普通高等学校全国统一考试(安徽卷)

1、年普通高等学校全国统一考试（安徽卷）数学（理科）本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，第卷第至第页，第卷第至第页。全卷满分分，考试时间分钟。考生注意事项：1 答题前，务必在试卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致。务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位。2 答第卷时，每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。3 答第卷时， 必须使用0.5 毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写，要求字体工整、笔迹清晰。作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出

2、，确认后再用0.5 毫米的黑色墨水签字笔描清楚。必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在答题卷、草稿纸上答题无效。4 考试结束，务必将试卷和答题卡一并上交。第卷（选择题共分）一、选择题：本大题共个小题；每小题分，共分在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的。（）设是虚数单位，则复数2i 在复平面内所对应的点位于1i（）第一象限（）第二象限（）第三象限（）第四象限（）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（） ycosx （） y sin x （） yl n x （） y x21（）设 p :1x 2, q : 2x1 ，则是成立的（）充分不必要条件（）必要不充

3、分条件（）充分必要条件（）既不充分也不必要条件1 / 11、下列双曲线中，焦点在y 轴上且渐近线方程为y 2x 的是（）（） x2y 21（） x2y21（） y2x21（） y2x214444、已知 m ，n 是两条不同直线，是两个不同平面，则下列命题正确的是（）（）若，垂直于同一平面，则与平行（）若 m ， n 平行于同一平面，则m 与 n 平行（）若，不平行，则在内不存在与平行的直线（）若 m ， n 不平行，则m 与 n 不可能垂直于同一平面、若样本数据x1 ， x2 ， x10 的标准差为8 ，则数据 2x11， 2x21， 2x101的标准差为（）（） 8（） 15（） 16（）

4、32、一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（）（） 13（） 23（） 12 2（） 22、c 是边长为 2 的等边三角形，已知向量a ， b 满足2a ，c2ab ，则下列结论正确的是（）2 / 11（） b1（） ab（） a b1（） (4 ab)bc、函数fxaxb2 的图象如图所示，则下列结论成立的是（）xc（） a0 ， b0 ， c 0（） a0 ， b0 ， c 0（） a0 ， b0 ， c 0（） a0 ， b0 ， c 0、已知函数 fxsin x（，均为正的常数） 的最小正周期为，当 x2时，3函数 fx取得最小值，则下列结论正确的是（）（） f 2f2f

5、0（） f 0f 2f2（） f2f 0f 2（） f 2f 0f2第二卷（非选择题共分）二填空题：本大题共小题，每小题分，共分。. (x31 )7 的展开式中 x3 的系数是（用数字填写答案）x12.在极坐标中，圆8sin上的点到直线(r) 距离的最大值是3.执行如图所示的程序框图（算法流程图），输出的 n 为3 / 1114.已知数列 an 是递增的等比数列， a2 a49, a2a3 8 ，则数列 an 的前 n 项和等于. 设 x3axb 0 ，其中 a, b 均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是（写出所有正确条件的编号）(1)a3,b3 ； (2) a3,b 2 ；

6、(3)a3,b 2 ； (4) a 0,b 2 ; (5) a 1,b 2 .三.解答题：本大题共小题，共分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。.（本小题满分分）在abc 中，a3, ab6, ac3 2 ，点在 bc 边上， adbd ，求 ad 的长。4.（本小题满分分）已知件次品和件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出件次品或者检测出件正品时检测结束。（）求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；（）已知每检测一件产品需要费用元，设表示直到检测出件次品或者检测出件正品时所需要的检测费用（单位：元） ，求的分布列和均值（数学

7、期望）（）（本小题满分分）设 nn * ， xn 是曲线 yx2n 21 在点 (1，2) 处的切线与轴交点的横坐标，4 / 11（）求数列 xn 的通项公式；（）记 tnx12 x32x22n 1 ，证明 tn1.4n.（本小题满分分）如图所示，在多面体a1b1d1 dcba 中，四边形aa1b1b ， add1 a1 , abcd 均为正方形，e 为b1 d1 的中点，过 a1, d , e 的平面交 cd1 于（）证明： ef / / b1c（）求二面角ea1db1 余弦值 .（20）（本小题满分分）设椭圆的方程为x2y21 a b 0 ，点为坐标原点，点的坐标为a，0，点的坐标为a2b

8、20，b ，点在线段上，满足bm 2 ma ，直线的斜率为5.10（）求的离心率e ；（）设点的坐标为0， b ，为线段的中点，点关于直线的对称点的纵坐标为7 ，求的方程 .2. （本小题满分分）设函数f ( x)x2axb .（）讨论函数f (sin x)在 (-,) 内的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值；225 / 11（）记 f0 ( x) x2a0xb0 ,求函数 f (sin x) f 0(sin x) 在 , 上的最大值；a2 满足 d22（）在（）中，取a0 b00,求 z b1时的最大值。46 / 11参考答案一选择题：本题考查基本知识和基本运算。每小题分，满分分。（）（

9、）（）（）（）（）（）（）（）（）二填空题：本题考查基本知识和基本运算。每小题分，共分。（）（）（）（） 2n1（）三解答题：本大题共小题，共分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。解答写在答题卡上的指定区域内。（）（本小题满分分）解：设 abc 的内角 a, b, c 所对边的长分别是a,b, c由余弦定理得 a2b2c22bc cosbac(32) 2622326cos341836(36)90所以 a 3 10又由正弦定理得 sin bb sinbac310a3 1010由题设知 0 b，所以 cos b1sin 2 b1131041010在 abd 中，由正弦定理得adab sin

10、b6sin b3sin(2b)2sin b cos b10cos b（）（本小题满分分）解：（）记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件，a21 a313p( a)10a52（）的可能取值为7 / 11p(a221200)10a52p(a33c21c31 a223300)a5310p(400) 1p(200)136p(300) 1101010故的分布列为p136101010e200136350300104001010（）（本小题满分分）（）解： y( x2n2 1)(2 n2) x2n 1 ，曲线 yx2 n 21在点（）处的切线斜率为2n 2 ，从而切线方程为y2(2 n2)(

11、 x1)令 y0，解得切线与 x轴交点的横坐标xn11nn1 n1（）证：由题设和（）中的计算结果知tx2 x2.x2( 1) 2 ( 3) 2.( 2n1)2n132n 1242n当 n1 时， t114当 n2 时，因为 x2n21( 2n 1) 2(2 n1)2(2 n1)21 2n 2n12n(2 n) 2(2 n) 22nn所以 tn( 1) 212 .n11223n4n综上可得对任意的nn *，均有 tn14n（）（本小题满分分）（）证：由正方形的性质可知a1b1 / ab / dc ，且 a1b1abdc ，所以四边形a1b1cd 为平行四边形，从而b1c / a1 d ，又 a

12、1d面 a1de ， b1c面 a1 de ，于是 b1c / 面 a1de ，又 b1c面b1cd1 ，面 a1de面 b1cd1ef ，所以ef / b1c8 / 11（）解：因为四边形aa1b1b, add1 a1 , abcd 均为正方形，所以aa1ab , aa1ad, abad ，且 aa1abad ，以为原点，分别以ab, ad, aa1 为 x 轴， y 轴和 z 轴单位正向量建立如图所示的空间直角坐标系，可得点的坐标a(0,0,0)，b(1,0,0)，d (0,1,0)，a1 (0,0,1), b1 (1,0,1), d1 (0,1,1)，而 e 点为 b1 d1 的中点，所

13、以 e 点的坐标为（）设面 a1 de 的法向量 n1 (r1, s1 ,t1 ) ，而该面上向量a1 e （）， a1d （，），由 n1a1e ，n1a1d 得 r1, s1 ,t1 应满足的方程组0.5r10.5s10,s1t10,（）为其一组解，所以可取n1 （）设面 a1 b1cd 的法向量 n2(r2 , s2 , t2 ) ，而该面上向量a b（）， a d （，），由此同理可111得 n2(0,1,1)所以结合图形知二面角ea1d b1 的余弦值为| n1n2 |26| n1 | | n2 |32 3（）（本小题满分分）解：（）由题设条件知，点的坐标为( 2 a, 1 b) ，

14、又 kom5，从而b5，33102a10进而得 a5b, ca2b22b ，故 ec25a5（）由题设条件和（）的计算结果可得，直线 ab 的方程为xy1，点的坐标为 (5 b,1 b) ，5bb229 / 11设点关于直线的对称点的坐标为(x1,7)，2则线段的中点的坐标为 ( 5 bx1 ,1 b7 ) ，又点在直线上，且 kns k ab1，42445 bx11 b742441,5bb解得 b 3从而有712b25,5 bx12所以 a3 5，故椭圆的方程为x2y24519（）（本小题满分分）解：（） f (sin x)sin 2 xa sin xbsin x(sin x a)b,x22

15、 f (sin x)(2sin xa)cos x,x22因为2x，所以 cos x0, 22sin x 22 a2,br 时，函数 f (sin x) 单调递增，无极值 a2,br 时，函数 f (sin x) 单调递减，无极值对于2a 2，在 (,) 内存在唯一的x0 ，使得 2sin x0a ，222xx0 时，函数f (sin x) 单调递减；x0x2时，函数 f (sin x) 单调递增因此2a2 ， br 时，函数 f (sin x) 在 x0 处有极小值f (sin x0 )f ( a )ba224（）x2时， | f (sin x)f0 (sin x) | (a0a)sin xb b0 | | aa0 | |b