两两正交.,再将它们单位化.,两两正交,为单位向量.,Q为正交矩阵.,对应于,对应于,令,例,证,是对应的特征向量,2 =0,(1)=0, =0或1,试证幂等矩阵,则称A是幂等矩阵.,的特征值,则,设是A的任一特征值,只能是0或1.,如果矩阵A满足,证明:,特征向量分别是,用反证法,假设,则有特征值,证,是对应于不同特征值的特征向量,矛盾.,则,对应的,不是A的特征向量.,是A的特征向量,线性无关.

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