《线性代数》PPT课件

1、用消元法解二元线性方程组,一、二阶行列式的引入,方程组的解为,由方程组的四个系数确定,由四个数排成二行二列（横排称行、竖排 称列）的数表,定义,即,数aij(i=1, 2; j=1, 2)称为行列式（5）的元素或元。元素aij的第一个下标i称为行标，表明该元素位于第i行第二个下标j称为列标，表明该元素位于第j列。位于第i行第j行列的元素称为行列式（4）的（i，j）元,主对角线,副对角线,对角线法则,二阶行列式的计算,若记,对于二元线性方程组,系数行列式,则二元线性方程组的解为,注意 分母都为原方程组的系数行列式,例1,解,二、三阶行列式,定义,记,6）式称为数表（5）所确定的三阶行列式,1)沙

2、路法,三阶行列式的计算,2)对角线法则,注意 红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三 元素的乘积冠以负号,说明1 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式,例,解,按对角线法则，有,例3,解,方程左端,一、概念的引入,引例,用1、2、3三个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数,解,1 2 3,1,2,3,百位,3种放法,十位,1,2,3,1,个位,1,2,3,2种放法,1种放法,种放法,共有,利用了乘法原理（讲课时加以解释,二、全排列及其逆序数,问题,定义,把 个不同的元素排成一列，叫做这 个元素的全排列（或排列,个不同的元素的所有排列的种数，通常用 表示,由引例,同理,在一个排列 中，若数 则称

3、这两个数组成一个逆序,例如 排列32514 中,定义,我们规定各元素之间有一个标准次序, n 个不同的自然数，规定由小到大为标准次序,排列的逆序数,3 2 5 1 4,定义 一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数,例如 排列32514 中,3 2 5 1 4,逆序数为3,1,故此排列的逆序数为3+1+0+1+0=5,计算排列逆序数的方法,逆序数为奇数的排列称为奇排列,逆序数为偶数的排列称为偶排列,排列的奇偶性,分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码 个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数， 这每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆 序数,例4 求排列32514的逆序数,解,在排列3251

4、4中,3排在首位,逆序数为0,2的前面比2大的数只有一个3,故逆序数为1,5的前面没有比5大的数,其逆序数为0,1的前面比1大的数有3个,故逆序数为3,4的前面比4大的数有1个,故逆序数为1,3 2 5 1 4,于是排列32514的逆序数为,补充例题）例1 计算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇偶性,解,此排列为偶排列,解,当 时为偶排列,当 时为奇排列,解,当 为偶数时，排列为偶排列,当 为奇数时，排列为奇排列,2 排列具有奇偶性,1 个不同的元素的所有排列种数为,三、小结,一、概念的引入,三阶行列式,说明,1）三阶行列式共有 项，即 项,2）每项都是位于不同行不同列的三个元素的 乘积,3）每

5、项的正负号都取决于位于不同行不同列 的三个元素的下标排列,例如,列标排列的逆序数为,列标排列的逆序数为,偶排列,奇排列,二、n阶行列式的定义,定义,说明,1、行列式是一种特定的算式,2、 阶行列式是 项的代数和,3、 阶行列式的每项都是位于不同行、不同列 个元素的乘积,5、 一阶行列式 不要与绝对值记号相混淆,4、 的符号为,补充例题）例1计算对角行列式,分析,展开式中项的一般形式是,所以 只能等于,同理可得,解,即行列式中不为零的项为,例2（类似第7页例6） 计算上三角行列式,分析,展开式中项的一般形式是,所以不为零的项只有,解,补充例题）例3,注：第7页例6）同理可得下三角行列式,例4（第

6、7页例5） 证明对角行列式,证明,第一式是显然的,下面证第二式,若记,则依行列式定义,证毕,1 、行列式是一种特定的算式,2、 阶行列式共有 项，每项都是位于不同行、不同列 的 个元素的乘积,正负号由下标排列的逆序数决定,三、小结,思考题,已知,思考题解答,解,含 的项有两项,即,对应于,一、对换的定义,定义,在排列中，将任意两个元素对调，其余元素不动，这种作出新排列的手续叫做对换,将相邻两个元素对调，叫做相邻对换,例如,二、对换与排列的奇偶性的关系,定理1一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性,推论,奇排列调成标准排列的对换次数为奇数， 偶排列调成标准排列的对换次数为偶数,由定理1知对

7、换的次数就是排列奇偶性的 变化次数,知推论成立,证明,而标准排列是偶排列(逆序数为0),因此,定理2 阶行列式也可定义为,其中 为行标排列 的逆序数,定理3 阶行列式也可定义为,其中 是两个 级排列， 为行 标排列逆序数与列标排列逆序数的和,例1 在六阶行列式中，下列两项各应带什么符号,解,431265的逆序数为,所以 前边应带正号,行标排列341562的逆序数为,列标排列234165的逆序数为,所以 前边应带正号,1. 一个排列中的任意两个元素对换，排列改 变奇偶性,2.行列式的三种表示方法,三、小结,其中 是两个 级排列， 为行 标排列逆序数与列标排列逆序数的和,思考题,证明 在全部 级排

8、列中 ,奇偶排列各占一半,思考题解答,将 个奇排列的前两个数对换,则这 个奇排列全变成偶排列,并且它们彼此不同,所以,故必有,一、行列式的性质,性质1 行列式与它的转置行列式相等,行列式 称为行列式 的转置行列式,记,证明,按定义,又因为行列式D可表示为,故,证毕,性质2 互换行列式的两行（列）,行列式变号,证明,设行列式,说明 行列式中行与列具有同等的地位,因此行列 式的性质凡是对行成立的对列也同样成立,是由行列式 变换 两行得到的,于是,则有,即当 时,当 时,例如,推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零,证明,互换相同的两行，有,故,证毕,性质3 行列式的某一行（列）中所有

9、的元素都乘以同一数 ，等于用数 乘此行列式,推论行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面,性质行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零,证明,性质5若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和,则D等于下列两个行列式之和,例如,性质把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变,例如,例 （类似第12页例7,二、应用举例,计算行列式常用方法：利用运算把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值,解,例2 计算 阶行列式 （第12页例8的推广,解,将第 都加到第一列得,例3（第13页例9,解 从第4行开始，后行减前行,注1：当

10、把几个运算写在一起时，运算次序一定不能颠倒，这是因为后一次运算是作用在前一次运算结果上的缘故,这样的运算结果是错误的,注2：运算ri+rj与运算rj+ri是有区别的，同样不能把记号ri+krj写作krj+ri,例4（第14页例10,证明,证明,例5（第15页例11,计算2n阶行列式,其中未写出的元素均为0,由上例的结果，可得,解 把D2n中的第2n行一次与第2n-1行、第2n-2行、第2行对调（共做2n-2次相邻对换），再把第2n列一次与第2n-1列、第2n-2列、第2列对调（共做2n-2次相邻对换） ，得,依次作递推公式，即得,行列式中行与列具有同等的地位,行列式的性质凡是对行成立的对列也同

11、样成立,计算行列式常用方法：(1)利用定义;(2)利用性质把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值,三、小结,行列式的6个性质,例如,一、余子式与代数余子式,叫做元素 的代数余子式,例如,引理 一个 阶行列式，如果其中第 行所有元素除 外都为零，那末这行列式等于 与它的代数余子式的乘积，即,例如,根据第14页例10，即有,又,从而,再证一般情形,此时,得,得,故得,于是有,定理 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即,证,二、行列式按行（列）展开法则,例1（第18页中间的计算,证,用数学归纳法,n-1阶范德蒙德行列式,推论 行列式任一行（列）的元素与另一行（列

12、）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即,证,同理,关于代数余子式的重要性质,为了更好的利用代数余子式的性质，下面给出两个公式,1,2,例3 （第21页的例13） 设,解 按（1）式可知A11+A12+A13+ A14等于用1,1,1,1代替D的第1行所得的行列式，即,D的(i,j)元的余子式和代数余子式依次记作Mij和Aij，求A11+A12+A13+ A14及M11+M21+M31+ M41,按（2）式可知,1. 行列式按行（列）展开法则是把高阶行列式的计算化为低阶行列式计算的重要工具,三、小结,设线性方程组,则称此方程组为非,齐次线性方程组,此时称方程组为齐次线性方程组,非齐次与齐次线

13、性方程组的概念,一、克拉默法则,如果线性方程组,的系数行列式不等于零，即,其中 是把系数行列式 中第 列的元素用方程 组右端的常数项代替后所得到的 阶行列式，即,那么线性方程组 有解，并且解是唯一的，解 可以表为,二、重要定理,定理1 （注：第24页定理4） 如果线性方程组 的系数行列式 则 一定有解,且解是唯一的,定理2 （注：第24页定理4）如果线性方程组 无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零,齐次线性方程组的相关定理,定理（注：第25页定理5）如果齐次线性方程组（2）的系数行列式 ，则齐次线性方程组（2）没有非零解,只有零解,定理（注：第25页定理5）如果齐次线性方程组(2,有非零解,则它的系数行列式必为零,有非零解,系数行列式,齐次线性方程组,非齐次线性方程组,例1 （注：第22页例14）用克拉默则解方程组,解,例2 （注：第23页例15）设曲线y=a0+a1x+a2x2 +a3x3，通过四点(1，3)、 (2，4)、 (3，3)、 (4,3)， 求系数 a0，a1，a2，a3,其系数行列式,解 把四个点的坐标代入曲线方程，得线性方程组,是一个范德蒙德行 列式，计算可得 D=123121=12,例3 （注：类似第25页例16） 问取何值时，齐次