固体物理学：第五章 第八节 等离激元与准电子

1、第五章 金属电子论,5.8 等离激元与准电子,金属电子论是建立在独立电子基础上的。布洛赫定理实质上是一个关于单粒子波函数的定理，电子-晶格和电子-电子的相互作用归结为周期势场，而电子-电子之间的相互作用只是在平均场范畴加以考虑。 如果考虑晶格周期势场中的多粒子问题，情况将变得十分复杂。下面我们将讨论为什么对金属而言，独立电子的假设仍然是一个可以接受的理论,一、等离激元,电子与电子之间的相互作用是库伦势，具有长程作用，即电子并非仅铜它们的最近邻有相互作用。这就是考虑电子-电子相互作用效应的一个严重困难。 在宏观尺度上，力的长程性可借助晶体的局部非电中性引起的电场表现出来，这意味着难以处理的相互作

2、用的长程力部分，可近似用纯粹的宏观方法处理,考虑一个自由电子气模型，分散的正离子被极端地涂抹成不动而又均匀的阳电荷背景，即电子能够很自由地在其中的一种“凝胶”。 我们需要这种凝胶，是为了保持系统电中性。这就是金属的自由电子气凝胶模型。这个系统是一种等离子体，因为其中含有正电荷与负电荷浓度相等，而两种电荷中至少有一种是可迁移的,正电荷的密度等于平均电子的电荷密度： 由于电子可动，实际电子密度写成(r,t)，那么局部的非电中性产生的电场E满足： 电场下，电子被加速： 这里忽略了导致欧姆定律的碰撞效应,为了求解电荷分布，需要电荷守恒定律： 把速度同电荷密度联系起来，如果,这个式子对变量 是线性的,将

3、5.8.3对时间求导，并利用5.8.1和5.8.2，得到 即,上式是一个角频率为p的谐振子方程，它表明来自均匀点和密度的任一扰动都以频率p振荡。由于库伦势的长程性，电子-电子之间的关联将在这集体运动中表现出来,上面只给了长波极限时的振荡频率，更详细的理论可以给出等离子振荡的色散关系。 金属中的等离子集体振荡起源于电子间的库伦力的长程部分。由于库伦势是纵场，所以它是一种纵等离子体振荡，即电荷密度波,纵等离子体振荡的量子 称为等离激元。对于一般的金属，取 得到,它是一个高于金属费米能的能量量子。因此金属中的等离子体振荡不是通常温度下的正常受激。 当一束高能电子束穿透金属薄膜时，可以激发等离子振荡，

4、测量电子束的能量损失谱可以得到以 为周期的振荡曲线,典型的碰撞弛豫时间： 因此前面忽略碰撞时一个好的近似,二、电子气的个别激发,等离激元是金属电子气的集体激发，除此之外还存在电子的个别激发。电子气的基态可描述为费米球内所有状态均被电子占据，而球外是全空的。 费米球内k态电子被激发到k+q的空状态时，则产生一个k+q的电子和一个k的空穴。这种电子和空穴对的个别激发的能量满足,受到泡利原理的限制，波矢应满足 当 时，费米球内只有部分电子可以被激发到球外。如图所示,激发能量的界限是 当 时，费米球内所有电子被激发。 能量界限是,式5.8.10和5.8.11可以画出电子、空穴对的激发区域,图中也画出了

5、等离激元的色散曲线，qc为集体激发与个别激发区的交点，当qqc时， ，可以证明等离子集体激发是不稳定的。 因此仅仅在长波范围0qc，只有个别对激发,三、静电屏蔽、准电子,等离激元源于电子-电子库伦相互作用的长程部分之后，金属电子间的有效互作用只能由库仑势的短程部分提供。 由于电子之间的库伦排斥，它将排开周围的电子，这样电子周围的正电荷凝胶背景将暴露出来，形成一个正电荷的屏蔽云，它将随电子一起运动。这种裹着屏蔽云一起运动的电子称为准电子。 准电子间的相互作用不再是裸势，而是屏蔽势,现在讨论屏蔽势的具体形式。考虑一个处于传导电子海洋中的一个点电荷 q(r),它在空间r处产生的势为(r)。假设和电子

6、的德布罗意波相比，势是r的缓变势，即电子感受到的静电势在很大范围内近似为常量。这就是所谓的托马斯-费米近似。 在此近似下，r处的电子密度可以写为 f(E)为费米分布函数，N(E)为能态密度,很小时，5.8.12可近似写为： n为平均电子密度，并应用了 由此得到r处的点电荷q(r)以及它所诱导的电荷导致的有效点和密度为,它所长生的势由泊松方程决定 将 做傅里叶展开,代入5.8.15可以得到 的傅里叶变换 将5.8.18代回5.8.16，得到任何浸没在自由电子气的电荷所产生的势,这种形式的势称为汤川(Yukawa)势。它表明浸没在电子气的点电荷产生的势比它在真空中的裸势多了一个屏蔽因子： 该电荷将

7、在 距离内被屏蔽，为屏蔽长度,电子气的屏蔽效应使得金属中电子之间的库伦相互作用变成短程相互作用， 对于一般金属，取 得到 因此金属中的准电子可以近似看成相互独立的,另一方面， ，系统中电子的浓度越大，屏蔽效应越强，电子之间的关联越弱。在高电子浓度下，电子系统的费米动能大于库伦相互作用，这是电子处于扩展态，使之在整个晶体中运动。 随着电子浓度降低，库伦相互作用大于费米动能。 早在20世纪30年代，维格纳 (Wigner) 就从理论上指出，在低电子浓度下，电子之间的强关联将促使电子局域化，使之在均匀正电荷的背景下形成规则排列的晶格，称为维格纳晶格。有序晶格的形成在能量上是有利的,知道1979年，人

8、们才在液氦表面的二维电子气中观测到六角形的维格纳晶格的存在。1990年，人们在半导体反型层中的二维电子气系统中找到维格纳晶格存在的证据。三维电子气的维格纳晶格在实验上始终未观测到，理论上预计它应具有体心立方结构。 电子气的屏蔽效应同样适用于晶格中的正离子，每个离子的强大库伦势也被传导电子所屏蔽，这也是点阵对电子的实际影响要比我们料想的小的原因之一,综上所述，对于足够大的电子浓度，屏蔽效应使得电子-电子，电子-晶格之间的关联很弱，以致阻止束缚态的形成，随着电子浓度减小到某个临界值，束缚态将形成。人们认为金属态到绝缘态的转变是一个突变，即所谓的莫特转变,四、等离子体中的横振动,上面讨论的等离激元对应于等离子体的纵振动，我们也可以考虑横向振动。例如电子波穿过金属的情况，由于电磁场是横场： 由5.8.1有 所以横向扰动激发的等离子体横振荡并非密度波。对于这种情况，方程5.8.1和5.8.4都是无足轻重的，此时加速方程5.8.2必须铜麦克斯韦方程一起求解,利用J=-nev，得到,应用了 并且 就是等离激元频率,方程5.8.23是普遍成立的，对于纵振动， 实质上我们导出了方程5.8.6。对于现在要讨论的横振动， 方程5.8.23变成,其中应用了矢量算符恒等式,方程5.8.24具有类波解 其中 我们也可以得到介电函数,由此可见，如果电磁波的频率 ，则 波矢k是虚数，这样的电磁波不能在金