高等数学-第1章函数与极限-1-3极限存在准则

1、1.5 极限存在准则两个重要极限教学目的： 知道极限存在准则，会用它证明一些极限的存在性。掌握两个重要极限。教学重点： 极限存在准则 , 两个重要极限教学内容 ：1.4.1 极限存在准则1 夹逼准则定理 1.4.1若数列xn ， yn和 zn满足(1) xnynzn ,nn 0; (2)lim xnlim zn ann则 lim yna 。n证明 因 lim xna ，则0 ， n1 ， nn1 时有 xna，即naxna(1.4.1)又 lim zna ，对上述， n 2 ， n n 2时有 zna，即nazna(1.4.2)取 nmax n 0 , n1, n 2 ， nn 时 (1.4.

2、1) 式与 (1.4.2) 式同时成立。又 nn 0 时 , xnynzn ，于是 nn 时axnynzna即yn a从而 lim yna .n例 1证明 a0 时， limn a1n证明a1 时，设 n a1 rn ， rn0 (n1,2,l) 。由二项式定理有，a(1rn ) n1nrnn(n1) rn2 lrnn1nrn2于是0 rnan又lim a0n n因此，由夹逼准则， lim rn0 . 于是nlim n a1n34a1 时，11，由上述结果有，lim n11 ，因此，analim n alim11nn1naa1 时，结论显然成立，综上所述，a0 时， lim n a1。n1例

3、2 求 lim( a1na2nlamn ) nmax a1n ,a2n ,l, amn ，其中ai0 ( i1,2,lm)n解 设 amax a1 , a2,l, an ，于是a a1na2nl anna n m由例 1 可知， lim n m1 ，利用夹逼准则，得n1lim( ananlan ) namax an , an,l,an .n12m12m设 lim g( x)lim h( x)a00定 理 1.4.2， 且，xu ( x0 ,) ， 有xx0xx0g( x)f ( x)h(x) ，则 limf (x)a .xx0例 3 证明 limcos x1x0xx2x2x2证明 因01cos

4、 x2sin 22，而 lim0.222x02由定理 1.4.2 ， limcos x1。x02 单调有界准则定理 1.4.3 单调有界数列必有极限。定理 1.4.4 若函数f ( x) 在 (a,) 内单调增加（减少）且有上界（下界），则 limf (x) 存x在；若存在0 ， x(x0, x0 ) 时，函数f ( x) 内单调增加（减少）且有上界（下界），则lim f (x) 存在 .xx0例 4 设 x110 ， x6x(n1,2,l) ，证明数列 xn 收敛，并求它的极限 .n 1n证明 由 x110 ， x26x16104 知， x1 x2 .设对某个自然数 k 有 xkxk 1 ，

5、则有xk 16 xk6 xk 1xk 2由 数 学 归 纳 法 知 ， 对 一 切 自 然 数 n 都 有 ， xnxn 1 ， 即 数 列 xn 单 调 减 少 。 又35xn0 (n1,2,l ) ，因此数列 xn 有下界。由极限存在准则，数列 xn 收敛。设 lim xna ，n对 xn 16xn 两边取极限，得a6a解此方程，得a3 ， a2 ，但因 xn0 ，所以 lim xn3 .n3 海涅定理定理 1.4.5 (海涅定理 )极限 lim f (x) 存在且等于a的充分必要条件是对于任意收敛于x0 的xx0数列 xn （ xnx0 ），恒有limf (xn )an利用海涅定理证明函

6、数极限不存在。只要找出两个数列 xn ， yn 都收敛于 x0 ，且 xnx0 ，yn x0 （ n n ），但 f ( xn )， f ( yn ) 收敛于不同的极限，或其中一个不收敛。例 5证明 limsin 1不存在。x0x取 xn11， lim xnlim yn0 ，且 xn 0， yn 0 ，而证明， ynn2nnn2lim sin 1lim sin n0 ， lim sin1lim sin1，故 limsin1 不存在 (如图 1.4.2) 。nxnnnyn2x 0xn4. 柯西存在准则定理 1.4.6数列 xn 收敛的充分必要条件是0 ，存在自然数 n ，使得 mn n 时，有

7、xnxmd1.4.2两个重要极限bsin x1x1 lim1oax 0xc证 明 如 图 , 在 单 位 圆 内 ， 设 圆 心 角aobx0 x， 比 较 aob ， 扇 形2s aob 和aoc 的面积的大小，得sin xxtanx36即cosxsin x(1.4.3)x1由于 cos x 、 sin x 都为偶函数，所以(1.4.3)式对于x 0 也成立 .x2因 limcos x1 ，所以由夹逼准则，lim sin x1 .x0x0x2 lim(11 )xexx证明先证明 lim(11) nenn记 xn(1 1)n ，下面证明数列 xn 单调有界。n由 n a1a2 lana1a2l

8、an（ ai0, i1,2,l,n ）得n1)n 11n(111n 1xnn1n1xn 1(1 )n1n 1n因此，数列 xn 单调增加。由二项式定理得，0 x (1 1 )n1 1 n(n1) ( 1) 2n(n 1)(n2) ( 1 )3ln!( 1) nnn2!n3!nn!n1111l12!3!n!1111l13132222n12n 1数列 xn 有界。因此，数列 xn 收敛，记 lim(11 ) ne，它是一个无理数。nn下面证明lim (11 ) x ex x1 xx x 1x1时，有 xx x 1，于是111111 xx x x 1 x1而 lim1lim 11lim 1e1x x

9、x xx x371 x 1 x 111lim 1lim 1lim 1ex x 1x x 1x x1由夹逼准则，lim (11) x e .x x再证明lim (11)xe .tx，于是当x时，t，由此得令x xlim (11 )xlim (11)tlim (t )tlim (11) tlim (1t1 )t 111e .xxtttt1tt1t1t1因此， lim(11)xe 。xx1)x1公式 lim(1e 还可以表示为 lim(1x) xe .这是因为：xxx0设 t1， x0 时， t.于是x11)tlim(1x) xlim(1e。x0tt例 6求下列函数的极限：(1)limtan x； (2)1 cos x； (3)lim(1 x) tanx .lim2x 0xx0xx 12解(1)limtan xlim sin xcos xlim sin xlimcos x 1x0xx0xx0xx0xsin x21cos x2sin 211(2)limlim22x2x2limx2x 0x 0x 0 22(3) 令 tx1 ， x1 时， t0 .于是lim(1x) tanxlim t cottlimtcostx12t02t 0t2sin2t2t2lim2cos.t0t2sin2作业1.求下列函数的极限:3811sin xcotx(1) lim(1) x ；(3)