数组的运算基础.ppt

1、第2章 数组的运算基础,几点说明： MATLAB运算的基本单元是实数或复数元素组成的长方 形矩阵，MATLAB的大部分运算或命令都是在矩阵运 算的意义下执行的。 变量与常量：1*1矩阵 一维数组： 1*n矩阵N维 行向量：1*n矩阵 N维列向量：n*1矩阵 在MATLAB中，不需对矩阵的维数和类型进行说明， MATLAB会根据用户所输入的内容自动进行配置。,基本运算单元矩阵,要用MATLAB做矩阵运算，首先要将矩阵直接输入到 MATLAB中去，其中最方便的是将矩阵直接输入。矩阵的 输入须遵循以下规则： 必须用中括号把所有矩阵元素括起来。 同一行的不同元素之间数据元素用空格或逗号( ，)间隔。

2、用分号( ; )指定一行结束。 也可分成几行输入，用回车代替分号。 数据元素可是数值、变量、表达式或函数，系统将自动计算。,一、矩阵的构造,方法一 直接输入,例1,A=1,2,3,4;5 6 7 8;9 10 11 12;13 14 15 16,注意逗号、空格和分号的用法,分成几行输入，用回车代替分号,例3,a=1; b=2; c=3; x=5 b c; a*b a+c c/b,元素是表达式,格式1 x=first：last 或x=first：last 创建从first开始，加1计数，到last结束的行向量,方法二 利用线性等间距生成向量矩阵,X= 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10,a

3、ns= 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10,赋给MATLAB的永久变量ans,X=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,格式2 x=first：increment：last 或 x=first：increment：last 创建从first开始，加increment计数，到last结束的行向量,ans = 100 93 86 79 72 65 58 51,当increment0为不大于last的最小数，当increment0为不小于last的最大数,ans = 0 0.7854 1.5708 2.3562 3.1416,例 a=linspace(2,9,6) a = 2.0000 3

4、.4000 4.8000 6.2000 7.6000 9.0000,方法三 利用函数生成,格式1 linspace(a，b，n） 创建从a开始，到b结束，有n个元素的线性等分行向量，n缺省值为100。,例 a=logspace(-1,-3,3) a = 0.1000 0.0100 0.0010,方法三 利用函数生成,格式2 logspace(a，b，n） 创建从10a开始，到10b结束，有n个元素的线性等分行向量，n缺省值为50。,注意：将a到b平均分成n等分，设分点是x1, ,xn,方法四 利用内部函数产生,方法五 利用M文件产生,三、多维矩阵（数组）的创建,以三维矩阵为例。三维矩阵由行、列

5、和页组成，第三维称为页，每一页包含一个由行和列组成的二维数组。,例 要求输入一个2行、2列、3页的三维矩阵，其第1、2、3页元素分别为：, a=zeros(3,2,3); a(:,:,1)=1 1;3 3;2 0; a(:,:,3)=4;,如未对某元素、某行或某页赋值，其值为0,四、生成大矩阵,在组成较大矩阵时，可以将小矩阵作为它的元素。,左右拼装(要求矩阵的行数相同), D=7 8 9 E=A;D,上下拼装(要求矩阵的列数相同),例, A=1 2 3;4 5 6; D=7 8 9; E=A;D,第二节 矩阵的操作,一、矩阵元素的操作,A(m,n)：第m行，第n列元素, A(2,3) ans

6、= 6,A(m,:)：第m行元素（冒号表示全部）, A(2,:) ans = 4 5 6,A(:,n)：第n列元素, A(:,3) ans = 3 6 9,A(m1:m2,n1:n2)：第m1行到第m2行和第n1列到第n2列的所有元素。, A(1:2,2:3) ans = 2 3 5 6,A(:)：得到一个长列矢量，该矢量的元素按矩阵的列进行排列。, A(:) ans = 1 4 7 2 5 8 3 6 9,矩阵扩展：如果在原矩阵中一个不存在的地址位置上设定一个数（赋值），则该矩阵会自动扩展行列数，并在该位置上添加这个数，而且在其他没有指定的位置补零（变维结构）。, A(5,5)=10 A =

7、 1 2 3 0 0 4 5 6 0 0 7 8 9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 10,删除子块：如果将矩阵的子块赋值为空矩阵，则相当于消除了相应的矩阵子块。,例,A(4:5,:)=,A = 1 2 3 0 0 4 5 6 0 0 7 8 9 1 0,例,B(:,4:5)=,B = 1 2 3 6 7 8 9 12,例 A=1 2 3;4 5 6;D=7 8 9;,A = 1 10 3 4 5 6, A(1,2)=10, A(1,:)=D,A = 7 8 9 4 5 6, A(1:2,1:2)=1 2;3 4,A = 1 2 3 3 4 6, A=5 6;7 8,A = 5 6

8、 7 8,为矩阵元素赋值,用向量为矩阵某一行元素赋值,为矩阵的某一块元素赋值,为矩阵元素赋值的同时，改变矩阵的维数（结构）, B=A(2:-1:1,1:3), C=A(end:-1:1,:), D=A C(:,1 3),B = 4 5 6 1 2 3,C = 7 8 9 4 5 6 1 2 3,D = 1 2 3 7 9 4 5 6 4 6 7 8 9 1 3, A=1 2 3;4 5 6;7 8 9, B=A(2:-1:1,1:3), C=A(end:-1:1,:), D=A C(:,1 3),B = 4 5 6 1 2 3,C = 7 8 9 4 5 6 1 2 3,A = 1 2 3 4

9、 5 6 7 8 9,D = 1 2 3 7 9 4 5 6 4 6 7 8 9 1 3,一、矩阵元素的处理方法,find( )指令：特殊要求的矩阵元素定位, A=1 2 3;4 5 6; m,n=find(A3) m = 2 2 2 n = 1 2 3, X=0 1 -2 -6 -3 7 9; p=find(abs(X)3) p = 4 6 7,一、矩阵元素的处理方法,转置：操作符 复数矩阵的转置：先转置再求矩阵元素的复共轭数值,A = 1 2 3 4 5 6, A ans = 1 4 2 5 3 6,B=1+2i 3+4i 5-6i 7-8i, B ans = 1.0000 - 2.000

10、0i 5.0000 + 6.0000i 3.0000 - 4.0000i 7.0000 + 8.0000i,一、矩阵元素的处理方法,find( )指令：特殊要求的矩阵元素定位, A=1 2 3;4 5 6; m,n=find(A3) m = 2 2 2 n = 1 2 3, X=0 1 -2 -6 -3 7 9; p=find(abs(X)3) p = 4 6 7,二、矩阵大小查询（第五节）,m,n=size(A)：返回矩阵的行列数m与n。 length(A)=max(size(A)：返回行数或列数的最大值。,A=1 2 3;4 5 6; m,n=size(A) m = 2 n = 3,len

11、gth(A) ans = 3 max(size(A) ans = 3,m=size(A,1) m = 2 n=size(A,2) n = 3,二、矩阵大小查询（第五节）,numel(A)：返回矩阵的元素个数。 rank(A)：求矩阵的秩,A=1 2 3;4 5 6; m=numel(A) m = 6,rank(A) ans = 2,三、矩阵的其他操作,A = 1 2 3 4 5 6,flipud(A): 矩阵作上下翻转 fliplr(A)：矩阵作左右翻转 rot90(A)： 逆时针旋转90, flipud(A) ans = 4 5 6 1 2 3, fliplr(A) ans = 3 2 1

12、6 5 4, rot90(A) ans = 3 6 2 5 1 4, diag(A) ans = 1 5 9, tril(A) ans = 1 0 0 4 5 0 7 8 9, triu(A) ans = 1 2 3 0 5 6 0 0 9,diag(A)：提取矩阵A的对角元素，返回列向量 tril(A)：提取A的下三角矩阵 triu(A)：提取A的上三角矩阵 diag(V)：以列向量V作对角元素创建对角矩阵,A = 1 2 3 4 5 6 7 8 9,三、矩阵的其他操作,V=2;5;8;7, diag(V) ans = 2 0 0 0 0 5 0 0 0 0 8 0 0 0 0 7,MATL

13、AB 矩 阵 运 算,第六节 矩阵的关系运算和逻辑运算,MATLAB的运算符有三种类型：算术运算符、关系运算符、逻辑运算符。在前面已经介绍了算术运算符，这里我们着重介绍后两种运算符。,一、关系运算符,1、关系运算符（结果为非，则返回0； 结果为真，则返回1）,例如：键入关系式 a=2+2=4 a = 1, a=(2+2=4) a = 1,假设有：A=1 2 -1 -5 B=0 2 3 1,一、关系运算符,关系运算可用来比较两个同样大小的矩阵，或比较一个矩阵与一个标量。矩阵与标量比较时，矩阵的每一个元素与标量比较，结果与原矩阵大小一样。,2、逻辑运算符(逻辑量只取0（假）和1（真）两个值),二、

14、逻辑运算符,基本逻辑运算真值表,逻辑运算可用来比较两个同样大小的矩阵，或比较一个矩阵与一个标量。在处理逻辑运算时，如果运算的数为0，MATLAB认为其为0（假），而任何数不等于0，则认为是1（真）。,设有：A=5 -4 0 -0.5;B=0 1 0 9,二、逻辑运算符,二、逻辑运算符,MATLAB具有两种对矩阵元素群进行逻辑运算的函数：all(全为真)和any(不全为假)，其输入量为矩阵，且按列进行运算。, A=magic(6) A = 35 1 6 26 19 24 3 32 7 21 23 25 31 9 2 22 27 20 8 28 33 17 10 15 30 5 34 12 14

15、16 4 36 29 13 18 11, p=(rem(A,3)=0) p = 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0, u=p|p u = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1, all(p) ans = 0 0 0 0 0 0, all(u) ans = 1 1 1 1 1 1, any(p) ans = 1 1 1 1 1 1,三、逻辑运算函数（p47表2-3）,运算符 适用于两同

16、阶矩阵或矩阵与标量之间的运算 对应元素的加减,四、矩阵的加减运算,例：已知矩阵A和B，且 A=21,2,4;7,13,19;1,8,17; B=12 25 24;11 13 9;6 8 1; 计算CAB，DAB 和 EA3。, C=A+B C = 33 27 28 18 26 28 7 16 18, D=A-B D = 9 -23 -20 -4 0 10 -5 0 16, E=A+3 E = 24 5 7 10 16 22 4 11 20,五、矩阵的乘法运算,运算符 * 适用于前一矩阵的列数和后一矩阵行数相同或者其中为标量的情况。,例：已知矩阵A和B，且 A=21,2,4;7,13,19;1,

17、8,17; B=12 25 24;11 13 9;6 8 1; 试求CAB和DA3。, C=A*B C = 298 583 526 341 496 304 202 265 113, D=A*3 D = 63 6 12 21 39 57 3 24 51,六、矩阵的除法运算,运算符： 右除 / 左除 右除表示为：A/B=AB-1 (B为方阵且非奇异) 左除表示为：AB=A-1B (A为方阵且非奇异),例：已知矩阵A和B，且 A=21,2,4;7,13,19;1,8,17; B=12 25 24;11 13 9;6 8 1; 试计算AB和A/B。, A/B ans = -1.8336 5.6985

18、-3.2801 0.5535 0.7891 -1.3871 0.7496 0.0478 -1.4201, AB ans = 0.5081 1.1168 1.1429 0.3216 -0.6186 0.2857 0.1717 0.6960 -0.1429,注 矩阵的除法运算实际是求AX=B的解的过程。当A为非奇异矩阵时，结果 是最小二乘解，即矩阵除法可以找到使|AX-B|误差绝对值最小的X。,七、矩阵的乘方运算,运算符： 要求乘方运算的对象为方阵 Ap表示A自乘p次(p为标量), A(-1) ans = 0.0486 -0.0014 -0.0099 -0.0704 0.2484 -0.2611

19、0.0303 -0.1168 0.1823, A2 ans = 459 100 190 257 335 598 94 242 445, A3 ans = 10529 3738 6966 8340 9653 17559 4113 6894 12539,例：已知矩阵 A=21,2,4;7,13,19;1,8,17; 试计算A(-1)，A2， A3,八、矩阵的点运算,运算符： . 为实现与矩阵相关的标量运算而设计的。 与矩阵的常规运算不同，是针对于矩阵中的元素定义的。 分类：点乘 .* 点乘方 . 点右除 ./ 点左除 .,例：已知矩阵A和B，试求AB，A.*B,A.3,A./2和A.B。其中 A=

20、1 2;3 4; B=5 6;7 8;, A*B ans = 19 22 43 50, A.*B ans = 5 12 21 32, A.3 ans = 1 8 27 64, A./2 ans = 0.5000 1.0000 1.5000 2.0000, A.B ans = 1 64 2187 65536,九、求逆矩阵,函数 inv() 矩阵A可逆，则矩阵A的逆矩阵是唯一的。, X=inv(G) X = 5 2 -2 -2 -1 1 0 -2 1, I=inv(G)*G I = 1 0 0 0 1 0 0 0 1,例：求一矩阵G的逆矩阵，并验证所得结果。 G=1 2 0;2 5 -1;4 10

21、 -1;,G=1 2 0;2 5 -1;4 10 -1,十、求特征值,函数 eig( ) 设A为n阶矩阵， 是一个数，如果方程Ax=x存在非零解向量，则称为A的一个特征值，相应的非零向量x称为特征值对应的特征向量。, d=eig(G) d = 3.7321 0.2679 1.0000, V,D=eig(G) V = -0.2440 -0.9107 0.4472 -0.3333 0.3333 0.0000 -0.9107 -0.2440 0.8944 D = 3.7321 0 0 0 0.2679 0 0 0 1.0000,函数：poly( )。,十一、求特征多项式,G=1 2 0;2 5 -1

22、;4 10 -1;, poly(G) ans = 1.0000 -5.0000 5.0000 -1.0000, round(poly(G) ans = 1 -5 5 -1,函数 det( ) 若将矩阵看做是行列式，可求相应的行列式值。 例：已知矩阵A=1 2 3 4;2 3 4 1 ;3 4 1 2;4 1 2 3 求其对应的行列式值。,十二、求方阵的行列式, A=1 2 3 4;2 3 4 1 ;3 4 1 2;4 1 2 3 A = 1 2 3 4 2 3 4 1 3 4 1 2 4 1 2 3, det(A) ans = 160,十三、其他常用的矩阵函数,线性方程组的一般矩阵形式表示如下： AXB（XAB） 若方程组有解，则X=A-1B=AB（XBA-1=B/A）。,十四、求线性方程组,例：求下列线性方程组的根, A=2