201X_202x学年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3.1抛物线及其标准方程新人教A版选修1_1

1、2.3.1抛物线及其标准方程,1.抛物线的定义,特别提醒抛物线的定义中涉及一个定点和一条定直线,且要求这个定点不能在定直线上,否则动点的轨迹就不再是一条抛物线,而是一条直线(过定点且与定直线垂直的直线,做一做1】 若动点P到定点M(-6,0)与到定直线l:x=6的距离之差等于0,那么动点P的轨迹是() A.直线B.抛物线 C.圆D.椭圆 解析:由抛物线的定义可知,动点P的轨迹为抛物线. 答案:B,2.抛物线的标准方程,名师点拨1.抛物线标准方程的特征及其对应抛物线的形状(焦点位置、开口方向等) (1)抛物线的标准方程中,有一个一次项和一个二次项,二次项的系数为1,一次项的系数为2p; (2)若

2、一次项的字母是x,则焦点就在x轴上,若其系数是正的,则焦点就在x轴的正半轴上(开口向右),若系数是负的,焦点就在x轴的负半轴上(开口向左); (3)若一次项的字母是y,则焦点就在y轴上,若其系数是正的,则焦点就在y轴的正半轴上(开口向上),若系数是负的,焦点就在y轴的负半轴上(开口向下). 2.抛物线与二次函数的关系:二次函数的解析式为y=ax2+bx+c(a0),当b,c为0时,y=ax2表示焦点在y轴上的抛物线,标准方程为 ,当a0时抛物线开口向上,当a0),表示一条曲线,不能称之为二次函数,特别提醒抛物线的标准方程中参数p的几何意义是抛物线的焦点到准线的距离,所以p的值永远大于0,当抛物

3、线的标准方程中一次项的系数为负值时,不要出现p0的错误,思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“”,错误的打“”. (1)平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹一定是抛物线. () (2)抛物线实质上就是双曲线的一支. () (3)抛物线的焦点位置由一次项的字母及一次项系数的正负决定. () (4)若抛物线的方程为y2=-4x,则其中的焦参数p=-2. () (5)抛物线y=6x2的焦点在x轴的正半轴上. () 答案:(1)(2)(3)(4)(5,探究一,探究二,探究三,思维辨析,根据抛物线的方程求其焦点坐标和准线方程 【例1】 求下列各抛物线的焦点坐标和准线方程:

4、(1)y2=-12x;(2)3x2-4y=0; (3)x=32y2;(4)y2=ax(a0). 思路点拨:先将所给方程转化为标准方程的形式,确定其开口方向,求出p的值,然后写出焦点坐标和准线方程,探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究一,探究二,探究三,思维辨析,反思感悟已知抛物线的方程求其焦点坐标和准线方程时,首先应将所给方程化为标准方程,然后由标准方程得到参数p的值,最后得到焦点坐标和准线方程,需注意p0,焦点所在坐标轴由标准方程中的一次项确定,系数为正,焦点在正半轴;系数为负,焦点在负半轴,探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究一,探究二,探究三,思维辨析,求抛物线的标准方程 【例2】根

5、据下列条件求抛物线的标准方程: (1)焦点F到直线x=2的距离等于3; (2)经过点M(-8,4); (3)点(2,2)到准线的距离等于2; (4)焦点到准线的距离等于双曲线 实轴的长. 思路点拨:先根据题意确定焦点的位置或准线的方程,从而确定标准方程的形式,设出其标准方程,然后求出参数p的值,代入即得抛物线标准方程,探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究一,探究二,探究三,思维辨析,反思感悟求抛物线标准方程的方法 (1)当焦点位置确定时,可利用待定系数法,设出抛物线的标准方程,由已知条件建立关于参数p的方程,求出p的值,进而写出抛物线的标准方程. (2)当焦

6、点位置不确定时,可设抛物线的方程为y2=mx或x2=ny,利用已知条件求出m,n的值,探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究一,探究二,探究三,思维辨析,根据抛物线的定义解决轨迹问题 【例3】 已知动点M(x,y)满足 ,则动点M的轨迹是() A.椭圆B.双曲线 C.直线D.抛物线 思路点拨:将所给等式整理转化,结合两点间的距离公式以及点到直线的距离公式分析判断,探究一,探究二,探究三,思维辨析,反思感悟根据动点坐标满足的方程判断其轨迹时,要注意结合两点间的距离公式以及点到直线的距离公式,对所给方程进行分析判断,结合有关曲线的定义求解,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练3若点P(x,y

7、)到点F(0,-5)的距离比它到直线y=4的距离大1,则点P(x,y)的轨迹方程为 () A.x2=16yB.x2=-16y C.x2=20yD.x2=-20y 解析:依题意知点P(x,y)到点F(0,-5)的距离与它到直线y=5的距离相等,并且点F(0,-5)不在直线y=5上,所以点P的轨迹是抛物线,并且F是焦点,y=5是准线,于是点P(x,y)的轨迹方程为x2=-20y. 答案:C,探究一,探究二,探究三,思维辨析,对抛物线标准方程的形式理解不清致误 【典例】 求抛物线x=-ay2(a0)的准线方程和焦点坐标. 易错分析:本题常见的两种错误:一是没有将抛物线方程转化为标准方程的形式,从而导

8、致焦点所在坐标轴弄错、焦参数p的值求错,从而得到错误结果;二是虽然已将抛物线方程转化为标准方程的形式,但没有对参数a的值进行分类讨论,焦参数p的值弄错,尽管得到的结果表达形式是正确的,但解题过程是错误的,探究一,探究二,探究三,思维辨析,反思感悟根据抛物线的方程解决抛物线问题时,必须注意抛物线方程是否为标准方程,若不是标准方程,应首先转化为标准方程,另外,方程中含有参数时,要注意分类讨论思想方法的运用,探究一,探究二,探究三,思维辨析,跟踪训练抛物线y2=(m+1)x的焦点到点(0,-4)的距离等于5,则实数m的值等于,1.在平面内,“点P到某定点的距离等于其到某条定直线的距离”是“点P的轨迹为抛物线”的() A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 解析:当定点恰好在定直线上时,点P的轨迹不是抛物线,而是一条直线,但当点P的轨迹为抛物线时,抛物线上的点到某定点的距离等于其到某条定直线的距离,故是必要不充分条件. 答案:B,解析:抛物线的标准方程为x2=-4y,故准线方程为y=1. 答案:C,4.经过点P(4,-2)的抛物线的标准方程为() A.y2=x或x2=-8yB.y2=x或y2=8x C.y2=-8xD.x2=-8y