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1、第三章 信号与线性非时变系统的傅里叶描述,LTI系统的冲激响应描述： 线性非时变（LTI ）系统的冲激响应代表了系统的全部时域特征； 任何信号都可以表示为以该信号为权重的冲激信号的线性叠加； 任何输入信号经过LTI系统后的输出信号，都可以表示成输入信号与系统冲激响应的卷积和或卷积积分,3.1 引言,3.1 引言,正弦信号是自然界一种重要而普遍的信号存在形式； 正弦信号是人类最容易自由产生和控制的一种信号； 正弦信号是人类最容易应用的一种标准信号； 正弦信号是人类目前应用最多和最有效应用的信号。 正弦信号的特点是什么？ 正弦信号作为输入信号通过LTI系统后的输出特点是什么？（正弦响应频率响应）

2、任何信号是否可以用正弦信号表示？如何表示？条件是什么？ 傅里叶分析：通过傅里叶级数及傅里叶变换进行分析的方法,3.2 正弦信号、复指数信号及LTI 系统的频率响应,正弦信号,或,复指数（正弦）信号,或,3.2 正弦信号、复指数信号及LTI系统的频率响应,离散复指数（正弦）信号经过LTI系统后的输出,其中,3.2 正弦信号、复指数信号及LTI系统的频率响应,连续复指数（正弦）信号经过LTI系统后的输出,其中,3.2 正弦信号、复指数信号及LTI系统的频率响应,频率响应及频率响应函数,称复常数,频率为的复指数（正弦）信号经过LTI系统后的输出，是与该频率有关的复常数与该复指数(正弦)信号的乘积,是

3、LTI系统对频率的正弦输入信号的频率响应。 LTI系统对所有频率正弦函数频率响应的分布，称为LTI系统的频率响应函数，该函数一般是复函数,3.2 正弦信号、复指数信号及LTI系统的频率响应,频率响应函数的特点,利用复数的性质，LTI系统频率响应函数可以写为,LTI系统的输出为,LTI系统对输入它的正弦信号的输出信号，只是对输入信号振幅和相位的改变,幅度响应,相位响应,8,3.2 正弦信号、复指数信号及LTI系统的频率响应,频率响应及频率响应函数,称复常数,频率为的复指数（正弦）信号经过LTI系统后的输出，是与该频率有关的复常数与该复指数(正弦)信号的乘积,是LTI系统对频率的正弦输入信号的频率

4、响应。 LTI系统对所有频率正弦函数频率响应的分布，称为LTI系统的频率响应函数，该函数一般是复函数,3.2 正弦信号、复指数信号及LTI系统的频率响应,特征函数与特征值,定义：如果一个函数 通过系统后变为一个数值与该函数相乘，称函数 是系统的特征函数，数值 称为该系统的特征值,是LTI系统的一个特征函数,可见,而,是特征函数关于频率为,的特征函数的特征值,3.2 正弦信号、复指数信号及LTI系统的频率响应,对于LTI系统，特征函数线性组合的输出信号特点,其输出信号为,如果LTI系统的输入信号可以表示为M个复指数特征函数的加权和（线性组合,1、输出信号也是M个复指数特征函数的加权和； 2、卷积

5、运算变成了输入权重与频率响应的乘积运算； 3、输入与输出权重可以使信号由时间表示转换为频率表示,特点,例 3.2,3.3 四种信号的傅里叶表示,从傅里叶分析的角度可以把信号分为4种： 连续的周期信号、连续的非周期信号、离散的周期信号、离散的非周期信号,我们也在若干门课程中学习过，周期信号可以用傅里叶级数展开，而非周期信号可以表示为傅里叶变换形式,连续时间周期信号傅里叶级数（Fourier series, FS） 离散时间周期信号离散时间傅里叶级数（discrete-time Fourier series, DTFS） 连续时间非周期信号傅里叶变换（Fourier transform, FT）

6、离散时间非周期信号离散时间傅里叶变换（ discrete-time Fourier transform, DTFT,例 3.4,例 3.6,例 3.7,3.3 四种信号的傅里叶表示,傅里叶分析对信号要求的条件狄里赫利条件： (1) 信号是有界且单值的, 任何区间内绝对可积； (2)信号在任何有限区间内只有有限个最大值和最小值； (3) 信号在任任何有限区间内只有有限个不连续点,3.3.1 傅里叶分析对信号要求的条件,1.不可积,2. 无限多最大和最小点,3. 不连续点的数目有无限多个,狄里赫利条件是充分条件，但不是必要条件。就是说，满足狄里赫利条件就一定可以用傅里叶分析方法对信号进行分析，有一

7、些不满足狄里赫利条件的信号，也还是可以用傅里叶分析方法分析例如冲激信号,3.3 四种信号的傅里叶表示,3.3.2 连续周期信号的傅里叶分析,周期信号,对所有t 成立,则,其中,如果x（t）是实函数,3.3.2.1 复指形式,基频，非零最小频率、常数,3.3 四种信号的傅里叶表示,3.3.2.2 傅里叶分析（三角函数形式,其中,3.3 四种信号的傅里叶表示,3.3.2.3 偶周期信号与奇周期信号的傅里叶级数,对于偶周期信号,级数中只有余弦项,对于奇周期信号,级数中只有正弦项,3.3 四种信号的傅里叶表示,3.3.2.4 实周期信号的谐波型傅里叶级数,实数域周期信号的傅里叶级数还可以表示为有初相位

8、变化的余弦函数形式，称为谐波型傅里叶级数，即,3.3 四种信号的傅里叶表示,3.3.2.5 周期信号的幅度谱、相位谱和功率谱,将指数形式傅里叶级数的复系数分为幅度和相位两部分，即,叫幅度谱； 叫相位谱； 叫功率谱,叫帕斯瓦尔(Parseval)关系，表示空域与频域的能量是相等的,3.3 四种信号的傅里叶表示,3.3.3 非周期连续信号的傅里叶分析傅里叶变换,3.3.3.1 傅里叶变换对,如果信号是连续的非周期函数，并满足狄里赫利条件，则,叫傅里叶变换； 叫傅里叶逆变换，分别记为,3.3 四种信号的傅里叶表示,3.3.3.2 傅里叶谱,傅里叶变换可表示为,叫信号的幅度谱； 叫信号的相位谱， 叫信

9、号的功率谱,信号为实信号时,3.3.3.3 连续时间傅里叶变换的性质,A . 线性性,B . 时移性,从,可得,因为,D . 时间伸缩性,E . 时间翻转性,F . 对称性,C . 频移性,3.3.3.3 连续时间傅里叶变换的性质（续1,3.3.3 傅里叶变换的性质,3.3.3.3 连续时间傅里叶变换的性质（续2,G . 时域微分（信号微分的傅里叶变换,H . 频域微分,3.3.3 傅里叶变换的性质,3.3.3.3 连续时间傅里叶变换的性质（续3,I . 卷积定理,J . 乘积定理,K .时域积分,3.3.3 傅里叶变换的性质,3.3.3.3 连续时间傅里叶变换的性质（续4,实信号的傅里叶变换

10、,L .实信号傅里叶变换特点,实信号,3.3.3 傅里叶变换的性质,3.3.3.3 连续时间傅里叶变换的性质（续5,帕斯瓦尔(Parseval)关系,3.4 四种信号傅里叶表示的总结,离散时间周期信号离散时间傅里叶级数（discrete-time Fourier series, DTFS,信号,频谱,特点：信号周期性 信号离散 频谱离散 频谱周期性,周期：N,3.4 四种信号傅里叶表示的总结,离散时间非周期信号离散时间傅里叶变换discrete-time Fourier transform, DTFT,信号,频谱,特点：信号非周期性 信号分离 频谱连续 频谱周期性,3.4 四种信号傅里叶表示的总结,连续时间周期信号傅里叶级数（Fourie