201X_202x学年高中数学第2章函数2.4.1二次函数的图像北师大版必修1

1、4.1二次函数的图像,1,2,一,二,三,一、二次函数的定义 1.形如y=ax2+bx+c(a0)的函数叫作二次函数,其中a,b,c分别称为二次项系数、一次项系数、常数项. 2.二次函数的定义域为R,做一做1】 若函数 是关于x的二次函数,则t的值为() A.3B.0 C.0或3D.1或2 答案:B,3,一,二,三,二、二次函数图像的变换 1.二次函数y=ax2(a0)的图像可由y=x2的图像各点的纵坐标变为原来的a倍得到. 2.二次函数y=a(x+h)2+k(a0),a决定了二次函数图像的开口大小及方向;h决定了二次函数图像的左右平移,而且“h正左移,h负右移”; k决定了二次函数图像的上下

2、平移,而且“k正上移,k负下移”. 3.二次函数y=ax2+bx+c(a0),通过配方可以得到它的恒等变形y=a(x+h)2+k,然后由y=ax2的图像左右平移、上下平移得到其图像. 【做一做2】 将函数y=x2的图像先向右平移2个单位长度,再向下平移1个单位长度后,所得函数的解析式为() A.y=(x+2)2+1B.y=(x-2)2+1 C.y=(x-2)2-1D.y=(x+2)2-1 答案:C,4,一,二,三,二次函数图像的变换规律 (1)函数y=f(x)的图像上各点的纵坐标变为原来的a(a0)倍,横坐标不变,得到函数y=af(x)的图像. (2)将函数y=f(x)的图像向左平移a(a0)

3、个单位长度得到函数y=f(x+a)的图像;将函数y=f(x)的图像向右平移a(a0)个单位长度得到函数y=f(x-a)的图像.简称为“左加(+)右减(-)”. (3)将函数y=f(x)的图像向上平移b(b0)个单位 长度得到函数y=f(x)+b的图像;将函数y=f(x)的图像向下平移b(b0)个单位长度得到函数y=f(x)-b的图像.简称为“上加(+)下减(,5,一,二,三,三、二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图像 1.二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图像的基本特征,2.在研究二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图像时,我们通常通过配方,把它化成y=a(x+h)2+k的形式.由此

4、解析式可以找出函数图像的顶点(-h,k),对称轴x=-h,采用简化了的描点法画出二次函数的图像,6,一,二,三,答案:A,7,一,二,三,思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“”,错误的打“”. (1)二次函数y=3x2的图像与y轴不相交. () (2)二次函数y=ax2+bx+c的图像开口一定向上. () (3)二次函数y=ax2+c在y轴左侧是减少的,在y轴右侧是增加的. () (4)将函数y=f(x+a)(a0)的图像向左平移a个单位长度即得到y=f(x)的图像. () 答案:(1)(2)(3)(4,8,探究一,探究二,探究三,思想方法,二次函数的图像变换 【例1】 函

5、数y=3x2+6x-1的图像是由函数y=x2的图像经过怎样的变换得到的? 分析:根据平移法则“左加右减,上加下减”. 解:因为y=3x2+6x-1=3(x+1)2-4,所以变换步骤如下: 先将函数y=x2图像上所有点的纵坐标变为原来的3倍,横坐标不变,得到函数y=3x2的图像; 再将y=3x2的图像向左平移1个单位长度,得到函数y=3(x+1)2的图像; 最后将函数y=3(x+1)2的图像向下平移4个单位长度,得到y=3(x+1)2-4的图像,即y=3x2+6x-1的图像,9,探究一,探究二,探究三,思想方法,1.所有二次函数的图像均可以由函数y=x2的图像经过变换得到.变换前,先将二次函数的

6、解析式化为f(x)=a(x+h)2+k的形式,再确定变换的步骤. 2.对一个已知函数的图像进行变换后,可按照“左加右减”“上加下减”等规律写出变换后图像所对应的函数解析式,10,探究一,探究二,探究三,思想方法,11,探究一,探究二,探究三,思想方法,求二次函数的解析式 【例2】 根据下列条件,求二次函数y=f(x)的解析式. (1)图像过点(1,-1),(3,3),(-2,8); (2)图像顶点为(1,-2),并且过点(2,4); (3)图像过点(-2,0),(4,0),且函数y=f(x)有最小值-18. 分析:(1)图像上三点坐标已知,可用一般式;(2)顶点坐标已知,应用顶点式;(3)图像

7、与x轴交点坐标已知,应用两根式,12,探究一,探究二,探究三,思想方法,13,探究一,探究二,探究三,思想方法,求二次函数解析式的常用设法 (1)一般式:y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a0). 当已知抛物线上任意三点时,通常将函数的解析式设为一般式,然后列出三元一次方程组并求解. (2)顶点式:y=a(x+h)2+k(a,h,k为常数,a0). 当已知抛物线的顶点坐标和抛物线上另一点时,通常将函数的解析式设为顶点式. (3)两根式:y=a(x-x1)(x-x2)(a,x1,x2是常数,a0). 当已知抛物线与x轴的交点或交点的横坐标时,通常将函数的解析式设为两根式,14,探究一,探究

8、二,探究三,思想方法,变式训练2若二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图像经过(0,0),(2,0),最高点纵坐标为3,则该函数的解析式为() A.y=-3x2-6xB.y=-3x2+6x C.y=-6x2-3xD.y=-6x2+3x 解析:由题意知图像的对称轴为直线x=1,且顶点坐标为(1,3),则设y=a(x-1)2+3,将(0,0)代入可得a=-3.化简得y=-3x2+6x. 答案:B,15,探究一,探究二,探究三,思想方法,二次函数图像的应用 【例3】画出函数f(x)=-x2+2x+3的图像,并根据图像回答下列问题: (1)比较f(0),f(1),f(3)的大小; (2)若x10?

9、分析:本题考查配方法和二次函数的图像,解题的关键是配方,完成配方后再结合函数图像研究提出的问题,16,探究一,探究二,探究三,思想方法,解:函数f(x)=-x2+2x+3=-(x-1)2+4的图像如图所示. (1)由图可知,二次函数f(x)图像的对称轴为x=1,开口向下,且|0-1|f(0)f(3). (2)x1|x2-1|. 又f(x)的图像对称轴为x=1,开口向下, f(x1)3或x0,17,探究一,探究二,探究三,思想方法,1.通过二次函数的图像,可以观察到函数的对称性、单调性以及图像与坐标轴的交点等,据此可以求解一些函数值的大小比较、自变量的取值范围等问题. 2.二次函数y=ax2+b

10、x+c(a0)与x轴交点的横坐标就是对应的一元二次方程ax2+bx+c=0的根,二次函数图像在x轴上方部分对应的x取值范围,即为不等式ax2+bx+c0的解;同样二次函数图像在x轴下方部分对应的x取值范围,即为不等式ax2+bx+c0的解,18,探究一,探究二,探究三,思想方法,变式训练3已知函数f(x)=-x2+4x+5. (1)用配方法求出函数图像的对称轴、顶点坐标,并作出图像,指出其单调区间; (2)由图像写出y0时x的取值范围. 解:(1)f(x)=-x2+4x+5=-(x2-4x)+5=-(x-2)2+9,则该函数图像的对称轴为x=2,顶点坐标为(2,9),其图像如图所示.其单调增区

11、间为(-,2,单调减区间为2,+). (2)由图像知当y=0时,x=-1或x=5;当y0时,-1x5,故当y0时x的取值范围是-1,5,19,探究一,探究二,探究三,思想方法,数形结合思想在二次函数中的应用 【典例】 若方程x2-2x-3=a有两个不相等的实数根,求实数a的取值范围. 分析:令f(x)=x2-2x-3,g(x)=a,将方程有两个不相等的实数根转化为两个函数的图像有两个不同的交点,20,探究一,探究二,探究三,思想方法,解:令f(x)=x2-2x-3,g(x)=a,作出f(x)的图像如图所示. f(x)与g(x)图像的交点个数即为方程x2-2x-3=a根的个数. 由图可知当a-4

12、时,f(x)与g(x)的图像有两个公共点,即方程x2-2x-3=a有两个实根. 综上所述,当方程x2-2x-3=a有两个实数根时,实数a的取值范围是(-4,21,探究一,探究二,探究三,思想方法,讨论f(x)=g(x)根的情况,不妨适当变形后令y=f(x)与y=g(x)两个函数,然后把方程根的问题转化为两个函数图像交点问题,体现了数与形的完美结合,22,探究一,探究二,探究三,思想方法,变式训练若直线y=1与曲线y=x2-|x|+a有四个交点,则a的取值范围是,23,1,2,3,4,5,6,解析:在二次函数y=ax2+bx+c(a0)中,|a|越大,其图像开口越小. 答案:D,24,1,2,3

13、,4,5,6,2.二次函数y=x2+2x图像的开口方向及顶点坐标分别为() A.向上,(1,-1)B.向上,(-1,-1) C.向下,(1,-1)D.向下,(-1,1) 解析:因为y=x2+2x=(x+1)2-1,所以其图像的开口向上,顶点坐标为(-1,-1). 答案:B,25,1,2,3,4,5,6,A.先向左平移1个单位长度,再向上平移2个单位长度 B.先向右平移1个单位长度,再向上平移2个单位长度 C.先向左平移1个单位长度,再向下平移2个单位长度 D.先向右平移1个单位长度,再向下平移2个单位长度,答案:B,26,1,2,3,4,5,6,答案:B,27,1,2,3,4,5,6,5.已知二次函数图