(最新整理)数值计算方法复习

1、(完整)数值计算方法复习(完整)数值计算方法复习 编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（(完整)数值计算方法复习）的内容能够给您的工作和学习带来便利。同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快 业绩进步，以下为(完整)数值计算方法复习的全部内容。2016计算方法复习务必通过本提纲例子和书上例子掌握如下书本内容:1. 会高斯消去法;会矩阵三角分解法；会choles

2、ky分解的平方根法求解方程组2. 会用插值基函数;会求lagrange, 会计算差商和newton插值多项式和余项3. 会jacobi迭代、gaussseidel迭代的分量形式,迭代矩阵，谱半径，收敛性4. 会写非线性方程根的newton 迭代格式；斯蒂芬森加速5. 会用欧拉预报校正法和经典四阶龙格库塔法求解初值问题6. 会最小二乘法多项式拟合7. 会计算求积公式的代数精度；(复化)梯形公式和（复化）辛普生公式求积分;高斯-勒让德求积公式第1章、数值计算引论(一)考核知识点误差的来源类型；绝对误差和绝对误差限，相对误差和相对误差限，有效数字；误差的传播.（二） 复习要求1。了解数值分析的研究对

3、象与特点。2.了解误差来源与分类，会求有效数字； 会简单误差估计.3。了解误差的定性分析及避免误差危害。（三）例题例1. 设x=0。231是精确值x=0。229的近似值,则x有2位有效数字。例2. 为了提高数值计算精度， 当正数充分大时， 应将改写为 。例3。 的相对误差约是的相对误差的1/3 倍。第2章、非线性方程的数值解法(一）考核知识点对分法；不动点迭代法及其收敛性;收敛速度； 迭代收敛的加速方法；埃特金加速收敛方法;steffensen斯特芬森迭代法；牛顿法；弦截法。（二) 复习要求1.了解求根问题和二分法。2。了解不动点迭代法和迭代收敛性；了解收敛阶的概念和有关结论。3。理解掌握加速

4、迭代收敛的埃特金方法和斯蒂芬森方法。4.掌握牛顿法及其收敛性、下山法， 了解重根情形。5.了解弦截法。（三）例题1.为求方程x3x21=0在区间1。3,1.6内的一个根,把方程改写成下列形式，并建立相应的迭代公式，迭代公式不收敛的是（ )（a） （b)（c) (d)迭代公式解:在（a）中,=1.076故迭代发散。应选择(a）。可以验证在(b)，(c）， （d）中，j(x)满足,迭代收敛。2。用newton法求方程在区间内的根, 要求。解 此方程在区间内只有一个根，而且在区间（2，4）内.设则 , newton法迭代公式为， 取,得. 3设可微，求方程根的newton迭代格式为4。 牛顿切线法是

5、用曲线f（x）上的点的切线与x轴的交点的横坐标逐步逼近f(x）0的解；而弦截法是用曲线f(x）上的；两点的连线与x轴的交点的横坐标逐步逼近f(x)0的解。5。 试确定常数使迭代公式 。产生的序列收敛到,并使收敛阶尽量高.解 因为迭代函数为,而.根据定理知，要使收敛阶尽量高，应有，,由此三式即可得到所满足的三个方程为： ，,.解之得，,且，故迭代公式是三阶收敛的.p25。例24p30。例26p33.例28p35例210p35.例2-11p38.例213p39。例214p41.例216p45。例218p48.例220第3章、线性代数方程组的数值解法（一)考核知识点高斯消去法，列主元消去法；矩阵三角

6、分解法；平方根法；追赶法；迭代法的基本概念，雅可比迭代法与高斯-塞德尔迭代法，超松弛迭代法sor，迭代解数列收敛的条件。（二） 复习要求1。了解矩阵基础知识，了解向量和矩阵的几种范数。2。掌握高斯消去法，掌握高斯列主元素消去法。4。掌握直接三角分解法,平方根法，了解追赶法,了解有关结论。5.了解矩阵和方程组的性态，会求其条件数。6.了解迭代法及其收敛性的概念。7。掌握雅可比(jacobi)迭代法、高斯-赛德尔（gauss-seidel）迭代法和超松弛（sor)迭代法。(三）例题1.分别用顺序gauss消去法和直接三角分解法(杜利脱尔分解)求解线性方程组解：1) gauss消去法,回代 x3=3

7、, x2=2， x1=12） 直接三角分解法（杜利脱尔分解）：=lu解ly=b得y=(14,-10,72）t解，ux=y得x=（1，2，3）t2. 用平方根法(cholesky分解）求解方程组：解：由系数矩阵的对称正定性,可令，其中l为下三角阵。求解可得，求解可得3.讨论的jacobi迭代和gaussseidel迭代的收敛性其中，解:jacobi迭代法的迭代矩阵则jacobi迭代收敛gaussseidel迭代矩阵gaussseidel迭代发散.4.已知方程组，其中,（1)列出jacobi迭代法和gauss-seidel迭代法的分量形式;(2)讨论上述两种迭代法的收敛性。解：(1）jacobi迭

8、代法： jacobi迭代矩阵: 收敛性不能确定 （2）gaussseidel迭代法： gauss-seidel迭代矩阵: 该迭代法收敛 5. 给定方程组，用雅可比迭代法和高斯-塞德尔迭代法是否收敛？解：由系数矩阵可知,（1)雅可比迭代矩阵为,由可知，因而雅可比迭代法发散。（2)高斯塞德尔迭代矩阵为，由可知，因而高斯-塞德尔迭代法收敛。p68.例3-3p68。例3-4p72.例35p76.例37p77。例3-8p78。例3-9p79。例3-10p88.例315p89.例3-16p91.例317p98.例324p110.例330p111.例3-31p118.例336第4章、插值法(一）考核知识点插

9、值多项式，插值基函数，拉格朗日插值多项式，差商及其性质，牛顿插值多项式,差分与等距插值；分段线性插值；样条函数，三次样条插值函数.(二） 复习要求1。了解插值的概念.2.掌握拉格朗日（lagrange）插值法及其余项公式。3。了解均差的概念及基本性质，掌握牛顿插值法。4.了解差分的概念，会牛顿前插公式、后插公式.5。了解埃尔米特(hermite）插值及其余项公式.6。知道高次插值的病态性质,会分段线性插值和分段埃尔米特插值及其误差和收敛性。7.会三次样条插值,知道其误差和收敛性。（三）例题例1. 设，则-x（x2),的二次牛顿插值多项式为;例2。 设l0（x）,l1(x),l2(x),l3(x

10、）是以x0,x1，x2,x3为互异节点的三次插值基函数，则= 例3. 给定数据表：，1246741011求4次牛顿插值多项式，并写出插值余项.解：一阶差商二阶差商三阶差商四阶差商142134061710由差商表可得4次牛顿插值多项式为：，插值余项为。例4 已知函数y=f(x)的观察数据为xk2045yk5131试构造f(x)的拉格朗日多项式pn （x）,并计算f(1）。解 先构造基函数 所求三次多项式为p3(x)= p3(1)例5。 已知一组观察数据为012123试用此组数据构造lagrange插值多项式, 并求。解: ，所以 =，。例6。，求，.解:，p130。例4-4p131。例45p13

11、3。例47p135。例4-10p142。例413p143.例4-14p145。例415第5章、曲线拟合(一）考核知识点勒让德多项式；切比雪夫多项式；曲线拟合； 最小二乘法,正则方程组，线性拟合，超定方程组的最小二乘解，多变量的数据拟合，多项式拟合;正交多项式曲线拟合.(二) 复习要求1。了解函数逼近的基本概念，了解范数和内积空间.2.了解正交多项式的概念,了解切比雪夫多项式和勒让德多项式以及它们的性质,知道其他常用正交多项式。3。了解曲线拟合的最小二乘法并会计算，了解用正交多项式做最小二乘拟合。（三）例题1已知实验数据如下：192531384419.032.349.073.397.8用最小二乘

12、法求一个形如的经验公式，使它与下列数据相拟合，并求均方误差。解：由题意,，.故法方程为，解得。均方误差为2. 给定数据表x-2-1012y-0。10.10.40.91.6试用三次多项式以最小二乘法拟合所给数据.解 ， 正则方程 的解为，,， 得到三次多项式p174.例5-1p176.例53p178。例55p180.例56p181.例57p182.例5-8第6章、数值积分与数值微分（一)考核知识点代数精度；插值型求积公式，牛顿柯特斯公式，梯形公式和辛普森公式, 复合求积公式，求积公式的误差，步长的自动选择，龙贝格求积公式，高斯型求积公式。（二点、三点)高斯勒让德求积公式。(二） 复习要求1。了解

13、数值求积的基本思想、代数精度的概念、插值型求积公式及其代数精度、求积公式的收敛性和稳定性。2.掌握牛顿-柯特斯公式及其性质和余项； 梯形公式和辛普生公式.3. 掌握复化梯形公式和复化辛普森公式及其余项。4. 掌握龙贝格(romberg）求积算法.5.会高斯求积公式。（三)例题1用下列方法计算积分，并比较结果。(1）龙贝格方法； (2）三点及五点高斯公式。解： (1)采用龙贝格方法可得k01.33333311。1666671。09925921。1166671。1000001.09925931.1032111.0987261。0986411.09861341.0997681。0986201.098

14、6131.0986131.098613故有(2)采用高斯公式时 此时 令则利用三点高斯公式,则利用五点高斯公式，则2。用复化梯形公式和复化辛普森公式计算下列积分:； n=8；解：。精确值为。p200.例65p205。例6-8p207。例69p210.例6-11p213。例612p214.例6-13p216.例614p219。例6-15p225。例617，例618第7章、常微分方程初值问题的数值解法(一)考核知识点欧拉法, 后退欧拉法；梯形公式; 改进欧拉法;龙格库塔法，局部截断误差。(二) 复习要求1。掌握欧拉法和改进的欧拉法，知道其局部截断误差。2。 知道龙格库塔法的基本思想。知道二阶、三阶龙格库塔法。掌握四阶龙格库塔法，知道龙格库塔法的局部截断误差.（三）例题例1 用欧拉法解初值问题,取步长h=0.2。解h=0。2， f(x）=yxy2。首先建立欧拉迭代格式 当k=0，x1=0.2时，已知x0=0，y0=1，有y（0。2)y1=0。21（401)0.8当k1，x2=0.4时,已知x1=0。2, y1=0.8,有y（0.4)y2=0.20.8(40。20。8)0。614 4当k=2，x3=0.6时，已知x2=0。4,y2=0。6144,有y(0.6)y