初中数学竞赛标准教程及练习67

1、 -普惠英才文库智浪教育(67)初中数学竞赛精品标准教程及练习 参数法证平几 一、内容提要 .1.联系数量间关系的变数叫做参变数，简称参数 有一类平面几何的证明，可以根据图形性质引入参数，布列方程，通过计算来完成，我2.其关键是正确选定参数和准确的进行计算们称它为参数法. C二、例题 是半圆上的一点，的直径，C例1如图已知：AB是O 分CDAB、，N与O内切且与ABCD于DNF F.，别切于E ABAC=AE.求证：DOE .的关系，AE分析：选取两圆半径为参数，通过半径联系AC NE.，连接ON半径分别为R和rO证明：设，N 根据勾股定理： 2222r)?(R-r-2RR2RrRr-；R+A

2、E=OA， = OE=OE 22-2RRrRRr-2R+ OD=OEr=AD=OAODrr， 22-2RRr=ADAB=(R+r)2R根据射影定理AC 22-2RRr=2R2Rr+2R 222rR-R22Rr)+(R=R+2R 22rR-R2)=(R+ 2-2RrR. AC= R+ AC=AE 例2. 已知：ABC的内切圆I和边AB，BC，CA分别切于D，E，F， CACBC2ADDB. E求证：CRt.a F证明：设ADx, 则DBcx.bI 代入ACBC2ADDB. 得 ab=2x(cx). Ax2DB2cx+ab=0.2x C22?2cabc?2abcc2?abc?x=, 又根据切线长定

3、理得x， 2422?2cabc?c?b?a. 22 1 智浪教育-普惠英才文库 222.2ab=ac2ab+b 222 . =a c+b CRt. 例3.已知：等边三角形ABC中，P是中位线DE上一点，BP，CP的延长线分别交AC于F， 交AB于G. 113.求证： BGCFBC证明：设ABC边长为a, PDm, PE=n, BG=x, CF=y. 1BC.BC，DE的中位线， DEDE是ABC 2Aa? ?x? m2?1)(F?G ax? En?mDa ?P?yn 2?)(2 ?ay?CBaa?yx?nm? 22?.：1）（2）（ yxa311aa1a?)(?1?1? ， yx2222xy2

4、311?. ayx311. BCCFBGCNAM，且M，交CD于N中，过点例4.已知：如图四边形ABCDB的直线交AC于 CDAC 4.SSS13BCDABDABC CD.M求证：，N平分AC和 6.41S则， S3， 4， S3证明：设S1ACDABDABCBCD CNAMAN. 连结 (0k1).k 设 CDACD 根据高相等的三角形面积的比等于底的比，得NSCNACNk S6k；， ACN CDSACDjACMSAM2AMNk 6k；k6kS , BAMN SACACN 2 智浪教育-普惠英才文库 SCNBCNk, S4k； BCN CDSBCDSAMABMkk. S1 Sk； , BM

5、CABM ACSABCD SSSSSBMC ACNBCNMNCAMN2 =4k(1k) . 6k6N2 k1=0. 6k111j.) 不合题意，舍去k=k=. (k=.；或ACM 3321AMCNB . k= CDAC2ND . CNAMMC，CD. 和N即M，平分ACBD. ABDCAC例5.已知：如图ABC中，AD是高，AC. 求证：ABDC=n. ACb, BD=m, 证明：设ABc， 根据勾股定理2222?；?bc?nm? 得 ?A.?b?mc?n? cb；c?m)n)?(c?m)(b?n)(b? ?.?b?nc?m?CBmnD；?m?n?cb? ?.?mc?nb?；?bn?m?c?A

6、C. ABb=c. 即 cb=bc， ?.c?m?b?n?F. ，或延长线于D，E，例6. 如图已知：一条直线截ABC三边AB，BCACCFBEAD1? （曼奈拉斯定理） 求证： FADBEC. F，DEB，证明：设BDE 根据正弦定理： A ?SinBEDBBE? ；中，在BDE ?SinSinSDBinDCBE?ECCFSinCF? 在；CEF中， ?SinECSinSinF?SinADADFA?. 中，ADF在 ?FASin)180Sin(?)Sin(?180 3 智浪教育-普惠英才文库 ?)?=Sin. Sin(180?SinSinADBECFSin?1. . ?FAECDBSinSi

7、n)(180?SinEBCFBEAD1?即. HFADBECC67 三、练习IAI. ，HCD，EF两两相交于GAB1. 已知：如图三条弦，GDHB. GFGDHE，ICIAF. 是等边三角形求证：GHIF. 于CD于E，PFAPBD于P，PEBCABCD2. 已知：在矩形中，3BD PAPFPE求证： H，AD，BE相交于的两条高3. 已知：ABC. H三点的圆是等圆A，C，求证：过A，B，H三点的圆与过交为半径的PC，以PCO的直径，P是半圆上的一点，PCAB于4. 已知：AB是E. D，O于PC. DE平分求证：. 的中点F是BCBC相交于P，且AD，5. 已知：ABC的两条高AD和BE

8、1BC PF求证：PD 24422. BDAD6. 已知：平行四边形ABCD中，AB，ACAB1B. 求证：A 3 求证：四边形内切圆的圆心，它到一组对角的顶点的距离的平方的比，等于该组角的7. 两边的乘积的比 的O的切线和过OA，B已知：AB是O的直径，E是半圆上的一点，过点E作8. 的延长线，EF，BD交于F的两条切线分别相交于D，C，四边形ABCD的对角线ACH. AB于交EF=FH. 求证：Q. ，AB的延长线交两条外公切线于PN相交于A，B，公共弦和9. 已知：如图M D222 PQ =AB. +CD求证：PA=QB； PC P，满足等式 10.已知：正方形ABCD内一点A3. 21

9、PAPBPCNM?. APB135求证：B EQF . 内切圆半径是11. 一个直角三角形斜边为c,r,求内切圆面积与直角三角形面积的比 b表示两直角边）（提示：引入参数a和 4 普惠英才文库智浪教育- 参考答案：练习67. 用相交弦定理列方程组yIHx, HQ设IAa, ICb, 1. PFPE2 PBPD，设DBC，PA2. 引入参数 ?CosinS. 表示两圆的半径，用AHSin3. 设ABHACH r,由相交弦定理，得 P的半径为m, FE=n, PF=x, FC=y,4. 设DFmn=x(y+r)=y(x+r) 2222?)?b2(ap?q? 则 AC=p , D=q (qp),ABa, AD=b, 6.设?4224?b?q?ap?222qba?2=，A45CosA=度. 2ab27.设AB=a, BC=b. CD=c, DA=d, OA=x, OC=y， OD=u, OB=v, SdxubxvAOD? ，同理 cyuSbyvBOC8.设EF=x, FH=y, DA=DE=a, CB=CE=b, 可证EF