艺术生高考数学专题讲义：考点16 同角三角函数的关系式及诱导公式

1、22222152 217 17 252 25考点十六艺考生高考数学专题讲义同角三角函数的关系式及诱导公式 知识梳理1同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin cos1.sin (2)商数关系： tan .cos 2.诱导公式函数角2k (kz)正弦余弦正切sin cos tan sin cos tan sin cos tan sin cos tan cos sin cos sin 口诀函数名不变 符号看象限函数名改变 符号看象限统一记忆口诀：“奇变偶不变，符号看象限”，k对于角“ ”(kz)的三角函数记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，“奇变偶不变”是指“当 k 为奇数时，正弦变余弦，余弦

2、变正弦；当k 为偶数时，函数名不变”“符号看 象限”是指“在 的三角函数值前面加上当 为锐角时，原函数值的符号”典例剖析题型一 同角三角函数关系应用8例 1 已知 是第二象限角，tan ，则 sin _答案817sin cos 1，8 8解析 由sin 8 解得 sin . 为第二象限角， sin 0， sin . ，cos 15 4变式训练 已知 ， ，sin ，则 tan _.4答案 3 3解析 ， ，cos 1sin ，高中数学222222222222222222222222155225 25 25225 25 2525157545353艺考生高考数学专题讲义tan sin 4 .cos

3、 3例 2 (1)已知 tan 2，则 sin sin cos 2cos _.(2)已知 tan 2，则 sin cos 4 2答案 (1) (2)5 5sin cos 2cos 解析 (1)sin.sin sin cos 2cos 1sin sin cos 2cos tan tan 2 422 4 .sin cos tan 1 41 5sin cos tan 2 2(2)sin cos .sin cos tan 1 2 1 5sin 解题要点 (1)利用 sin cos 1 可以实现角 的正弦、余弦的互化，利用 tan 可cos 以实现角 的弦切互化(2) 注意公式逆用及变形应用：1sin

4、cos ，sin 1cos ，cos 1sin .(3) 应熟练掌握齐次式问题求值，通过代数式变形，把所求值化为关于tan 的齐次式，从而 使问题得解.题型二 sin cos ，sin cos ，sin cos “三姊妹”问题例 3 已知 sin cos ，且 (0，)；求(1) sin cos ；(2) sin cos ；(3) tan .1解析 (1)因为 sin cos ，1 24 12所以(sin cos ) 12sin cos ( ) ，即 2sin cos ，所以 sin cos .12 24 49(2) 由 sin cos 可得(sin cos ) 12sin cos 1 ，24

5、又 2sin cos 0,00，cos 0，故 sin cos 49 7 ，25 5(3)由sin cos ， sin cos ，sin ， 得cos ，4所以 tan .高中数学318 22323432 3 6 36 3 3 3 3 2 6 6 66 66662cos 变式训练 已知 sin cos 艺考生高考数学专题讲义 2(0)，求 tan 的值7 解析 将已知等式两边平方，得 sin cos ， ，4sin cos (sin cos ) 12sin cos .sin cos ， 解方程组sin cos ，sin 得 cos24，624，6sin 94 2tan .cos 7解题要点 对

6、于 sin cos ，sin cos ，sin cos 这三个式子，基本解题策略是借助方 程思想，利用(sin cos ) 12sin cos ，可以知一求二题型三 三角函数诱导公式的应用52例 4 (1) cos _ 3 5(2) 已知 cos ，求 cos _1 3答案 (1) (2) 2 352 52 1解析 (1) cos cos cos(17 )cos . 5(2) ，5 .cos5 3 5 3 cos cos ，即 cos .3 33tan()cos(2)sin 变式训练 化简：cos()sin().sin tan cos (cos ) tan cos cos cos 解析 原式

7、1.cos()(sin() cos sin sin 解题要点 (1) 应熟练应用诱导公式诱导公式的应用原则是：负化正、大化小、化到锐角 为终了诱导公式的应用是求任意角的三角函数值，其一般步骤： 负角变正角，再写成 2k(kz)，02； 转化为锐角高中数学2 2222133 221222cos22242524255艺考生高考数学专题讲义3(2) 要善于观察角度间的关系，注意“整体思想”的运用，适当将角变形，如化 为 或 2 (3) 注意确定相应三角函数值的符号，另外切化弦是常用的规律技巧当堂练习1已知 是第二象限角，sin 12答案 13513，则 cos_解析 是第二象限角，cos 1sin

8、1 2若 cos ，( ，0)，则 tan 等于_ 2答案415 12 .13解析 由已知得 sin 1cos 1 2 21 ， 9 3sintan 2 2.cos53. 已知 是第四象限角，tan() ，则 sin 等于_5答案 135 sin 5解析 由诱导公式可得：tan()tan，tan ， ，12 cos 12又sin cos51， 是第四象限角，sin .13sin24若 tan3，则 的值等于_答案 6解析sin2 2sincos 2sin 2tan6. cos cos cos24 5已知 sin 2 ， ，0 ，则 sin cos 等于_答案151 解析 (sincos) 12

9、sincos1sin2 ，又 ，0 ，sincos0，1所以 sincos .高中数学2 4cos 422225 2 55131324222322艺考生高考数学专题讲义课后作业一、 填空题1 tan150的值为_3答案 3解析 tan150tan(18030)tan3033. 32已知 ( ，)，tan ，则 sin()_ 3答案 5sin 3 解析 由题意可知sin cos 19 3，由此解得 sin ，又 ( ，)，因此有 sin ，3sin()sin .53已知 cos ，角 是第二象限角，则 tan(2)等于_答案1255解析 cos ， 是第二象限角，sin 1cos12 ，13si

10、n 12tan(2)tan()tan .cos 534 是第一象限角，tan ，则 sin_答案35sin 3解析 tan ，sin coscos 431，且 是第一象限角，所以 sin .51 5若 cos ， ，0 ，则 tan 等于_ 答案 2 2解析 由已知得 sin 1cos 1 2 2 sin1 ，tan 2 2. 9 3 cossin cos 16若 ，则 tan2 等于_ sin cos答案34高中数学2 3 423 9 9 422222 22 2 2 252 5 54 2，所以 sincos .艺考生高考数学专题讲义sincos tan1 1 2tan 3 解析 ，tan3.

11、tan2 .sincos tan1 2 1tan 44 7已知 sincos 0 ，则 sincos 的值为_答案 234 16 7 解析 sincos ，(sincos) 1sin2 ，sin2 ，又 0 ，sin0，则 cos_.3答案 5解析 sin0， 为第三象限角，cos4 3 1 . 111设 为第二象限角，若 tan( ) ，则 sincos_.答案 105 1tan 1 1 10解析 tan( ) ，解得 tan ，又 位于第二象限得 sin ，cos4 1tan 2 3 103 10 1010 5二、解答题112 若 tan 3，计算下列各式的值：tan(1) sincos;高中数学22222tan222.2 2，cos .艺考生高考数学专题讲义(2) tan1 .tan 1 sin cos sin cos 1解析 (1)tan 3， 3，即 3.sincos .tan cos sin sincos 31 1(2) tan tantan 1