高中数学空间向量的运算

1、3.1空间向量及其运算,1,平面向量复习,定义,既有大小又有方向的量叫向量,几何表示法,用有向线段表示,字母表示法,用字母a、b等或者用有向线段 的起点与终点字母 表示,相等的向量,长度相等且方向相同的向量,2,平面向量的加减法运算,向量的加法,a,b,a+b,平行四边形法则,a,a+b,三角形法则(首尾相连,3,平面向量的加法运算律,加法交换律,abba,加法结合律,ab)ca(bc,4,推广,首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量即,5,首尾相接的若干向量构成一个封闭图形，则它们的和为零向量即,6,向量的减法,a,b,a-b,三角形法则,减向量终点指向被减向量

2、终点,7,一、空间向量的基本概念,空间向量,零向量,单位向量,相等向量,相反向量,既有大小，又有方向的量,长度为零的向量,长度为1的向量,方向相同，长度相等的向量,方向相反，长度相等的向量,向量的模,表示向量的有向线段的长度,8,9,9,a + b,a - b,二、空间向量的加减运算,10,11,加法交换律,加法:三角形法则或 平行四边形法则,减法:三角形法则,加法结合律,注:两个空间向量的加、减法与两个平面向量的加、减法实质是一样的,2、对空间向量的加法、减法的小结,11,例1,12,解,始点相同的三个不共面向量之和，等于以这三个向量 为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所示向量,13

3、,练习1、在如图所示的平行六面体中， 求证,变式： 已知平行六面体 则下列四式中： 其中正确的是,14,15,例如,三,空间向量的数乘运算法则,15,16,显然,空间向量的数乘运算满足分配律及结合律,16,17,四、共线向量及其定理,17,18,a,p,b,即，p,a,b三点共线。或表示为,18,19,分析: 证三点共线可尝试用向量来分析,19,20,五.共面向量及其定理,1.共面向量:平行于同一平面的向量,叫做共面向量,注意：空间任意两个向量是共面的，但空间任意三个向量就不一定共面的了,20,21,21,22,22,23,1.对于空间任意一点o，下列命题正确的是： (a)若 ，则p、a、b共

4、线 (b)若 ，则p是ab的中点 (c)若 ，则p、a、b不共线 (d)若 ，则p、a、b共线,2.已知点m在平面abc内，并且对空间任意一点 o， , 则x的值为(,23,24,3.下列说明正确的是： (a)在平面内共线的向量在空间不一定共线 (b)在空间共线的向量在平面内不一定共线 (c)在平面内共线的向量在空间一定不共线 (d)在空间共线的向量在平面内一定共线,4.下列说法正确的是： (a)平面内的任意两个向量都共线 (b)空间的任意三个向量都不共面 (c)空间的任意两个向量都共面 (d)空间的任意三个向量都共面,24,25,例3(课本例1)如图，已知平行四边形abcd,从平 面ac外一

5、点o引向量 , , , , 求证： 四点e、f、g、h共面； 平面eg/平面ac,26,例3 (课本例1)已知 abcd ，从平面ac外一点o引向量,求证：四点e、f、g、h共面,平面ac/平面eg,证明,代入,所以 e、f、g、h共面,27,证明,由面面平行判定定理的推论得,28,六、两个向量的夹角,两条相交直线的夹角是指这两条直线所成的锐角或直角，即取值范围是(0,90,而向量的夹角可以是钝角,其取值范围是0,180,29,七、两个向量的数量积,注:两个向量的数量积是数量，而不是向量. 规定:零向量与任意向量的数量积等于零,b,a,30,2、空间两个向量的数量积的性质,31,3、空间向量数

6、量积的运算律,与平面向量一样，空间向量的数量积满足如下运算律,向量数量积的运算适合乘法结合律吗? 即(ab)c一定等于a(bc)吗,32,例4、已知空间向量a，b满足|a|=4，|b|=8，a与b的夹角是150，计算：(1)(a+2b)(2a-b)；(2)|4a一2b,33,如图，已知空间四边形abcd的每条边和对角线长都等于a，点e、f、g分别是ab、ad、dc的中点。求下列向量的数量积,练习6,a,b,c,d,e,f,g,34,练习7,解,35,在平行四边形abcd中，ab=ac=1，acd=90，将它沿对角线ac折起，使ab与cd成60角，求b，d间的距离,练习8,36,已知空间四边形oabc中，m，n，p，q分别为bc，ac，oa，ob的中点，若ab=oc，求证：pmqn,证明,练习9,37,38,练习11,39,八、向量的直角坐标运算,新课,40,1.距离公式,1）向量的长度（模）公式,注意：此公式的几何意义是表示长方体的对角线的长度,九、距离与夹角,41,在空间直角坐标系中，已知、 ，则,2）空间两点间的距离公式,42,2.两个向量夹角公式,注意： （1）当 时，