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文档简介

1、第一节 二次型 矩阵合同,线性代数,1,；.,一、二次型及其标准形定义,称为二次型.,（我们仅讨论实二次型）。,2,；.,例如,都为二次型；,为二次型的标准形.,3,；.,对二次型,二、二次型的矩阵表示,4,；.,5,；.,由一个二次型可对应一个对称矩阵A,且A唯一.,6,；.,如二次型 用矩阵记号写出来就是,7,；.,作一个 阶对称矩阵,显然由矩阵A可确定一个二次型：,8,；.,在二次型的矩阵表示中，任给一个二次型， 就唯一地确定一个对称矩阵；,二次型的标准形与一个对角阵一一对应.,反之，任给一个对称矩阵，也可唯一地确定 一个二次型。,所以二次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系。,9,；.,

2、解,10,；.,解:,11,；.,例3已知二次型,的秩为2，求参数,由 的秩为2知,解之得c3,解：二次型 的矩阵为,12,；.,三、线性变换,实二次型的基本问题是研究如何把一个复杂的二次型通过适当的线性变换化为比较简单的标准形,使问题得到简化。,线性变换的定义,的一个线性变换。,线性变换也可记为,13,；.,称为该线性变换的矩阵.,其中,14,；.,解: 方法一 将线性关系直接代入.,求新二次型.,15,；.,方法二 二次型的矩阵,16,；.,证明:,即 为对称矩阵.,如果对二次型 进行满秩变换 :,17,；.,说明,18,；.,四、矩阵的合同,二次型 的矩阵 与二次型 的矩阵 是什么关系?

3、,定理2 若矩阵 合同,则 等价,且,19,；.,合同关系具有以下性质: 反身性 任一 阶矩阵A都与它自己合同,即 对称性 如果方阵 合同,则 合同. 即 传递性 如果方阵 合同, 合同, 则 合同. 即,20,；.,注意: 矩阵的合同关系是对任意的 阶矩阵而言的, 并不尽仅仅限于对称矩阵.,3. 任意一个对称矩阵,都与一个对角矩阵合同.,2. 矩阵的相似关系与合同关系是不同的.,21,；.,例5设 和 为实对称矩阵,则由 与 相似可推出 与 合同,反之不然.,证明:,22,；.,都是实对称矩阵,但对任意可逆矩阵,故 和 不相似. 这说明 在所给条件下,合同不一定相似.,取,23,；.,小结,实二次型的化简问题，在理论和实际中 经常遇到，通过在二次型和对称矩阵之间建立一 一对应的关系，将二次型的化简转化为

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